Logarithme décimal

Représentation graphique du logarithme décimal dans un repère orthogonal

Lelogarithme décimaloulog₁₀ou simplementlog(parfois appelélogarithme vulgaire) est lelogarithmede basedix.Il est défini pour tout réel strictement positifx.

Le logarithme décimal est la fonctioncontinuequi transforme un produit en somme et qui vaut 1 en 10.

Le logarithme décimal est lafonction réciproquede la fonction$f(x)=10^{x}$: pour$x>0$,si$y=\log _{10}(x)$alors$x=10^{y}$.

La norme ISO 80000-2indique que log₁₀devrait être notélg,mais cette notation est rarement utilisée.

Histoire

Les logarithmes décimaux sont parfois appeléslogarithmes de Briggs.Henry Briggs,mathématicienbritannique duXVII^esiècle, est l'auteur detables de logarithmesdécimaux publiées àLondresen1624,dans un traité intituléArithmetica Logarithmetica.

Avant1970,lescalculatricesélectroniques n'étaient pas encore d'un usage très répandu, et elles étaient assez volumineuses. Pour effectuer des produits ou des quotients, on utilisait encore des tables de logarithmes de base dix ou desrègles à calcul,et les calculs étaient effectués « à la main » sur papier.

Les logarithmes de base dix ou logarithmes décimaux étaient appeléslogarithmes vulgaires,par opposition aux logarithmes de basee,ditslogarithmes naturels,népériens ou hyperboliques.

DansAn Introduction to the Theory of Numbers,Godfrey Harold Hardyécrit une note:

«logxis, of course, the 'Napierian' logarithm ofx,to basee.'Common' logarithms have no mathematical interest.»

« logxest, bien sûr, le logarithme « néperien » dex,de basee.Les logarithmes « vulgaires » n'ont pas d'intérêt mathématique. »

Mantisse et caractéristique

Les logarithmes des puissances entières de 10 se calculent aisément en utilisant la règle de conversion d'un produit en somme: $\log(10)=1$
$\log(100)=\log(10\times 10)=\log(10)+\log(10)=2$
$\log(1\,000)=3$
$\log(10^{n})=n$
$\log(0{,}1)=\log \left({\frac {1}{10}}\right)=-\log(10)=-1$
$\log(0{,}01)=-2$
$\log(0{,}001)=-3$. Les propriétés arithmétiques des logarithmes permettent de déduire la valeur de tout logarithme pourvu que soient connus les logarithmes de tous les nombres compris entre 1 et 10 (exclu). En effet, tout nombrexpeut s'écrire sous la formea× 10ⁿoùaest un nombre compris entre 1 et 10 (exclu). Cette écriture s'appelle lanotation scientifiquedex× 10ⁿreprésente alors l'ordre de grandeur du nombrex.Par exemple $120=1{,}2\times 10^{2}$et$0{,}00314=3{,}14\times 10^{-3}$. Le passage au logarithme décimal va alors mettre en évidence les deux éléments de l'écriture scientifique du nombre $\log(120)=\log(1{,}2)+\log(10^{2})=\log(1{,}2)+2$
$\log(0{,}00314)=\log(3{,}14)+\log(10^{-3})=\log(3{,}14)-3$
$\log(x)=\log(a\times 10^{n})=n+\log(a)$. Puisque la fonction log est croissante, pour tout réelacompris entre 1 et 10 (exclu), log(a) est compris entre 0 et 1. L'entier relatifnest donc lapartie entièrede log(x) et log(a) lapartie décimaleà ajouter ànpour obtenir log(x).

La partie entière de log(x) est appeléecaractéristiquedu log.

La partie décimale à rajouter à la partie entière s'appellemantisse.

On fera attention à l'écriture du logarithme des nombres plus petits que 1: $\log(0{,}00314)=-3+\log(3{,}14)\approx -3+0{,}497$
$\log(0{,}00314)\approx -2{,}503.$ La deuxième écriture, qui semble plus naturelle, ne permet pas de retrouver rapidement la caractéristique (−3) et la mantisse (0,497). On préfère alors utiliser la première écriture que l'on note souvent $\log(0{,}00314)\approx {\overline {3}}{,}497$. La lecture du logarithme d'un nombre permet alors aisément de déterminer son ordre de grandeur: si$\log(x)=5{,}3.$ Sa caractéristique est 5 doncxest de la formea× 10⁵.Sa mantisse est 0,3 qui est proche de log(2).xest donc proche de 2 × 10⁵.

Usage

Le développement des calculatrices de poche a fait perdre aux logarithmes leur principal intérêt de simplification des calculs. Ils restent cependant très présents en physique quand il s'agit d'appréhender des quantités pouvant varier de 10⁻¹⁰à 10¹⁰.C'est ainsi qu'on les retrouve dans le calcul des pH (potentiel hydrogène), desdécibels,…

Calculer avec une table de logarithmes

L'idée directrice est de remplacer, pour l'utilisateur, les multiplications par des additions, les divisions par des soustractions, les puissances par des produits, les racines nièmes par des divisions parn.

Exemple 1:

En supposant que$x=435{,}728$et$y=1{,}6275$comment effectuer, sans calculatrice, le produit$x\;y$? On calcule$\log(x)$
$x=4{,}35728\times 10^{2}$donc la caractéristique est 2, la mantisse se lit dans une table de logarithme: 0,6392
$\log(x)=2{,}6392$ On calcule log(y), caractéristique 0, mantisse 0,2115
$\log(y)=0,2115$. Il suffit de calculer$\log(x\;y)=\log(x)+\log(y)=2{,}8507$,d'isoler la caractéristique 2 et la mantisse 0,8507 qui par lecture inverse dans la table de log donne 7,091.

Le produit$x\;y$est donc environ$7{,}091\times 10^{2}=709{,}1$.

Exemple 2:

En prenant toujours ces deux nombres, on peut tout aussi facilement calculer une valeur approchée de la racine cubique de leur quotient $\log \left({\sqrt[{3}]{\frac {x}{y}}}\right)={\frac {1}{3}}{\Big (}\log(x)-\log(y){\Big )}={\frac {2{,}6392-0{,}2115}{3}}={\frac {2{,}4277}{3}}=0{,}8092$. La caractéristique est donc nulle, la mantisse est 0,8092 qui, par lecture inverse, donne 6,445.

${\sqrt[{3}]{\frac {x}{y}}}$est donc environ égal à 6,445.

La règle à calcul

Le principe de la règle à calcul est analogue à celui précédemment décrit. La précision sera seulement moindre.

Sur la règle à calcul sont placés les logarithmes des nombres de 1 à 10.

Pour effectuer le produit dex y= 436 × 1,63, on effectue, grâce à la règle à calcul, le produit 4,36 × 1,63 en ajoutant les longueurs correspondant à log(4,36) et log(1,63), on obtient environ 7,1.

Le produit dex yest donc environ 7,1 × 10².

Les échelles logarithmiques

Elles sont utilisées pour représenter des phénomènes pouvant varier par exemple de$10^{-10}$à$10^{10}$.Elles permettent d'amplifier les variations des valeurs proches de 0 et de rendre moins importantes les variations pour les grands nombres, en mettant en évidence plutôt les variations relatives.

L'utilisation des échelles logarithmiques est détaillée dans les articlesÉchelle logarithmique,Repère semi-logarithmiqueetRepère log-log.

Le pH

Le pH d'une solution donne lecologarithmede sa concentration enions oxonium:$\mathrm {pH} =-\log {\big [}\mathrm {H} _{3}\mathrm {O} ^{+}{\big ]}$.

Le pH de l'eau pure est de 7, ce qui signifie qu'il y a$10^{-7}$mole de$\mathrm {H_{3}} \mathrm {O} ^{+}$dans un litre d'eau.

Le pH du jus de citron est de 2,4, ce qui signifie qu'il y a$10^{-2,4}=4\cdot 10^{-3}$mole de$\mathrm {H_{3}} \mathrm {O} ^{+}$dans un litre de jus de citron.

On remarque qu'un pH faible correspond à une concentration élevée de$\mathrm {H} _{3}\mathrm {O} ^{+}$donc à un milieu acide.

Les décibels

En acoustique, une différence d'un décibel (dB) entre deux puissances signifie que le logarithme du rapport entre ces deux puissances est de 0,1 (un dixième debel). Sachant qu'un logarithme de 0,1 correspond à un nombre égal à 1,26, une augmentation de 1 dB correspond à une multiplication de la puissance par 1,26. Une multiplication de la puissance sonore par 2 correspond à une augmentation de 3 dB car$10^{0,3}\approx 2$.

Mathématiquement: soit β le niveau sonore:β = I(dB) = 10 log(I/Ii)où I est l'intensité sonore et Ii l'intensité de référence.

La variationΔβsera donc égale au logarithme décimal du rapport des intensités I1 et I2 (Δβ = 10 log(I1/I2)), et ceci grâce à la propriété des logarithmes décimaux: log(a)−log(b) = log(a/b).

Articles connexes

• Logarithme
• Logarithme binaire
• Logarithme néperien
• Table de logarithmes