Loi de Gumbel

Gumbel
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	$\mu \!$position(réel) $\beta >0\!$échelle(réel)
Support	$x\in (-\infty;+\infty )\!$
Densité de probabilité	${\frac {\exp(-z)\,z}{\beta }}\!$ avec$z=\exp \left[-{\frac {x-\mu }{\beta }}\right]\!$
Fonction de répartition	$\exp(-\exp[-(x-\mu )/\beta ])\!$
Espérance	$\mu +\beta \,\gamma \!$ où$\gamma$est laConstante d'Euler-Mascheroni.
Médiane	$\mu -\beta \,\ln(\ln(2))\!$
Mode	$\mu \!$
Variance	${\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\beta ^{2}\!$
Asymétrie	${\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14\!$
Kurtosis normalisé	${\frac {12}{5}}$
Entropie	$\ln(\beta )+\gamma +1\!$ pour$\beta >\exp(-(\gamma +1))\!$
Fonction génératrice des moments	$\Gamma (1-\beta \,t)\,\exp(\mu \,t)\!$
Fonction caractéristique	$\Gamma (1-i\,\beta \,t)\,\exp(i\,\mu \,t)\!$

Enthéorie des probabilités,laloi de Gumbel(oudistribution de Gumbel), du nom d'Émil Julius Gumbel,est uneloi de probabilitécontinue. La loi de Gumbel est un cas particulier de laloi d'extremum généraliséeau même titre que laloi de Weibullou laloi de Fréchet.La loi de Gumbel est une approximation satisfaisante de la loi du maximum d'un échantillon de variables aléatoires indépendantes toutes de même loi, dès que cette loi appartient, précisément, au domaine d'attraction de la loi de Gumbel. Parmi les lois appartenant au domaine d'attraction de la loi de Gumbel, on compte laloi exponentielle.

La loi de Gumbel peut, par exemple, servir à prévoir le niveau des crues d'un fleuve, si on possède le relevé des débits sur dix ans. Elle peut aussi servir à prédire la probabilité d'un événement critique, comme untremblement de terre.

Fonction de répartition

Etant donné deux paramètres$\mu$et$\beta$,lafonction de répartitionde la loi de Gumbel est donné par:

$F(x;\mu,\beta )=\exp \left(-\exp \left({\frac {\mu -x}{\beta }}\right)\right).$

Pourμ= 0etβ= 1,on obtient la loistandardde Gumbel.

Distributions associées

• SiXsuit une loi de Gumbel, alors la distribution conditionnelle deY= -Xdans le cas oùYest strictement positif, ou de façon équivalente, dans le cas oùXest strictement négatif, suit uneloi de Gompertz.La fonction de répartitionGdeYest reliée àFla fonction de répartition deX,par la formule suivante:$G(y)=\mathbb {P} (Y\leq y)=\mathbb {P} (X\geq -y|X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)$poury> 0.Les densités sont donc reliées par$g(y)=f(-y)/F(0)$:ladensité de Gompertz(en)est proportionnelle à la densité de Gumbel réfléchie et restreinte aux valeurs strictement positives.
• SiXsuit une exponentielle de moyenne égale à 1, alors–log(X)suit une distribution standard de Gumbel.
• Si$X,Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha,\beta )$alors$X-Y\sim \mathrm {Logistic} (0,\beta )\,$.

La théorie associée auxlois log-gamma multivariées généralisées(en)fournit une version multivariée de la loi de Gumbel.

Voir aussi

• Loi d'extremum généralisée
• Graphe aléatoire
• Problème du collectionneur de vignettes

Notes

• (en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«Gumbel distribution»(voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en)N. H.Bingham,C. M.Goldieet J. L.Teugels,Regular Variation,Cambridge,Cambridge University Press,coll.« Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o27),juin 1989,1^reéd.,516p.(ISBN978-0-521-37943-4,DOI10.2277/0521379431,lire en ligne)