Aller au contenu

Loi de Rice

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Rice
Image illustrative de l’article Loi de Rice
Densité de probabilité
pour différentes valeurs deνavec σ = 1.
Rice probability density functions σ = 0.25
pour différentes valeurs de
νavec σ = 0,25.

Image illustrative de l’article Loi de Rice
Fonction de répartition
avec σ = 1,0 pour différentes valeurs deν.
Rice cumulative distribution functions σ = 0.25
avec σ = 0,25 pour différentes valeurs de
ν.

Paramètres
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition

est lafonction Q de Marcum

Espérance
Variance
Asymétrie (compliqué)
Kurtosis normalisé (compliqué)

Enstatistiquesetthéorie des probabilités,laloi de Rice,nommée d'aprèsStephen O. Rice(en)(1907–1986),est uneloi de probabilitéà densité(c'est-à-dire continue).

C'est une généralisation de laloi de Rayleighutilisée pour décrire le comportement d'un signal radio qui se propage selon plusieurs chemins (multipath) avant d'être reçu par une antenne.

Caractérisation

[modifier|modifier le code]

Soient deuxvariables de Gausscentrées, indépendantes, de même varianceσ2.Si on considère qu'elles représentent les deux coordonnées d'un point d'un plan, la distance de ce point à l'origine suit uneloi de Rayleigh:

.

En supposant que la distribution est centrée sur un point de coordonnées(ν cos θ, ν sin θ)(coordonnées polaires(ν, θ)), la densité de probabilité devient:

I0(z)est lafonction de Besselmodifiée de première espèce et d'ordre 0.

Les premiersmoments (non centrés)sont:

où,Lν(x)représente unpolynôme de LaguerreetMdésigne lafonction hypergéométrique confluente.

Pour le casν= 1/2:

Généralement les moments sont donnés par

s= σ1/2.

Lorsquekest pair, les moments deviennent des polynômes enσetν.

Distributions liées

[modifier|modifier le code]
  • La variablesuit une loi de Riceà condition queetsoient deux variablesgaussiennesindépendantes.
  • Pour obtenir une variable,on peut considérer une autre procédure:
  1. TirerPselon uneloi de Poisson,de paramètre
  2. TirerXselon uneloi duχ2avec2P+ 2degrés de liberté.
  3. PoserR=σX.
  • SialorsR2suit une loi duχ2non centrée, à 2 degrés de liberté et un paramètre de non-centralitéν2.

Pour de grandes valeurs de l'argument, le polynôme de Laguerre devient[1]:

On peut constater que lorsqueνdevient grand ou queσdevient petit, alors la moyenne devientνet la varianceσ2.

Notes et références

[modifier|modifier le code]
  1. (en)Milton AbramowitzetIrene Stegun(éd.),Handbook of Mathematical Functions,National Bureau of Standards, 1964; reprinted Dover Publications, 1965(ISBN0-486-61272-4),§13.5.1
  • (en)Stephen O. Rice, « Mathematical Analysis of Random Noise », dansBell System Technical Journal,vol. 24, 1945,p.46–156
  • (en)I. Soltani Bozchalooi et Ming Liang, « A smoothness index-guided approach to wavelet parameter selection in signal de-noising and fault detection », dansJournal of Sound and Vibration,vol. 308,no1-2, 2007,p.246–267DOI10.1016/j.jsv.2007.07.038
  • (en)John G. Proakis,Digital Communications,McGraw-Hill, 2000

Liens externes

[modifier|modifier le code]