Moyenne empirique

Enthéorie des probabilités,lamoyenne empiriqued’unéchantillondevariables aléatoiresréellesouvectorielles$(X_{1},..,X_{n})$est définie par lamoyenne arithmétiquedes variables: ${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$.

Cette moyenne constitue ainsi unestimateur sans biaisde l’espérancepour laloicommune des variables$X_{1},...,X_{n}$.Lorsque cette loi a unevariancefinie$\sigma ^{2}$,la moyenne empirique a pour variance$\sigma ^{2}/n$,ce qui en fait aussi un estimateurconvergent.Elle permet aussi de définir d’autres estimateurs, comme celui de la variance$S^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}$ou de son équivalent sans biais ${S^{*}}^{2}={\frac {n}{n-1}}S^{2}$.

La moyenne empirique est très utilisée en application duthéorème central limite,qui stipule qu’elle converge en loi vers laloi normaledont l’espérance et la variance sont celles des variables$X_{1},...,X_{n}$.Elle donne lieu ainsi à l’expression d’intervalles de confiance.Dans le cas où les variables$X_{1},...,X_{n}$suivent déjà la loi normale ou une autreloi stable,la moyenne empirique suit le même type de loi.

Voir aussi

Bibliographie

• Gilbert Saporta,Probabilités, analyse de données et statistique§12.2.1 « Étude de la statistique${\overline {X}}$», Éditions TECHNIP, Paris 2011.

Liens internes

• Estimateur (statistique)
• Moyenne arithmétique