Uplet

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Enmathématiques,unuplet^[1](désigné aussi parliste^[1],famille finie,ousuite finie) est une collection ordonnée finie d'objets. Plus précisément, si $n$ est unentier naturel,alors unn-uplet,oun-uple,oun-listeest unecollection ordonnéede $n$ objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du $n$ -uplet.

Enprogrammation informatique,on trouve une notion équivalente dans certainslangages,tels quePython,Rust,OCaml,Scala,Swiftou MDX. Dans leslangages fonctionnels,les tuples sont réalisés commetypes produits;dans leslangages impératifs,on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme destruct(C) ourecord(Pascal).

Note:l'utilisation du termeanglaistuple,suffixe de quin-tuple/sex-tuple/…, est courante dans des ouvrages de programmation informatique en français^[2].

Définitions et propriétés

Pour $n$ > 0, si nous notonsa₁le premier élément,a₂le deuxième élément,…,a_nle $n$ -ième élément, le $n$ -uplet s'écrit: (a₁,a₂,…,a_n).
Le 0-uplet s'écrit $()$ .
Un $n$ -uplet ne peut être égal à unp-uplet qu'à la condition que $n$ et $p$ soient égaux.
L'égalitédes $n$ -uplets se définit par

(a₁,a₂,…,a_n) = (b₁,b₂,…,b_n) si et seulement sia₁=b₁eta₂=b₂…eta_n= b_n.

En résumé, un $n$ -uplet dont les composantes sont dans un ensemble $E$ est un élément duproduit cartésien $E^{n}$ .

Si $E$ est fini, l'ensemble $E^{n}$ des $n$ -uplets dont les composantes sont dans $E$ est fini. L'ensemble $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E^{n}$ des uplets dont les composantes sont dans $E$ est dénombrable.

Cas particuliers

un 2-uplet est appelécouple(oudoublet);
un 3-uplet est appelétriplet^[3];
un 4-uplet est appeléquadruplet;
un 5-uplet est appeléquintuplet;
un 6-uplet est appelésextuplet;
etc^[4].

Exemples

(1, 2) ≠ (2, 1).
(♠,♥) ≠ (♥,♠).
Si le premier élément et le deuxième sont 1, si le troisième est 5 et si le quatrième est 20, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit (1, 1, 5, 20).
Si le premier élément est♥,le deuxième et le quatrième sont ♣ et le troisième est♦,alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit: (♥,♣,♦,♣).
Lan-ièmepuissance cartésienneEⁿd'unensembleEest l'ensemble desn-uplets d'éléments deE.
Plus généralement, leproduit cartésienE₁×… ×E_ndenensemblesE₁,…,E_nest l'ensemble desn-uplets (a₁,a₂,…,a_n) oùa₁appartient àE₁,…,a_nappartient àE_n.
De manière générale, lescoordonnéessont desn-uplets. En particulier, les points de l'espace vectoriel ordinairesont représentés par des triplets denombres réels.
Lesnombres complexespeuvent se construire à partir de couples de nombres réels.
Unquaternionpeut être représenté par un quadruplet de nombres réels.
Enthéorie des nombres,les mathématiciens s'intéressent notamment auxtriplets,quadruplets,quintuplets,sextuplets,etc.denombres premiers.
En informatique, les objets d'un type de donnéesenregistrementsont desn-uplets.
Unn-uplet constitue les paramètres d'unefonction informatiqueou les arguments d'unefonction mathématiqueànvariables.

Formalisation

D'après ladéfinition par récurrenceduproduit cartésien denensembles,unn-uplet peut être défini à partir de la notion decouple,qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles:

(a₁,a₂,…,a_n) = ((… ((a₁,a₂),a₃),…,a_n–1),a_n)

(c'est-à-dire qu'un ( $n$ + 1)-uplet est un couple dont la première composante est un $n$ -uplet). Autrement dit:

∅est un 0-uplet
six= (a₁,a₂,…,a_n) est un $n$ -uplet, alors (x,a_n+1) est un ( $n$ +1)-uplet, et (a₁,a₂,…,a_n,a_n+1) = (x,a_n+1).

La propriété caractéristique des $n$ -uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un $n$ +1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un $n$ -uplet: c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un $n$ +1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un $n$ -uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un $n$ -uplet comme unesuitefinie, c'est-à-dire unefonctiondéfinie sur unensemble fini,{0,…, $n$ – 1} ou {1,…, $n$ }.

Notes et références

↑^aetbAlain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais,Dictionnaire des Mathématiques,PUF,2005,p.509, 868
↑Par exemple dans le manuel de F. Aprahamian, A Bertrand, D. Besancenot, J.-B. Ferrari et K. Huynh,Microéconomie,Bréal, 2007(ISBN 9782749507491),p.226.
↑J.-P.Escofier,Toute l'algèbre de la Licence,Dunod,2011,3^eéd.(lire en ligne),p.30.
↑Liste plus complète des cas particuliers sur Wiktionary.

Articles connexes

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[:0-1] tbAlain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais,Dictionnaire des Mathématiques,PUF,2005,p.509, 868

[2] Par exemple dans le manuel de F. Aprahamian, A Bertrand, D. Besancenot, J.-B. Ferrari et K. Huynh,Microéconomie,Bréal, 2007(ISBN 9782749507491),p.226.

[3] J.-P.Escofier,Toute l'algèbre de la Licence,Dunod,2011,3^eéd.(lire en ligne),p.30.

[4] Liste plus complète des cas particuliers sur Wiktionary.

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