Nombre de Carol

Enmathématiques récréatives,len-ièmenombre de Carol(oùnest unentierstrictement positif) est l'entier

$(2^{n}-1)^{2}-2=4^{n}-2^{n+1}-1.$

L'amateurqui les étudie, Cletus Emmanuel, leur a donné le nom d'une amie, Carol G. Kirnon.

Propriétés

Les dix premiers nombres de Carol (suiteA093112de l'OEIS) sont

–1,7,47,223,959, 3 967, 16 127, 65 023, 261 119 et 1 046 527.

Leurs classes decongruence modulo 7sont

–1, 0, –2, –1, 0, –2, –1, 0, –2,etc.

donc pour tout entierk> 0,le (3k+2)-ième nombre de Carol n'est paspremier.

Len-ième nombre de Carol est égal à(2²ⁿ– 1)–2ⁿ⁺¹,ainsi qu'à((2ⁿ+ 1)²– 2)– 2ⁿ⁺².

Sareprésentation binairesin> 2est, de gauche à droite, (n– 2) uns consécutifs, un zéro au milieu, puis (n+ 1) uns consécutifs, puisque

$2^{2n}-1-2^{n+1}=\sum _{0\leq k\leq 2n-1,~k\neq n+1}2^{k}.$

Par exemple, le troisième nombre de Carol (47) s'écrit 101111 en binaire et le quatrième (223) s'écrit 11011111.

Nombres de Carol premiers

Les dix plus petits nombres de Carol premiers (suite A091516) et leurs indices (suite A091515) sont:

indicen	2	3	4	6	7	10	12	15	18	19
nombre de Carol premier	7	47	223	3 967	16 127	1 046 527	16 769 023	1 073 676 287	68 718 952 447	274 876 858 367

Le plus grand nombre de Carol premier connu est le nombre de Carol d'indice 253 987, qui a 152 916 chiffres. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2007en utilisant les programmes MultiSieveet PrimeFormGW.C'est le40^enombre de Carol premier.

Notes et références

(en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«Carol number»(voir la liste des auteurs).