Nombre octogonal

Le nombre octogonal$O_{6}=96$dans son carré entouré de rouge, avec les nombres octogonaux qui le précèdent.

Enmathématiques,unnombreoctogonalest unnombre figurépolygonalqui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans unoctogone.Le nombre octogonal d'ordre$n$est donné par la formule:

$P_{8,n}=O_{n}=n(3n-2)$.

Les treize premiers nombres octogonaux sont1,8,21,40,65,96,133,176,225,280,341,408et481(suiteA000567de l'OEIS).

Obtention de ces nombres

Pour avoir$n$points sur chaque côté de l'octogone extérieur, on ajoute à l'étape$n$:$8-1$points aux sommets et$(8-2)(n-2)$points à l'intérieur des côtés, d'où$O_{n}-O_{n-1}=7+6(n-2)=6(n-1)+1$.

Donc$O_{n}=\sum _{k=1}^{n}(6(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(6k+1)=3n(n-1)+n=n(3n-2)$.

Nombre octogonal$O_{5}=C_{5}+4T_{4}=25+4\times 10=65$

Autre construction

De la formule générale$P_{k,n}=P_{k-1,n}+T_{n-1}$,découle par exemple que$O_{n}$s'obtient en ajoutant lenombre carré$C_{n}$au quadruple du$(n-1)$-èmenombre triangulaire:$O_{n}=C_{n}+4T_{n-1}=n^{2}+2n(n-1)$.

Propriétés

• $O_{n}=n+6T_{n-1}=n+3n(n-1)$estcongruà$n$modulo 6 et a donc même parité que lui.

• D'après lethéorème des nombres polygonaux de Fermat,tout entier naturel est la somme d'au plus 8 nombres octogonaux.

Références

(en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«Octagonal number»(voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Nombre polygonal
• Nombre octogonal centré
• Nombre octaédrique