Nombre polygonal

Enmathématiques,unnombre polygonalest unnombre figuréqui peut être représenté par unpolygone régulier.Lesmathématiciensantiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en disposant d'une certaine manière des cailloux ou des pois^[1]^,^[2].

La formule générale pour le nombre $k$ -gonal (associé au polygone régulier à $k$ côtés) d'ordre $n$ est $P_{k,n}={n~{\big (}(k-2)n-(k-4){\big )} \over 2}$ .

Avec inversion des lettres $n$ et $k$ ,la suite double $(P_{n,k})_{n\geqslant 1,k\geqslant 2}$ est répertoriée comme suiteA057145de l'OEIS.

Exemples: nombres triangulaires et nombres carrés

Par exemple, le nombre 10 peut être représenté par untriangle équilatéralayant quatre pois sur chaque côté:

Notations: $P 3,4$ = $T 4$ = 10.

Article détaillé:Nombre triangulaire.

Mais 10 ne peut pas être représenté par uncarré.

Au contraire: par exemple, le nombre 9 peut être représenté par un carré ayant trois pois sur chaque côté:

Notations: $P 4,3$ = 3²= 9.

Article détaillé:Nombre carré.

Mais 9 ne peut pas être représenté par untriangle.

En outre: par exemple, le nombre 36 peut être représenté à la fois par un carré ayant six pois sur chaque côté et par un triangle ayant huit pois sur chaque côté:

Notations: $P 4,6$ = 6²= 36 = $T 8$ = $P 3,8$ .

Article détaillé:Nombre carré triangulaire.

Relation de récurrence, gnomon, somme de gnomons

Récurrence sur l'indicen

Construction d'un nombrek-gonal d'ordre 5, dans le cas $k=10$ : ${\color {red}1}+{\color {orange}1+(k-2)}+{\color {green}1+2(k-2)}+{\color {blue}1+3(k-2)}+{\color {pink}1+4(k-2)}$

La méthode pour passer d'un polygone au suivant consiste à prolonger d'un seul point chacun des deux côtés adjacents à un seul sommet, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes ci-dessous, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour toutentier $k$ ≥ 3, par convention, posons $P k,0$ = 0; pour tout entier $n$ ≥ 1, le nombre de points rouges du $n$ -ième $k$ -gone, possédant $n$ points sur chaque arête, est égal à $k-2$ (points disposés aux sommets) plus $(k-2)(n-2)$ (points disposés à l'intérieur des arêtes). Donc:

{\begin{aligned}P_{k,n}-P_{k,n-1}&=k-1+(k-2)(n-2)\\&=1+(k-2)(n-1).\end{aligned}}

C'est legnomonassocié à $P k, n -1$ ,et faisant passer à $P k,n$ .
Pour tout entier $k$ ≥ 3, ( $P k,n$ – $P k, n -1$ )_{$n$ ≥1}est donc lasuite arithmétiquede premier terme 1 et de raison $k$ – 2 et pour tout entier $n$ ≥ 0, le $n$ -ième nombre $k$ -gonal est lasomme des $n$ premiers termes de cette suite:

{\begin{aligned}P_{k,n}=\sum _{1\leqslant i\leqslant n}\left(1+(k-2)(i-1)\right)&=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}\\&={n~{\big (}(k-2)n-(k-4){\big )} \over 2}\\&={n~{\big (}(k-2)(n-1)+2{\big )} \over 2}\end{aligned}}

^[3].

Exemples

Nombres triangulaires:
$P 3,1$ = $T 1$ = 1		$P 3,2$ = $T 2$ = 3		$P 3,3$ = $T 3$ = 6		$P 3,4$ = $T 4$ = 10

Nombres carrés:
$P 4,1$ = 1²= 1		$P 4,2$ = 2²= 4		$P 4,3$ = 3²= 9		$P 4,4$ = 4²= 16

Nombres hexagonaux:
$P 6,1$ = 1		$P 6,2$ = 6		$P 6,3$ = 15		$P 6,4$ = 28

Récurrence sur l'indicek

On peut obtenir directement la formule $P_{k,n}=(k-2)T_{n-1}+n$ pour $k\geqslant 2$ et $n\geqslant 1$ ,grâce à la preuve sans mots ci-contre.

On en déduit que pour $k\geqslant 3$ et $n\geqslant 1$ :

$P_{k,n}=P_{k-1,n}+T_{n-1}$ .

Autrement dit, on obtient un nombre $k$ -gonal en ajoutant au nombre $k-1$ -gonal de même rang le nombre triangulaire de rang inférieur d'une unité.

On en déduit que pour $k\geqslant k'\geqslant 2$ : $P_{k,n}=P_{k',n}+(k-k')T_{n-1}$ .

Par exemple, pour $k'=4$ : $P_{k,n}=n^{2}+(k-4)T_{n-1}$ (voir figure de gauche).

On a aussipour $k$ impair ≥ 5, $(k-2)P_{k,n}+T_{\frac {k-5}{2}}=T_{(k-2)n-{\frac {k-3}{2}}}$ .^{[pertinence contestée]}

Listes de nombres polygonaux

Nombres polygonaux
$k$	Nom	Notation	Expression $P k,n$ =	$n$										Numéro de suiteOEIS
$k$	Nom	Notation	Expression $P k,n$ =	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Numéro de suiteOEIS
3	nombre triangulaire	$P 3, n$	${n(n+1) \over 2}$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	A000217
4	nombre carré	$P 4, n$	$n^{2}$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	A000290
5	nombre pentagonal	$P 5, n$	${n(3n-1) \over 2}$	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	A000326
6	nombre hexagonal	$P 6, n$	$n(2n-1)$	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	A000384
7	nombre heptagonal	$P 7, n$	${n(5n-3) \over 2}$	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	A000566
8	nombre octogonal	$P 8, n$	$n(3n-2)$	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	A000567
9	nombre ennéagonal	$P 9, n$	${n(7n-5) \over 2}$	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	A001106
10	nombre décagonal	$P 10, n$	$n(4n-3)$	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	A001107
11	nombre undécagonal	$P 11, n$	${n(9n-7) \over 2}$	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	A051682
12	nombre dodécagonal	$P 12, n$	$n(5n-4)$	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	A051624
...	...		...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10 000	nombre myriagonal	$P 10 000, n$	$n(4~999n-4~998)$	1	10 000	29 997	59 992	99 985	149 976	209 965	279 952	359 937	449 920	A167149

Décomposition en nombres triangulaires

On a la relation $P_{k,n}=(k-2)T_{n}-(k-3)n$ où $T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$ est len-ièmenombre triangulaire.Ceci provient de la décomposition du polygone en $k-2$ triangles comme le montre la figure ci-dessous.

Nombre à la foisk-gonal etk-gonal centré

Lapertinencede cette section est remise en cause. Considérez son contenu avec précaution.Améliorez-leoudiscutez-en,sachant quela pertinence encyclopédique d'une informationse démontre essentiellement par des sources secondaires indépendantes et de qualité qui ont analysé la question.(juin 2022)

Pour tout entier $k$ ≥ 3, les premier et ( $k$ + 1)-ième nombres $k$ -gonaux sont aussi $k$ -gonaux centrés:

P_{k,1}=1=C_{k,1}\quad {\text{et}}\quad P_{k,k+1}={{k^{3}-k^{2}+2} \over 2}=C_{k,k}.

Nombre polygonal premier

Lapertinencede cette section est remise en cause. Considérez son contenu avec précaution.Améliorez-leoudiscutez-en,sachant quela pertinence encyclopédique d'une informationse démontre essentiellement par des sources secondaires indépendantes et de qualité qui ont analysé la question.(février 2022)

Pour tout entier $k$ ≥ 3:

le 2-ième nombre $k$ -gonal, $P k,2 = k$ ,peut évidemment êtrepremier;
mais vu son expression (voirsupra), un nombre $k$ -gonal de rang $n$ ≥ 3 ne peut pas être premier (contrairement à unnombre $k$ -gonal centré).

Intérêt

Outre diversjeux arithmético-géométriques,nous avons enarithmétique additive / combinatoire additivele puissant théorème suivant.

Article détaillé:Théorème des nombres polygonaux de Fermat.

Tout entier naturel est la somme d'au plusknombresk-gonaux.

Ce théorème a d'abord été énoncé sans preuve parPierre de Fermat,qui proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique^[4],mais aucun livre ne parut.

Joseph Louis Lagrangea ensuite établi, en 1770, sonthéorème des quatre carrés:

Tout entier positif est la somme de 4 carrés parfaits au plus.

Puis, en 1796,Gausstraita le cas des nombres triangulaires.

Enfin, le théorème fut intégralement prouvé parCauchyen 1813.

Notes et références

(en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«Polygonal number»(voir la liste des auteurs).

↑Emile Fourrey,Récréations mathématiques,Vuibert,1920(lire en ligne),p.56-54
↑David Wells,Le dictionnaire Penguin des nombres curieux,Eyrolles,1995(ISBN 2-212-03636-1),p.124-125
↑(en)Eric W. Weisstein,«Polygonal Number», surMathWorld.
↑Paul TanneryetCharles Henry,Œuvres de Fermat,t. 3, 1896,p. 252: Commentaire de Bachet sur IV, 31.

Bibliographie

(en)Melvyn Nathanson,«A short proof of Cauchy's polygonal number theorem»,Proc. Amer. Math. Soc.,vol.99,‎1987,p.22-24(lire en ligne)

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Emile Fourrey,Récréations mathématiques,Vuibert,1920(lire en ligne),p.56-54

[2] David Wells,Le dictionnaire Penguin des nombres curieux,Eyrolles,1995(ISBN 2-212-03636-1),p.124-125

[3] (en)Eric W. Weisstein,«Polygonal Number», surMathWorld.

[4] Paul TanneryetCharles Henry,Œuvres de Fermat,t. 3, 1896,p. 252: Commentaire de Bachet sur IV, 31.

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