Polynôme de Jones

Lepolynôme de Jonesenthéorie des nœudsest uninvariant polynomial des nœuds(incomplet) introduit parVaughan Jonesen 1984. Plus précisément, c'est un invariant d'un nœud orienté ou d'un entrelacs orienté, qui est unpolynôme de Laurentà coefficients entiers en la variable$t^{1/2}$.

Propriétés

Le polynôme de Jones$V(t)$est caractérisé par le fait qu'il prend la valeur 1 pour lenœud trivialet vérifie la «relation d'écheveau(en)» (skein relation) suivante:

$(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,$

où$L_{0}$,$L_{+}$et$L_{-}$sont des diagrammes d'entrelacs orientés qui ne diffèrent que dans une petite région de la façon suivante

Le polynôme de Jones, contrairement aupolynôme d'Alexander,permet parfois de distinguer un nœud de sonimage par un miroir.Si$L'$est l'image du nœud$L$par un miroir, on a la relation suivante:

$V(L')(t)=V(L)(t^{-1})~$.

Le polynôme de Jones dunœud de trèfleest$-t^{4}+t^{3}+t$.

Bibliographie

• (en)Louis Kauffman,«State models and the Jones polynomial»,Topology,vol.26,n^o3,‎1987,p.395-407