Primitive

Enmathématiques,uneprimitived’unefonction réelle(ouholomorphe)fest une fonctionFdontfest ladérivée: $F'=f$. Il s’agit donc d’unantécédentpour l’opération de dérivation.

La détermination d’une primitive sert d’abord au calcul desintégralesde fonctions continues sur un segment, en application duthéorème fondamental de l'analyse.

$\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

De nombreuses méthodes de calcul permettent d’exprimer des primitives pour certaines combinaisons de fonctions usuelles, mais le traitement général du problème diffère du calcul de la dérivée pour deux raisons essentielles:

• il n’y a pasunicitéde la primitive pour une fonction donnée, ce qui explique également l’absence d’opérateurde primitive analogue auprimepour la dérivée (même si pour une fonction notée avec une lettre minuscule, une primitive est souvent notée avec la majuscule associée);
• quel que soit l’ensemble finide fonctions usuelles que l’on se donne, certaines combinaisons de ces fonctions n’admettent aucune primitive qui puisse s’exprimer comme combinaison de fonctions usuelles. Les conditions précises d’existence de l’expression d’une primitive sont explicitées par lethéorème de Liouville.

Toute fonction réellecontinuesur un intervalle, voirecontinue par morceaux,admet une primitive. En revanche, unefonction holomorphesur un ouvert de$\mathbb {C}$n’admet une primitive que si sonintégrale curvilignesur toutlacetest nulle (par exemple si l’ouvertde définition estsimplement connexe,d’après lethéorème intégral de Cauchy).

Méthodes de calcul

Formulaire

Chacune des primitives indiquées ici permet de déterminer toutes les autres primitives en ajoutant des constantes (éventuellement différentes d’unecomposante connexeà l’autre du domaine).

Primitives élémentaires

$f(x)$	$D_{f}$	$F(x)$
$a$	$\mathbb {R}$	$ax$
$1/x$	$\mathbb {R} ^{*}$	$\ln |x|$
$x^{a}$(avec$a\neq -1$)	$\mathbb {R} {\text{ si }}a\in \mathbb {N}$, $\mathbb {R} ^{*}{\text{ si }}a\in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N}$, $\mathbb {R} _{+}^{*}{\text{ sinon}}$	${\frac {x^{a+1}}{a+1}}$
$a^{x}$(avec$a>0$,$a\neq 1$)	$\mathbb {R}$	${\frac {a^{x}}{\ln a}}$
$\ln(x)$	$\mathbb {R} _{+}^{*}$	$x(\ln(x)-1)$

En particulier, lafonction exponentielleest une primitive d’elle-même. Ce tableau inclut les primitives des inverses de fonctions puissances avec la règle${\frac {1}{x^{n}}}=x^{-n}$,laracine carréepar${\sqrt {x}}=x^{1/2}$,et plus généralement les racines d’ordre supérieur par${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}$.

Primitives avecfonctions trigonométriques

$f(x)$	$D_{f}$	$F(x)$
$\cos(x)$	$\mathbb {R}$	$\sin(x)$
$\sin(x)$	$\mathbb {R}$	$-\cos(x)$
${\frac {1}{\cos ^{2}x}}$	$\mathbb {R} \backslash \left\{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}$	$\tan x$
$-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$	$\mathbb {R} \backslash \left\{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}$	$\cot x$
$\tan x$	$\mathbb {R} \backslash \left\{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}$	$-\ln |\cos x|$
$\cot x$	$\mathbb {R} \backslash \left\{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}$	$\ln |\sin x|$
${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$\left]-1,1\right[$	$\arcsin x$
${\frac {1}{1+x^{2}}}$	$\mathbb {R}$	$\arctan x$

Primitives avecfonctions hyperboliques

$f(x)$	$D_{f}$	$F(x)$
$\operatorname {ch} x$	$\mathbb {R}$	$\operatorname {sh} x$
$\operatorname {sh} x$	$\mathbb {R}$	$\operatorname {ch} x$
${\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}$	$\mathbb {R}$	$\operatorname {th} x$
${\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}$	$\mathbb {R} ^{*}$	$-\operatorname {coth} x$
${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$	$\mathbb {R}$	arsinhx$=\operatorname {ln} \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$
${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$	$\left]1;+\infty \right[$pour arcosh prolongeable à$\mathbb {R} \setminus \left[-1,1\right]$ en utilisant l'expression logarithmique	arcoshx$=\operatorname {ln} \left\vert x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right\vert$
${\frac {1}{1-x^{2}}}$	$\left]-1,1\right[$	artanhx$={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$
${\frac {1}{1-x^{2}}}$	$\mathbb {R} \setminus \left[-1,1\right]$	arcothx$={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{x-1}}\right)$

Combinaisons

Le formulaire de dérivation permet d’obtenir l’expression de primitives pour toutes lescombinaisons linéairesdes dérivées de fonctions usuelles, en particulier pour unpolynômeà partir de sa forme développée. Par exemple, une primitive du polynôme${\displaystyle:x\mapsto 3x+x^{2}}$est$x\mapsto {\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{3}}x^{3}$.

Pour unefraction rationnelle,il est possible d’obtenir une primitive à l’aide de sadécomposition en éléments simples,mais celle-ci repose sur unefactorisationdu dénominateur, ce qui ne s’explicite pas en général.

Lacomposition à droitepar unefonction affinepermet d’étendre ce formulaire: siFest une primitive def,et siaetbsont deux réels aveca≠ 0,alors la fonction$x\mapsto f(ax+b)$admet pour primitive$x\mapsto {\frac {1}{a}}F(ax+b)$. En particulier, on obtient des primitives designaux périodiquesapparaissant par exemple dans lecircuit RLC:

Primitives de signaux sinusoïdaux

$f(x)$	$D_{f}$	$F(x)$
$\cos(\omega x+\varphi )$	$\mathbb {R}$	${\frac {1}{\omega }}\sin(\omega x+\varphi )+C$
$\sin(\omega x+\varphi )$	$\mathbb {R}$	$-{\frac {1}{\omega }}\cos(\omega x+\varphi )+C$

Plus généralement, siuest une fonction dérivable, toutes ses composées à gauche par les primitives dans les tableaux ci-dessus fournissent des formes standard dans la recherche de primitive, comme dans le tableau ci-dessous.

Primitives pour formes de référence

$f(x)$	$F(x)$
$(u^{a})\times u^{\prime }$	${\frac {u^{a+1}}{a+1}}$
${\frac {u^{\prime }}{u}}$	$\ln {|u|}$
${\rm {e}}^{u}\times u^{\prime }$	${\rm {e}}^{u}$
$(\sin u)\times u^{\prime }$	$-\cos u$
$(\cos u)\times u^{\prime }$	$\sin u$
$u^{\prime }\times \ln {|u|}$	$u\times \ln {|u|}-u$

Intégration

Lethéorème fondamental de l'analysepermet le calcul de primitives en utilisant des intégrales. Les méthodes d’intégration permettent d’obtenir des primitives supplémentaires, notamment parchangement de variableouintégration par parties.C’est ainsi qu’on peut retrouver facilement une primitive des fonctionslogarithmeouarc tangente.

$\int _{1}^{x}\ln(t)\mathrm {d} t=\left[t\ln(t)\right]_{1}^{x}-\int _{1}^{x}{\frac {t}{t}}\mathrm {d} t=x\ln(x)-(x-1)$ $\int _{0}^{x}\arctan(t)\mathrm {d} t=\left[t\arctan(t)\right]_{0}^{x}-\int _{0}^{x}{\frac {t}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t=x\arctan(x)-\left[{\frac {1}{2}}\ln(1+t^{2})\right]_{0}^{x}=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}$

De même, lesrègles de Biochepermettent de déterminer une primitive pour un quotient depolynômes trigonométriques.

Utilisations

Les primitives permettent de calculer des intégrales, en vertu du théorème fondamental de l'analyse: siFest une primitive d’une fonctionfdéfinie et continue sur un intervalle réel$[a,b]$,alors la fonctionfest intégrable sur cet intervalle, avec$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$.

Cette égalité assure l’équivalence suivante: une fonction définie et continue sur un intervalle réel estintégrablesi et seulement si ses primitives admettent des limites finies aux bornes de l’intervalle.

La résolution de certaineséquations différentiellesrepose sur la détermination de primitives. Par exemple, pour une équation du premier ordre sous forme résolue$y'=g(y)$,en notantFune primitive de${\frac {1}{g}}$,on obtient que les fonctions solutions sont de la forme$x\mapsto F^{-1}(x+C)$,où$F^{-1}$est uneréciproque partielledeF.

Pour unevariable aléatoire réelleà densité,lafonction de répartitionest une primitive de la fonction de densité.

Calcul automatique

Des logiciels commeMaxima,SageMath,MapleouMathematicapermettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langageFORMAC,utilisé par les physiciens dans lesannées 1970.

Il n'est cependant pas possible en général d'exprimer les primitives de fonctions élémentaires (comme celles de la fonction$x\mapsto 1/\ln x$) à l'aide de fonctions élémentaires seules (d'où la nécessité d'introduire des «fonctions spéciales» telles que la fonctionlogarithme intégral,li); des conditions précises pour qu'une primitive « élémentaire » explicite existe sont données par unthéorème de Liouville,et il est même possible d'automatiser complètement la recherche de telles primitives, grâce à l'algorithme de Risch.

Primitive généralisée

Uneprimitive généraliséed'une application$f:I\to E$,où$I$est unintervalle réelet$E$unespace vectoriel normé,est une application continue$F:I\to E$telle que, sur lecomplémentaired'unensemble dénombrable,$F'=f$.

Par exemple, si$F$est lafonction nulleet$f$lafonction indicatriced'un ensemble dénombrable$D$de réels,alors$F$est une primitive généralisée de$f$puisque pour tout réel$x\notin D,F'(x)=0=f(x)$.

Si une fonction$F$est une primitive généralisée d'une fonction$f$alors:

• les autres sont les applications de la forme$F+C$où$C$est une constante (vectorielle)(d'après l'inégalité des accroissements finis généralisée);
• dans le cas$E=\mathbb {R}$,$f$est localementintégrable au sens de Kurzweil-Henstocket satisfait:$\forall u,v\in I\quad \int _{u}^{v}f=F(v)-F(u)$(d'après lesecond théorème fondamental de l'analyse).

Lepremier théorème fondamental de l'analysefournit uneréciproquepartielle: si$f:I\to \mathbb {R}$estréglée(donclocalementRiemann-intégrable), l'applicationFdéfinie par

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$

(où$a$est un point arbitraire de$I$) est une primitive généralisée de$f$.

Articles connexes

• Théorème de Liouville (algèbre différentielle),donnant des conditions pour qu'on puisse exprimer une primitive sous forme explicite.
• Algorithme de Risch
• Calcul numérique d'une intégrale
• Intégrale impropre
• Intégrale indéfinie
• Intégrale définie
• Intégration (mathématiques)
• Point de Lebesgue
• Intégration des fonctions réciproques