Produit (mathématiques)

On nommeproduitdenombresentiers,réels,complexesou autres le résultat de leurmultiplication.Les éléments multipliés s’appellent lesfacteursdu produit.L’expressiond’un produit est aussi appelée « produit », par exemple l’écriture3adu triple du nombreaest un produit de deux facteurs, où le symbole de la multiplication est sous-entendu.

L'ordre dans lequel lesnombres réelsou lesnombres complexessont multipliés, de même que la façon de regrouper ces termes, n'ont pas d'importance; ainsi, nulle permutation de termes ne modifie le résultat du produit. Ces propriétés sont nomméescommutativité de la loietassociativitéde la loi de multiplication.

Les multiplications d'objets comme les vecteurs et les matrices (produit matriciel,produit tensoriel,etc.) ne sont en revanche pas commutatifs.

Exemples

Trois paquets de cinq

Sitrois paquetscontiennentchacun cinqfriandises,alors au total ils contiennent3 × 5friandises. Ceproduitdetroisparcinqest égal à unesommedetroistermes égaux àcinq.Ettrois fois cinqfontquinze.

$5\;+\;5\;+\;5\;=\;5\times 3\;=\;15.$

Cinq virages à droite

Dans l’expression française «unefractiond’unegrandeur», lapréposition«de» se traduit en mathématiques par un symbole demultiplication.Ce symbole est sous-entendu dans le produitf gqui représente la fractionfdela grandeurg.Produit qui vautdeux cinquièmesdetrois cent soixante degréssif=2/5etg= 360°

${\frac {2}{5}}\,\times \,360\,^{\circ }\,=\,{\frac {4}{10}}\,\times \,360\,^{\circ }\,=\,0{,}4\,\times \,360\,^{\circ }\,=\,4\,\times 36\,^{\circ }\,=\,144\,^{\circ }.$

Imaginons un robot mobile, qui effectue des trajets rectilignes successifs de mêmelongueurd.Ces trajets partiels sont représentés en géométrie plane par dessegmentségaux successifs. Supposons qu’entre deux trajets rectilignes, le robot à l’arrêt tourne à droite sur lui-même de144°.Quand il arépétécinqfois la manœuvre suivante: avancer tout droit d’une longueurdpuis tourner à droite sur lui‑même de144°,il revient à son point de départ. Son parcours polygonal fermé est représenté par unpentagonerégulierétoilé(symbole de Schläfli{5/2}), depérimètre5d). Pendant tout son trajet fermé, le robot tourne dans le sens horaire autour du centre dupolygone régulier,d’un angle de5 × 144° = 720° = 2 × 360°.Il effectue deux tours complets autour du centre du pentagone étoilé.

Cas simples et notations

Le principe de base de la multiplication des nombres entiersnaturelsest de dénombrer les éléments d’uneréuniondenensemblesdisjointsdeux à deux (nest lemultiplicateur), quand chaque ensemble contient le même nombrepd'éléments (pest lemultiplicande).

Vocabulaire

Dans un produit de deux facteurs, le premier facteur est nommé par conventionmultiplicandeet le secondmultiplicateur.Inverser leurs valeurs ne change jamais le résultat, à la différence de l’inversion du dividende et du diviseur dans unedivision.

multiplicande×multiplicateur

L'opérateurest lesigne multiplication« × »,unpoint«. » sur la ligne quand leséparateur décimalest la virgule^{[réf. nécessaire]}et un point opérateur « ⋅ » (médian)lorsque le point sur la ligne sert déjà de séparateur décimal, comme dans la convention anglo-saxonne; enprogrammationinformatique, leslangagesutilisent en général l'astérisque« * » (signe étoile). Il est omis quand il est présent sans ambigüité, par exemple dans une expression comme3a.

Principe pour les nombres entiers

Dans le cas desentiers naturels,la multiplication revient à faire des additions de nombres identiques. Quand on dit, par exemple, « cinq multiplié par sept », cela signifie que l'on répète sept fois un ensemble de cinq éléments. Ainsi:

$5\times 7=5+5+5+5+5+5+5=35.$

Par ailleurs, parmi les différentes propriétés algébriques de la multiplication de nombres, lacommutativitépeut-être explicitée: l'ordre des facteurs n'influe pas sur le résultat:

$7\times 5=7+7+7+7+7=35=5\times 7.$

Ces expressions se lisent respectivement « cinq multiplié par sept » (ou « 7 fois 5 ») et « sept multiplié par cinq » (ou « 5 fois 7 »).

Cette opération peut aussi se noter, pour des besoins techniques,

	5
×	7
	35

Le résultat peut être obtenu:

• par consultation d'un répertoire de résultats connus, tel qu'unetable de multiplication;
• par l'exécution d'unalgorithme(de tête, à la main avec un instrument d'écriture, ou à l'aide d'uncalculateur):
  • l'algorithme le plus simpliste se résume enadditionssuccessives (fréquent pour les petits nombres, mais rapidement inutilisable),
  • pour des nombres plus grands mais encore de taille raisonnable, il existe desméthodesplus efficaces qui font partie du bagage culturel,
  • l'informatique moderne a suscité des techniques encore plus élaborées, certaines étant des objets de recherche.

Principe pour les nombres décimaux

Unnombre décimalest un nombre entier qui a été divisé par une puissance de dix (1 — c'est alors un entier —, 10, 100, 1 000…). Ladistributivitéde la multiplication sur la division permet de calculer les multiplications de nombres décimaux comme celle des nombres entiers:

1. on ignore les virgules et l'on multiplie les nombres comme si c'étaient des entiers;
2. le nombre de chiffres après la virgule du résultat final est la somme du nombre de chiffres après la virgule du multiplicande et du multiplicateur.

Par exemple pour calculer 5,3 × 0,21:

• on calcule 53 × 21, ce qui donne 1 113;
• le multiplicande a un chiffre après la virgule, le multiplicateur en a deux, le résultat en a donc trois (1 + 2): le résultat final est 1,113.

Généralisation

Plus généralement, un produit est le résultat de la composition de deux éléments d'un ensemble pour uneloi internemultiplicative. Lorsque desmatricesou des objets de divers autresanneauxsont multipliés, le produit dépend en général de l'ordre des facteurs; en d'autres termes, la multiplication des matrices, et les lois de multiplication de ces autres anneaux, ne sont pascommutatives.

Des généralisations et des extensions du concept de produit existent enmathématiques:

• leproduit scalaireet leproduit vectorielsont des sortes de multiplications devecteurs;
• leproduit matriciel,la multiplication des matrices n'est pas commutative sauf sur des sous-ensembles triviaux;
• le produit usuel de deuxfonctions;
• les produits dans desanneauxou dans descorps commutatifs(ougauches) de toutes sortes.

Des multiplications respectant l'invariance desnormes(« la norme du produit de deux objets est égale au produit de leur norme ») n'ont pu être définies que pour quelques objets: lesréels,lescomplexes,lesquaternionset lesoctonions.

Produit indexé

Le produit peut être noté∏(picapitale)lorsque de nombreux facteurs indexés interviennent. Par exemple, si l'on considère unesuite$(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$,alors:$\prod _{i=1}^{N}u_{i}=u_{1}\times u_{2}\times \cdots \times u_{N}.$

Voir aussi

• Technique de multiplication
• Produit scalaire
• Produit vectoriel
• Produit cartésien
• Addition