Puissance d'un nombre

${\begin{array}{l}a^{0}=1\\a^{1}=a\\a^{2}=a\times a\\a^{3}=a\times a\times a\end{array}}$

Premières puissances d'un nombrea.

Enalgèbre,unepuissance d'un nombreest le résultat de lamultiplicationrépétée de cenombreavec lui-même. Elle est souvent notée en assortissant le nombre d'unentier,typographié en exposant,qui indique le nombre de fois qu'apparaît le nombre comme facteur dans cette multiplication.

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n\ \mathrm {facteurs} }$

Elle se lit « puissancen-ième dea», «apuissancen» ou «aexposantn». L'entiernest appeléexposant.

En particulier, lecarréet lecubesont des puissances d'exposant 2 et 3 respectivement.

Tout nombre est égal à sa propre puissance d'exposant 1, tandis que toute puissance d'exposantnulvaut 1 par convention.

2^3 = 8

Codage d'une puissance.

Pour chaque exposant, la puissance définit donc uneopération,dont la notation est prioritaire sur les autres symboles d'opérations algébriques élémentaires. L'opération binaire associée est l'exponentiation,qui se note parfois à l'aide du symbole « ^ », notamment sur les calculatrices. On trouve aussi le symbole ** dans certains langages de programmation (par exemplePythonouAda)

${\begin{array}{l}x^{-3}={\dfrac {1}{x^{3}}}\\x^{1/2}={\sqrt {x}}\end{array}}$

Puissance d'exposant négatif ou rationnel.

Lorsqu'un nombre possède uninverse,il est possible de définir ses puissances d'exposantnégatifcomme les puissances de cet inverse. Sous certaines conditions, il est même possible de définir des puissances d'exposantrationnelcomme 1/2, qui correspond à laracine carréepour les réels positifs. Lafonction exponentiellepermet ensuite d'étendre cette définition aux exposantsréelsoucomplexes.

Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10⁻⁵,sont d'une utilisation régulière dans les autressciences,notamment enphysiqueet enchimie.

Puissance à exposant entier positif

On considère un nombreaquelconque et unentier naturelnnon nul. La puissance énième dea,notéeaⁿet lue «apuissancen»,ou «aexposantn» est le résultat de la multiplication de ce nombreapar lui-mêmen– 1 fois:

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{ facteurs}} \atop n-1{\text{ signes }}\times }=\prod _{i=1}^{n}a$

Le nombrenest appelé l'exposant de la puissanceaⁿ.

Le nombrenest un entier naturel (donc positif) etaⁿest une puissance à exposant entier positif dea.

Cas particuliers

• a¹=a;
• On appellea²lapuissance carréeou lecarrédea;
• On appellea³lapuissance cubiqueou lecubedea.

On remarque que, quel que soit l'entier naturelnnon nul, 0ⁿ= 0 et 1ⁿ= 1 (ces nombres sont idempotents).

Puissance à exposant zéro

Vouloir augmenter le domaine de validité d’une formule amène à étendre la notion de puissance. Première extension:

$1={\frac {a^{\,n}}{a^{\,n}}}=a^{\,n\,-\,n}=a^{\,0}.$

De façon plus abstraite,a⁰= 1 pour tout nombre réela,d’après la convention sur lesproduits vides.Définition cohérente avec lesopérations algébriques sur les puissances.

La convention 0⁰= 1 est utilisée dans un cadre abstrait plus large, par exemple pour identifier le polynômeX⁰avec lafonction constantede valeur 1. De même, dans le cadre de lathéorie des ensembles,la notation 0⁰peut représenter le nombre d'éléments de l'ensemble des applicationsde l'ensemble videdans lui-même et donc valoir 1.

Cependant, l'application$(x,y)\mapsto x^{y}=\exp(y\ln(x))$,bien définie sur$\mathbb {R} _{+}^{*}\times \mathbb {R}$,n'admet pas de prolongement parcontinuitéen (0, 0), ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité. Néanmoins des conventions sont possibles, limitées à des domaines bien définis.

Puissance à exposant entier négatif

On considère maintenant un nombreanon nul et un entier natureln.Le nombrea^–n,lu «apuissance moinsn», ou «aexposant moinsn» par abus de langage, est l'inverse de la puissancen-ième dea,c'est-à-dire:

${\textstyle a^{-n}={\dfrac {1}{a^{n}}}.}$

Le nombre–nest l'exposantde la puissancea^–n.

Le nombre–nétant négatif, carnest un entier naturel,a^–nest une puissance deaà exposantnégatif. On notera, en particulier, quea^–1= 1/a(l'inverse du nombrea).

On peut appliquer cette règle pour transformer une puissance positive en inverse d'une puissance négative:

$a^{n}={\dfrac {1}{a^{-n}}}$

Signe de l'exposant entier et signe du nombre

Il n'y a pas de rapport direct entre lesignedu nombre et le signe du résultat. Celui-ci dépend de la parité de l'exposant.

Un nombre élevé à une puissance paire donne un résultat positif:sinest pair, alors(–a)ⁿ=aⁿ.

Un nombre élevé à une puissance impaire donne un résultat du même signe:sinest impair, alors(–a)ⁿ= –aⁿ.

Exemples

• (–2)³,puissance cubique de –2, vaut (–2)×(–2)×(–2) = –8 < 0.
• 3^–4,l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut

${\dfrac {1}{3^{4}}}={\dfrac {1}{3\times 3\times 3\times 3}}={\dfrac {1}{81}}>0$.

Remarque.

Il ne faut pas confondre les écritures(–a)ⁿ,où la puissance s'applique à–a(signe moinscompris) et–aⁿ,où la puissance s'applique àauniquement. En effet:

• $(-a)^{n}=(-a)\times (-a)\times (-a)\times \dots \times (-a)$
• $-a^{n}=-a\times a\times a\times \dots \times a$

Opérations algébriques sur les puissances entières

Il n'y a pas de formule générale sur lesadditionsou lessoustractionsde puissances, sauf lafactorisation deaⁿ– bⁿet ledéveloppement de(a + b)ⁿ.

En revanche, pour lesmultiplicationset lesdivisionsde puissances, on sait que pour tous nombresaetbet pour tous entiers naturelsmetn:

• $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$;
• ${\dfrac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}{\text{ si }}a\neq 0$;
• $(a^{m})^{n}=a^{m\times {n}}=a^{n\times {m}}=(a^{n})^{m}$;
• $(a\times {b})^{n}=a^{n}\times {b^{n}}$;
• $\left({\dfrac {a}{b}}\right)^{n}={\dfrac {a^{n}}{b^{n}}}{\text{ si }}b\neq 0$.

Ces formules sont encore valables simounsont des entiers strictement négatifs, à condition queaetbsoient non nuls.

On remarque que toutes ces formules sont cohérentes entre elles et avec la convention «a⁰= 1pour tout nombre réela≠ 0». Par exemple, pour tout entier natureln≠ 0et pour tout réela≠ 0, $a^{0}=a^{n-n}={\dfrac {a^{n}}{a^{n}}}=1.$Attention:$(a^{n})^{m}\neq a^{(n^{m})}$,sauf pour des cas très particuliers; de ce fait, l'écriture$a^{n^{m}}$est ambiguë et, bien qu'il existe une convention qui favorise la désambiguïsation$a^{n^{m}}=a^{(n^{m})}$,celle-ci devrait être évitée sans parenthésage univoque.

Puissances de dix

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture estdécimale.

Table des puissances de dix

Puissance de dix négatives ou nulle	Préfixe		Puissance de dix positives ou nulle	Préfixe
100= 1	-		100= 1	-
10−1= 0,1	d (déci-)		101= 10	da (déca-)
10–2= 0,01	c (centi-)		102= 100	h (hecto-)
10–3= 0,001	m (milli-)		103= 1 000	k (kilo-)
10–4= 0,0001			104= 10 000	ma (myria-)
10–5= 0,00001	-		105= 100 000	-
10–6= 0,000001	µ (micro-)		106= 1 000 000	M (méga-)
etc.	etc.		etc.	etc.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière positivenest un chiffre 1 suivi denzéros.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative –nest un 1 placé à lan-ième position dans un nombre décimal,c.-à-d.précédé denzéros en comptant celui avant la virgule.

On utilise fréquemment les puissances multiples de 3, qui correspondent auxpréfixes du Système international d'unités:

Table des puissances de dix multiples de trois

Puissance de dix négatives	Préfixe SI		Puissance de dix positives	Préfixe SI
10–3= 0,001 un millième	m (milli-)		103= 1 000 mille	k (kilo-)
10–6= 0,000001 un millionième	µ (micro-)		106= 1 000 000 un million	M (méga-)
10–9= 0,000000001 un milliardième	n (nano-)		109= 1 000 000 000 un milliard	G (giga-)
10–12= 0,000000000001 un millième de milliardième	p (pico-)		1012= 1 000 000 000 000 mille milliards	T (téra-)
etc.	etc.		etc.	etc.

Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'unnombre décimal,multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10ⁿpour tout entier positifnrevient à déplacer la virgule denrangs vers la droite; diviser par 10ⁿpour tout entier positifnrevient à déplacer la virgule denrangs vers la gauche. Ainsi,

• 325,72 × 10 = 3 257,2
• 325,72/10 = 32,572
• 325,72 × 10⁵= 32 572 000
• 325,72/10⁵= 0,0032572

Les propriétés énoncées sur les puissances dearestent valables pour les puissances de 10.

L'utilisation des puissances de 10 intervient:

• dans l'écriture explicite en base 10:

325,72 = 3·10²+ 2·10¹+ 5·10⁰+ 7·10⁻¹+ 2·10^–2;

• dans l'écriture scientifique des nombres décimaux:

325,72 est noté 3,2572 × 10²

où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelémantisse,compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appeléeexposant;

• et dans lanotation ingénieur:

325,72 est noté 325,72

32 572 est noté 32,572 × 10³

où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.

Généralisation aux puissances à exposant réel

On peut aussi élever un nombreastrictement positif à une puissance à exposant réel quelconque.

Pour cela, on peut définir successivement:

• d'abord des puissances fractionnaires simples:a^1/n=ⁿ√a,oùnest un entier, qui coïncident avec les racinesn-ièmes pour touta> 0.Voirracine carrée,racine cubiqueetracine d'un nombre;
• puis des puissances fractionnaires composées:a^p/q= (a^1/q)^p= (a^p)^1/q;
• et enfin, par continuité, des puissances à exposant réel quelconque:a^xpeut ainsi être défini pour toutxréelet touta> 0.

Pour un nombrea> 0donné, la fonction$x\mapsto a^{x}$ainsi obtenue est appelée fonctionexponentielle de base a. Elle peut s'exprimer à l'aide des seules fonctionslogarithme népérienetexponentielle:

$a^{x}=\exp(x\ln(a))$

Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux mêmes règles que les puissances entières. Notamment, pour tousa> 0,betcréels quelconques:

• $a^{b}\times a^{c}=a^{b+c}~;$
• $(a^{b})^{c}=a^{b\times c}.$

On a en particulier:

• $a^{-1/b}={\dfrac {1}{\sqrt[{b}]{a}}}$pour tout entierbnon nul;
• ${\sqrt[{c}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{c}]{a}}\right)^{b}=a^{b/c}$sicest entier non nul;
• $(a^{b})^{1/b}=(a^{1/b})^{b}={\sqrt[{b}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{b}]{a}}\right)^{b}=a^{b/b}=a$sibest entier non nul.

De même,$(a^{n})^{m}\neq a^{(n^{m})}$,sauf pour des cas très particuliers suivants:

• Si a, n ou m est nuletles deux autres sont tous deux non nuls.
• Si m=1eta et b ne sont pas tous deux nuls
• Si aucun des cas ci-dessus:$\forall a>0,\forall m>0,n=e^{\frac {\ln m}{m-1}}$

Exemple

Soit à trouver l'aireSd'uncubedevolumeV.En notantala longueur d'un arête, on a:$\left(S=6a^{2}\quad {\text{et}}\quad V=a^{3}\right)\Rightarrow S=6V^{2/3}$.

Voir aussi

• Gogolplex
• Exponentielle
• Notation des puissances itérées de Knuth