Puissance de deux

Visualisation des puissances entières de 2, depuis 1 jusqu'à 1024 (2⁰à 2¹⁰).

Enarithmétique,unepuissance de deuxdésigne un nombre noté sous la forme2ⁿoùnest unentier naturel.Elle représente leproduitdu nombre2répéténfois avec lui-même, c'est-à-dire:$\underbrace {2\times \cdots \times 2} _{n\ \mathrm {facteurs} }$.

Ce cas particulier des puissances entières de deux se généralise dans l'ensemble desnombres réels,par la fonctionexponentielle de base 2,dont la fonction réciproque est lelogarithme binaire.

Par conventionet pour assurer lacontinuitéde cette fonction exponentielle de base 2, la puissance zéro de 2 est prise égale à 1, c'est-à-dire que2⁰= 1.

Comme2est la base dusystème binaire,les puissances de deux sont courantes eninformatique.Sous forme binaire elles s'écrivent toujours « 10000…0 », comme c'est le cas pour unepuissance de dixécrite dans lesystème décimal.

En informatique, outre la base dix, on utilise très fréquemment lesystème binaire(base deux) puisque la logique booléenne est à la base de l'électronique numérique. Deux symboles suffisent: 0 et 1. Cette unité élémentaire ne pouvant prendre que les valeurs 0 et 1 s'appelle unbit(contraction de l'anglaisbinary digit). Une suite de huit bits s'appelle unoctet.

Notations usuelles

Suivant le domaine d'activité, une puissance de deux se note:

• 2ⁿ;
• 2 ^n;
• 2 **n;
• 2 [3] n;
• 2 ↑n(Notation des puissances itérées de Knuth);
• puissance(2,n);
• power(2,n);
• 1 << n;
• H₃(2,n);
• 2 →n→ 1(Notation des flèches chaînées de Conway).

Il existe plusieurs prononciations:

• 2 exposantn;
• 2 puissancen;
• 2 à la puissancen;
• 2 élevé à la puissancen;
• n-ième puissance de 2.

Informatique

L'informatiquequi est basée sur lesystème binaireutilise toujours les puissances de deux. En particulier, 2ⁿdonne le nombre de façons dont lesbitsdans un entier binaire de longueurnpeuvent être arrangés. Par exemple, unoctetcontient 8 bits et peut donc stocker 2⁸valeurs différentes (soit 256).

Aussi, unkibioctetcontient 1 024 (2¹⁰) octets.

La plupart des dimensions en informatique sont des sommes de puissances de 2, que ce soit pour la taille de la mémoire (2, 4, 8 ou 12 gibioctets), la résolution vidéo (pour un écran de 14 pouces, il y a généralement 640 par 480 pixels, où 640 = 512 + 128 et 480 = 256 + 128 + 64 + 32) ou le dimensionnement desmémoires de masse.

Premières puissances de deux

Les trente-trois premières puissances de deuxsont:

• 2⁰=1;
• 2¹=2;
• 2²=4;
• 2³=8;
• 2⁴=16;
• 2⁵=32;
• 2⁶=64;
• 2⁷=128;
• 2⁸=256;
• 2⁹=512;
• 2¹⁰=1 024;
• 2¹¹= 2 048;
• 2¹²= 4 096;
• 2¹³= 8 192;
• 2¹⁴= 16 384;
• 2¹⁵= 32 768;
• 2¹⁶=65 536;
• 2¹⁷= 131 072;
• 2¹⁸= 262 144;
• 2¹⁹= 524 288;
• 2²⁰=1 048 576;
• 2²¹= 2 097 152;
• 2²²= 4 194 304;
• 2²³= 8 388 608;
• 2²⁴= 16 777 216;
• 2²⁵= 33 554 432;
• 2²⁶= 67 108 864;
• 2²⁷= 134 217 728;
• 2²⁸= 268 435 456;
• 2²⁹= 536 870 912;
• 2³⁰= 1 073 741 824;
• 2³¹= 2 147 483 648;
• 2³²=4 294 967 296.

Puissance de deux ayant comme exposant une puissance de deux

Les cellules de mémoires modernes et les registres manipulent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux. Les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l'exposant est aussi une puissance de deux.

La notation $2^{2^{n}}\quad {\rm {signifie}}\quad 2^{(2^{n})}$ (et non (2²)ⁿ,cette dernière expression valant en fait 2²ⁿ=4ⁿ).

Exemples

• n= 6: 2⁶⁴= 18 446 744 073 709 551 616;
• n= 7: 2¹²⁸= 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456.

Autres puissances de deux remarquables

• 2²⁴= 16 777 216, le nombre decouleursuniques qui peuvent être affichées encouleurs vraies,qui est utilisé par la plupart desécrans d'ordinateur.
  Ce nombre est le résultat de l'utilisation du système à trois canauxRVB,avec 8 bits pour chaque canal, ou 24 bits au total.
• 2³²– 1 = 4 294 967 295 est la taille maximale d'un fichier dans le système de fichiersFAT32,soit 4Giomoins 1 octet.
• 2³²=4 294 967 296est le nombre d'adressesIPv4.
• 2⁶⁴– 1 = 18 446 744 073 709 551 615, est le nombre de grains de blé queSissa,l'inventeur légendaire du jeu d'échecs,a demandé à son seigneur à travers unproblème mathématique:un (2⁰) sur la première case, deux (2¹) sur la deuxième case, puis quatre (2²), huit (2³), seize (2⁴), etc. jusqu'à 2⁶³car un échiquier comporte 64 cases. Il aurait ainsi dû recevoir2⁶⁴– 1grains, nombre tellement élevé que même en 2012, il représente 1000 fois laproduction mondiale annuelle de blé.
• 2¹²⁸= 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456,qui vaut approximativement 3,4 × 10³⁸,est le nombre d'adressesIPv6.

Théorèmes

• Lasomme desnpremières puissances de 2est égale à la puissance de 2 suivante moins 1:$S_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}2^{i}=2^{n}-1$ou encore: toute puissance de 2 est égale à la somme de toutes les puissances de 2 inférieures plus 1:$2^{n}=S_{n}+1.$Les puissances de 2 sont donc desnombres presque parfaits.
• Un entier est divisible par 2ⁿsi et seulement si sesndernierschiffres binairessont tous des zéros.
• Les puissances de 2 sont les seuls nombres qui ne sont pas divisibles par un nombre impair autre que 1.
• Leschiffres des unitésdes puissances successives de 2 forment unesuite périodique(2, 4, 8 et 6).
• Les nombres formés par les chiffres des dizaines et des unités des puissances successives de 2 (en partant de 2²) forment également une suite périodique (04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76 et 52).
• Chaque puissance de 2 est une somme decoefficients binomiaux:$2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}.$
• Le nombre réel 0,12481632641282565121024… formé par la suite (2ⁿ)_n∈ℕdes puissances de 2 est unnombre univers.

Nombre premier de Mersenne

Unnombre de Mersenne premierest unnombre premierde la forme 2^N– 1. Par exemple, le nombre premier31,qui s'écrit sous la forme 2⁵– 1.

Pour que 2^N– 1 soit premier, il estnécessairequeNle soit, mais cette condition n'est passuffisante.Le plus petitcontre-exempleest
2¹¹– 1 = 2047 = 23 × 89.

Notes et références

(en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«Power of two»(voir la liste des auteurs).