Presque sûrement

Illustration du concept: l'évènement où la fléchette atteintexactementle point central de la cible est de probabilité 0. Autrement dit, l'évènement où la fléchette n'atteint pas le point central de la cible est presque sûr.

Enthéorie des probabilités,unévènementest dit presque sûr s'il a une probabilité de un. En d'autres mots, l'ensemble des cas où l'évènement ne se réalise pas est de probabilité nulle. Le concept est précisément le même que celui depresque partoutdans lathéorie de la mesure.Dans les expériences de probabilité dans ununiversfini, il n'y a pas de différence entre presque sûrement et certitude, mais la distinction devient plus importante quand l'univers des cas possibles est dans unensemble infini non dénombrable.

Cette notion probabiliste n'a pas la même signification que le sens commun de laquasi-certitude,c'est-à-dire une probabilité proche de 1, ou de lacertitudequi n'est pas scientifique.

La nouveauté de cette notion apparait avec l'axiomatique de Kolmogorovet permet d'étudier de propriétés nouvelles au début duXX^esiècle telles que la version forte de laloi des grands nombresou la continuité des trajectoires dumouvement brownien.

Historique

Émile Borel.

Le termepresque sûrementest utilisé enthéorie des probabilitésà la place du termepresque partoutapparu au début duXX^esiècle dans lathéorie de l'intégrationélaborée parÉmile BoreletHenri-Léon Lebesgue.Les mathématiciensFrigyes RieszetMichel Plancherelparticipent également à l'introduction de cette idée.À cette époque, les termesquasi certitudeetcertitudeétaient utilisés.

Au début duXX^esiècle,Émile Borels'intéresse à l'étude de la structure de l'ensemble desnombres réelset notamment comment la mesurer. Il publie en 1903 un article, basé sur les raisonnements relatifs à la mesure des ensembles, dans lequel il justifie que des nombres irrationnels existent.En 1905 Borel publie son premier article probabiliste dans lequel il peut formuler mathématiquement des problèmes inexprimables jusqu'alors. Par exemple, savoir si un nombre tiré au hasard entre 0 et 1 est rationnel. C'est en 1908 que Borel énonce clairement le résultat: « la probabilité qu'un nombre pris au hasard soit rationnel est nulle ».Borel précise son propos, son résultat n'indique pas qu'il n'existe pas de nombre rationnel.

« Probabilité nulle ne devra pas être considérée comme l'équivalent d'impossibilité. [...] On ne doit pas confondre probabilité égale à un avec certitude, pas plus que l'on ne doit confondre probabilité égale à zéro avec impossibilité.»

La théorie des probabilités modernes et sonaxiomatiquea été fondée parAndreï KolmogorovetPaul Lévy.Entre 1925 et 1935, Kolmogorov démontre un grand nombre de théorèmes dont plusieurs utilisent la notion de presque sûre. En effet, son axiomatique permet d'étudier des événements qui concernent les convergences de variables aléatoires. Par exemple laloi forte des grands nombresou la convergence des séries de variables aléatoires. Ses travaux touchent également des propriétés sur lesprocessus de Markovou plus généralement sur lesprocessus stochastiques.Par exemple il démontre la continuité presque sûre des trajectoires dumouvement brownien.

Définition intuitive

La notion de quasi certitude ou de presque sûrement est la même que celle depresque partoutmais adaptée au langage de lathéorie des probabilités.La notion contraire d'un ensemble presque sûr est unensemble négligeable.La quasi certitude, ou la notion de presque sûr, est une propriété de la théorie des probabilités et n'a pas de lien avec d'autres termes proches tels que lacertitudedans un sens plus physique ou la certitude dans un sensplus commun.

Lors d'uneexpérience aléatoire,l'ensemble des issues possibles est représenté par l'ensemble appeléunivers.Si on souhaite évaluer certaines propriétés de cette expérience, on utilise les méthodes calculatoires de la théorie des probabilités. Le calcul des probabilités se fait grâce à unemesure de probabilité,en fonction du choix de cette mesure, certaines issues ne sont pas comptabilisées, elles sont ditesnégligeables.Une propriété est dite presque sûre ou quasi certaine si elle est vraie pour toutes les issues possibles sauf pour les issues négligeables, par rapport à la mesure de probabilité utilisée et dans ce cas la propriété considérée est de probabilité 1.

Si l'ensemble des issues possibles estfinioudénombrable,alors le seul ensemble presque sûr est l'univers; cependant dans le cas d'un univers infini non dénombrable, des évènements possibles peuvent être de probabilité 0.Par exemple, on lance une fléchette au hasard vers une cible au sens où elle peut atteindre n'importe quelle zone de la cible avec une probabilité dépendant seulement de l'aire de la zone. La probabilité d'atteindre un point précis est possible mais de probabilité nulle.

Expliquons l'exemple historique présenté parÉmile Borelau début duXX^esiècle.Considérons l'ensemble des nombres réels séparés en deux catégories: les fractions (ounombres rationnels) et ceux qui ne le sont pas (lesnombres irrationnels). Chaque catégorie contient une infinité de valeurs mais une question peut se poser: quelle est la proportion de rationnels et d'irrationnels. L'ensemble des rationnels estdénombrable,c'est-à-dire que l'on peut les compter. Cependant l'ensemble des irrationnels n'est pas dénombrable. Ainsi la proportion d'irrationnels est plus grande. On peut mesurer ces deux ensembles grâce à lamesure de Lebesguequi donne la grandeur intuitive d'un ensemble. Par exemple la mesure de l'intervalle[a,b]estb – a.Borel démontre que la mesure de Lebesgue des rationnels entre 0 et 1 est nulle (car l'ensemble est dénombrable) et la mesure de Lebesgue des irrationnels entre 0 et 1 est égale à 1. Ainsi si on choisit un nombre au hasard entre 0 et 1, presque sûrement il sera irrationnel.

Donnons une explication sur un autre exemple.Si on effectue des lancers successifs d'un dé parfaitement équilibré à six faces, alors presque sûrement, le nombre nécessaire pour la première apparition de la face numéro six est un nombre fini. C'est-à-dire que le fait d'obtenir une infinité de lancers sans jamais obtenir la face six est un événement négligeable: cet événement a pour probabilité zéro.

Définition formelle

Si$(\Omega,{\mathcal {F}},P)$est unespace probabilisé.On dit qu'unévènement$E\in {\mathcal {F}}$estpresque sûrementvrai ou$\mathbb {P}$-presque sûrementvrais'il est de probabilité 1:$\mathbb {P} (E)=1$.En français, on note alors queEest vrai p.s. ou$\mathbb {P}$-p.s. et cette notion dépend du choix de lamesure de probabilité$\mathbb {P}$.

De manière plus précise, une propriétéEest dite presque sûre si elle est vraie en dehors d'un ensemble négligeable, c'est-à-dire queΩ \E=E^cest un ensemble négligeable. Dans le cas oùE^cn'est pas dans latribu${\mathcal {F}}$,Eest presque sûr siE^cest contenu dans unensemble négligeable.En termes plus mathématiques, l'événementE= {ω∈ Ω,Eest réalisé}est presque sûr s'il existe unensemble mesurable$N\in {\mathcal {F}}$tel que

• $E^{c}=\{\omega \in \Omega,E{\text{ n'est pas réalisé}}\}\subset N$
• $\mathbb {P} (N)=0$.

Certitude et quasi-certitude

Historiquement le terme presque sûrement n'a pas été le premier à être utilisé pour désigner un évènement de probabilité 1. Les termes possible ou impossible, certain ou quasi-certain peuvent avoir des significations différentes.

Les études probabilistes d'avantKolmogorovetBorelétaient centrées sur des calculs de probabilité avec un nombre fini d'états.Par exemple, tirer une boule dans une urne contenant des boules blanches et noires. Dans le cas où on pioche une boule dans une urne ne contenant que des boules blanches, on peut parler de certitude d'obtenir une boule blanche.Tous les évènements possibles ont alors une probabilité non nulle.

Mais dès la fin duXVII^esiècle, l'idée de faire des calculs de probabilité sur un grand nombre de cas possibles est présentée parJacques Bernoulli.Il propose de trouver des évènements dont la probabilité est très proche de 1 et l'appelle une quasi-certitude. Par exemple, si l'urne contient 1 boule noire sur 100000 boules alors la probabilité de tirer une boule blanche est une quasi-certitude.C'est ici le sens commun du termequasi-certitudequi désigne une probabilité très proche de 1.

La notion d'évènementpresque sûr est apparue au début duXX^esiècle avec les travaux de Borel notamment. À cette époque le début de lathéorie des probabilitéset l'axiomatique de Kolmogorov ont permis de modéliser des phénomènes aléatoires avec une infinité d'état que les probabilités d'avant ne pouvaient pas étudier.Dans ces situations, certains évènements possibles peuvent être négligeables, c'est-à-dire de probabilité 0. Et inversement, certains évènements presque sûrs peuvent ne pas contenir certaines des issues possibles.

Utilisations

Donnons ici plusieurs utilisations de la notion de quasi certitude en théorie des probabilités.

Égalité presque sûre

Si on considère deuxvariables aléatoiresXetYdans un espace probabilisé$(\Omega,{\mathcal {F}},P)$,on dit qu'elles sont presque sûrement égales si elles le sont sur toutes les issues non négligeables:

$X\;{\stackrel {p.s.}{=}}\;Y\Longleftrightarrow \mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \;;\;X(\omega )=Y(\omega )\}\right)=1$

L'égalité presque sûre entre variables aléatoires est ainsi unerelation d'équivalence.c'est-à-dire que pour une variable aléatoire donnée, on peut considérer l'ensemble des variables aléatoires qui lui sont égales presque sûrement. Certains résultats s'appliquent sur ces classes d'équivalence plutôt que sur les variables elles-mêmes. C'est le cas de l'espérance:si$X\;{\stackrel {p.s.}{=}}\;Y$alors$\mathbb {E} (X)=\mathbb {E} (Y)$.Ainsi l'espace L¹des variables aléatoires d'espérance finie peut être identifié à ce même espacemodulola relation d'équivalence${\stackrel {p.s.}{=}}$et les variables aléatoires identifiées à leur classe d'équivalence.

Paradoxe du singe savant

Un singe qui tape aléatoirement sur une machine à écrire.

Depuis le début de la réflexion sur les probabilités, les scientifiques se posent la question de comment mesurer le hasard. En 1913,Émile Borelpropose l'idée de mesurer l'extrême rareté des cas exceptionnels.En tant qu'exemple il propose leparadoxe du singe savantqui présente le cas d'une situation presque sûrement vraie.

Le paradoxe peut s'énoncer sous la forme: concevons qu'un million de singes frappent au hasard sur les touches d'une machine à écrire pendant un an, la réunion des feuilles tapées contiendraient, presque sûrement, la totalité des livres de labibliothèque nationale de France.

L'utilisation de beaucoup de singes et d'un temps long est une manière imagée de considérer une situation d'un texte infini aléatoire. Ce contexte impossible à réaliser et difficile à imaginer est la raison pour laquelle ce résultat s'appelle paradoxe. Cependant la démonstration de ce résultat peut se faire grâce à la théorie des probabilités, notamment par lethéorème de Borel-Cantelli.

Convergence presque sûre

Si on considère une suite devariables aléatoires$(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$et une variable aléatoireXtoutes définies sur le même espace probabilisé$(\Omega,{\mathcal {F}},P)$,on dit que la suite$(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$converge versXpresque sûrement si cette convergence est vraie sur toutes les issues non négligeables:

$\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \;;\;\lim _{n\rightarrow +\infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1$.

Cette convergence se note$X_{n}{\stackrel {p.s.}{\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}}X$.

La convergence presque sûre est la plus forte des convergences de variables aléatoires au sens où si une suite de variables aléatoires converge presque sûrement alors cette suite convergeen probabilitéeten loi.La convergence presque sûre est présente dans beaucoup de résultats importants de la théorie des probabilité, c'est le cas dulemme de Borel-Cantelliou de laloi forte des grands nombresdont l'énoncé est

${\dfrac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}{\stackrel {p.s.}{\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}}\mathbb {E} (X_{1})$où les variables aléatoires$(X_{k})_{k\geq 1}$sontiid.

Mouvement brownien

Depuis le début de l'axiomatiquede la théorie des probabilité modernesau début duXX^esiècle, les propriétés presque sûres desprocessus stochastiquesont pu être étudiées.Un des processus les plus connus est le mouvement brownien que l'on noteraB(t,ω)avect≥ 0la variable temps etω∈ Ωpour chaque réalisation de ce processus aléatoire.

Le mouvement brownien$t\mapsto B(t,\omega )$est p.s. continu.Autrement dit pour presque toute réalisationω,$t\mapsto B(t,\omega )$est continu. Il est p.s. nulle part dérivable.

Laloi du logarithme itéréénoncequ'en presque tout pointt,$\displaystyle {\underset {t\rightarrow +\infty }{\lim \sup }}{\frac {B(t,\omega )}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1$p.s.

Notes et références

Ouvrages

Articles et autres sources

Voir aussi

Article connexe

• Avec grande probabilité

Bibliographie

• ÉmileBorel,Traité du calcul des probabilités et de ses applications - volume 4: numéro 3,Gauthier-Villars,1921-1939
• MarekCapinskiet EkkehardKopp,Measure, Integral and Probability,Londres, Springer Science & Business Media,2013,227p.(ISBN978-3-540-76260-7,lire en ligne)
• AllanGut,Probability: A Graduate Course,Springer Science & Business Media,2012,602p.(ISBN978-1-4614-4707-8,lire en ligne)
• JeanJacodet PhilipProtter,Probability Essentials,Springer Science & Business Media,2012,254p.(ISBN978-3-540-43871-7,lire en ligne)