Série de Taylor

Brook Taylor,dont la série porte le nom.

Enmathématiques,et plus précisément enanalyse,lasérie de Taylorau point$a$d'unefonction$f$(réelleoucomplexe)indéfiniment dérivableen ce point, appelée aussi ledéveloppement en série de Taylorde$f$en$a$,est unesérie entièreapprochant la fonction autour de$a$,construite à partir de$f$et de sesdérivéessuccessives en$a$.Elles portent le nom deBrook Taylor,qui les a introduites en 1715. Dans le cas où$a=0$,on parle aussi desérie de Maclaurin,d'aprèsColin Maclaurinqui a beaucoup utilisé ce cas particulier des séries de Taylor à partir du milieu duXVIII^esiècle.

La série de Taylor d'une fonction est une extension de l'approximationpolynomiale d'une fonction donnée par lethéorème de Taylor.Une fonction$f$est diteanalytiqueen$a$quand cette série coïncide avec$f$auvoisinagede$a$.

Pour lesfonctions analytiques,dans un intervalle autour de 0, plus le degré du polynôme de Taylor augmente, plus sa courbe se rapproche de la courbe de la fonction de départ. Cette image montre la courbe de$\sin x$(en noir) et les approximations des polynômes de Taylor selon le degré du polynôme1,3,5,7,9,11et13.

Principe

Soit$f$une fonction indéfiniment dérivable en un point$a$.Ledéveloppement de Tayloren ce point d'unpolynôme$P$de degré inférieur ou égal à$n$est:

$P(X)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {P^{(k)}(a)}{k!}}(X-a)^{k}$.

L'unique polynôme de degré inférieur ou égal à$n$dont lesdérivéesen$a$jusqu'à l'ordre$n$coïncident aveccelles de la fonction$f$est donc:

$P_{n}(X)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(X-a)^{k}$.

On l'appelle le polynôme d'interpolation d'Hermitede$f$en$a$à l'ordre$n$.Ce polynôme$P_{n}$est aussi la partie principale dudéveloppement limitéde$f$en$a$à l'ordre$n$,donné par laformule de Taylor.

La série de Taylor de$f$en$a$sera définie (voirinfra) comme la série entière dont la$n$-ièmesomme partielleest égale à$P_{n}$,pour tout entier$n$.Cette série peut être utilisée pour des «démonstrationsthéoriques »,tandis qu'on se limite au développement à l'ordre$n$pour desutilisations numériques.^{[Information douteuse]}

Définition

Soit$f$une fonction d'une variable réelle ou complexe, indéfiniment dérivable en un point$a$.La série de Taylor de$f$en ce point est lasérie de fonctions:

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots$,

qui s'écrit sous forme synthétique:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$,

où$n!$est lafactoriellede$n$et$f^{(n)}$désigne ladérivéen-ièmede$f$.

Cette série de fonctions (convergente ou non) est unesérie entièrede la variable$x-a$.

La notation a encore un sens enanalyse fonctionnelledans lesalgèbres normées,réelles ou complexes; mais cette généralisation ne sera pas abordée dans cet article.

Si$a=0$,la série est aussi appelée lasérie deMaclaurinde$f$.

Développements en série de Maclaurin des fonctions usuelles

Dans le tableau ci-dessous, on a utilisé les notations suivantes:

• les nombres$B_{2n}$apparaissant dans les développements de$\tan(x)$et de$\mathrm {th} (x)$sont lesnombres de Bernoulli;
• ${\alpha \choose n}$,apparaissant dans le développement de$(1+x)^{\alpha }$,est uncoefficient binomial(généralisé):${\alpha \choose n}={\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -n+1)}{n!}}$;
• Les nombres$E_{k}$dans le développement de$\sec(x)$sont lesnombres d'Euler.

Nom de la fonction	Série de Maclaurin		Rayon de convergence
Exponentielle	${\rm {e}}^{x}=$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$	Infini
Logarithme	$\ln(1+x)=$	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}$	1
Somme d'une série géométrique	${\frac {1}{1-x}}=$	$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$	1
Série du binôme	$(1+x)^{\alpha }=$	$1+\sum _{n=1}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}$	1
Fonctions trigonométriques	$\sin(x)=$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$	Infini
	$\cos(x)=$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$	Infini
	$\tan(x)=$	$\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$	${\frac {\pi }{2}}$
	$\sec(x)=$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$	${\frac {\pi }{2}}$
	$\arcsin(x)=$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$	1
	$\arccos(x)=$	${\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$	1
	$\arctan(x)=$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}$	1
Fonctions hyperboliques	$\mathrm {sh} (x)=$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$	Infini
	$\mathrm {ch} (x)=$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}$	Infini
	$\mathrm {th} (x)=$	$\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$	${\frac {\pi }{2}}$
	$\mathrm {argsh} (x)=$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$	1
	$\mathrm {argth} (x)=$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$	1
Fonction W de Lambert	$W_{0}(x)=$	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}$	${\frac {1}{\rm {e}}}$

Convergence de la série de Taylor

La série de Taylor d'unefonction polynomialen'a qu'un nombre fini de termes non nuls.

La série de Taylor est unesérie entière.Elle admet donc unrayon de convergence$R$,et sur le disque de centre$a$et de rayon$R$,la série converge normalement sur tout compact. Cependant:

• le rayon de convergence ne donne en général pas de renseignements sur la taille du domaine de définition de$f$;
• pour des fonctions de variable réelle, la somme de la série de Taylor de$f$en$a$sur son disque de convergence peut être différente de la fonction$f$;
• pour des fonctions$f$de variable réelle, il peut arriver que$R$soit nul (la série diverge en tout point autre que l'origine), bien que$f$soit indéfiniment dérivable en tout point;ces deux derniers phénomènes ne peuvent se produire pour des fonctions de variable complexe.

Par exemple,si$f(x)=\exp(-1/x^{2})$,prolongée par continuité en 0 par$f(0)=0$,alors$f$est indéfiniment dérivable en tout point, et toutes les dérivées de$f$sont nulles en$x=0$,donc la somme de la série de Taylor de$f$est nulle (et son rayon de convergence est infini), alors que la fonction n'est jamais nulle, sauf en 0. Ce phénomène vient de ce que la fonction estplate(négligeableprès de 0 par rapport à toute puissance de$x$). C'est un exemple defonction régulière non analytique.

Si la fonction$f$vaut la somme de sa série entière au voisinage de$a$,alors on dit que$f$estanalytique.Cette définition est valable aussi bien pour les fonctions d'une variable réelle que pour les fonctions d'une variable complexe. Toutefois, une fonction d'une variable complexe analytique est plus fréquemment diteholomorphe:pour qu'elle le soit, il suffit de la supposer dérivable. C'est un des premiers résultats derigiditéenanalyse complexe.Pour unefonction entière,c'est-à-dire holomorphe sur tout le plan complexe, le développement en série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini et la somme de la série coïncide avec la fonction.

Voir aussi

• Formulaire de développements en séries
• Série de Laurent
• Série formelle
• Théorème de Borel
• Théorème de Taylor
• Transformation du boustrophédon
• Modèles de Taylor