Statistique de Maxwell-Boltzmann

Lastatistique de Maxwell-Boltzmannest uneloi de probabilitéou distribution utilisée enphysique statistiquepour déterminer la répartition desparticulesentre différents niveaux d'énergie.Elle est notamment à la base de lathéorie cinétique des gaz.

Énoncé

Formulation discrète

On se donne un système de $N$ particules pouvant prendre les différents états d'énergie discrets $E i$ .À l'équilibre thermodynamique, le nombre $N i$ de particules dans un état d'énergie donné $E i$ est:

N_{i}={\frac {N}{Z(T)}}~g_{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}={\frac {N}{\sum _{j}g_{j}\mathrm {e} ^{-E_{j}/k_{B}T}}}~g_{i}\mathrm {e} ^{\frac {-E_{i}}{k_{B}T}}\,

où

$g i$ est ladégénérescencede l'état d'énergie $E i$ ,c'est-à-dire le nombre d'états possédant l'énergie $E i$ ;
$k B$ est laconstante de Boltzmann;
$T$ est latempératuredu système (celui-ci doit donc être à l'équilibre);
$\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$
$Z (T)$ est lafonction de partitiondu système.

Formulation continue

On considère un système de $N$ particules pouvant prendre continûment tout état d'énergie entre zéro et l'infini. Le nombre $d N E$ de particules possédant une énergie entre $E$ et $E + d E$ est:

\mathrm {d} N_{E}={\frac {N}{Z(T)}}~g(E)\mathrm {e} ^{-\beta E}\,\mathrm {d} E={\frac {N}{\int g(\varepsilon )\mathrm {e} ^{-\varepsilon /k_{B}T}\mathrm {d} \varepsilon }}~g(E)\mathrm {e} ^{\frac {-E}{k_{B}T}}\,\mathrm {d} E

où:

$g (E)$ est la dégénérescence du système (densité de probabilité des états ayant une énergie comprise entre $E$ et $E + d E$ );
$\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ ;
$Z (T)$ est lafonction de partitiondu système.

Température de Boltzmann

Cette température est associée à deux états departicules identiques,en général à deux états entre lesquels une transition optique peut être observée.

Le rapport des populations $N 2 / N 1$ de ces deux états, et la différence des énergies de ces états $E 2 - E 1$ définissent la température de Boltzmann $T B$ par l'équation:

N_{2}/N_{1}=\exp \left(-{\frac {E_{2}-E_{1}}{k_{B}T}}\right)

Lorsque $N 2$ est supérieur à $N 1$ ,c'est-à-dire lorsqu'il y ainversion de population,le résultat est unetempérature négativequi est acceptée par convention. Enspectroscopie,un rayon de fréquence $ν$ est amplifié par le milieu si $T B$ est négatif ou si $T B$ est supérieur à la température du rayon déduite, par laloi de Planck,de sa fréquence et de sa radiance.

Limitations

La statistique de Maxwell-Boltzmann a été bâtie en supposant l'absence d'interaction entre les particules concernées: elle n'est donc valable en toute rigueur que pour ungaz parfaitclassique. Elle est toutefois utilisable aussi comme approximation du comportement d'ungaz réelquand il est possible de négliger les interactions entre ses particules, mais ne peut s'appliquer, par exemple, à aucunliquide.

De plus, cette statistique est construite dans le cadre de la mécanique classique; elle ne s'applique donc que lorsque les effetsquantiquessont négligeables, par exemple à des températures suffisamment hautes. À basse température, elle doit être remplacée par lastatistique de Bose-Einsteinpour lesbosonset lastatistique de Fermi-Diracpour lesfermions.

Pour comparer ces trois statistiques, il est utile de reformuler la statistique de Maxwell-Boltzmann en posant:

\mathrm {e} ^{-\mu /k_{B}T}={\sum _{j}g_{j}\mathrm {e} ^{-E_{j}/k_{B}T}}\,

d'où:

n_{i}={\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}\mathrm {e} ^{-E_{i}/k_{B}T}}{\mathrm {e} ^{-\mu /k_{B}T}}}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{k_{B}T}}\right)}}.

Applications

Cas des gaz parfaits

Article détaillé:Théorie cinétique des gaz.

Biophysique

Enélectrophysiologiecellulaire, on décrit souvent les mécanismes d'ouverture et de fermeture descanaux ioniquespar une fonction de Boltzmann simplifiée quand ceux-ci sont dépendants du voltage transmembranaire souvent appelé «Potentiel de repos».

Lorsqu'on étudie la dépendance du phénomène d'ouverture (activation) d'un canal ionique en fonction du voltage transmembranaire imposé par l'expérimentateur, la formule utilisée (appelée « Fonction de Boltzmann ») est:

{\frac {G(V)}{G_{\max }}}={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{\frac {V-V_{1/2}}{k_{B}}}}}

,

où

$V$ est le voltage transmembranaire;
$G (V)$ est laconductanceionique associée aux canaux, dépendante du voltage transmembranaire;
$G max$ est la conductance maximale;
$V 1/2$ est le voltage transmembranaire pour lequel la moitié des canaux sont ouverts, ici c'est le voltage de demi-activation;
$k$ décrit la dépendance de l'ouverture des canaux par rapport au changement de voltage, nommé dans la littérature « constante de pente ».

La même formule peut représenter la dépendance du phénomène de fermeture (inactivation) d'un canal ionique en fonction du voltage transmembranaire, $V 1/2$ est alors le voltage de demi-inactivation.

Dans les deux cas ci-dessus, la fonction de Boltzmann décrit les valeurs de la « variable d'activation » ou de la « variable d'inactivation », en fonction du voltage transmembranaire. Elle ne s'applique qu'aux mesures faites à l'état stable, on parle donc de « variable d'activation à l'état stable » ou de « variable d'inactivation à l'état stable ». Cette fonction prend des valeurs réelles dans l'intervalle ]0;1[.

La fonction de Boltzmann est ici utilisée pour décrire les résultats expérimentaux issus de la mesure des courants ioniques de membrane en conditions de voltage imposé (en anglaisvoltage-clamp), par la technique à double microélectrode ou par celle dite dupatch-clamp.On peut ainsi déterminer les propriétés des différentes catégories de courants ioniques membranaires. Les paramètres $V 1/2$ et $k$ servent à caractériser les propriétés d'un canal ionique et à la modélisation informatique des propriétés électriques d'une cellule.

Voir aussi

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