Test de Fisher d'égalité de deux variances

Test de Fisher d'égalité de deux variances

Type	Test statistique
Nom court	(en)F Test
Nommé en référence à	Ronald Aylmer Fisher

Enstatistique,letest F d'égalité de deux variances,est untest d'hypothèsequi permet de tester l'hypothèse nulleque deuxlois normalesont la même variance. Il fait partie du grand ensemble de tests appelé "test F".

Le test

Soient deuxvariables aléatoiresindépendantes$X\sim {\mathcal {N}}(m_{1},\sigma _{1}^{2}),Y\sim {\mathcal {N}}(m_{2},\sigma _{2}^{2})$et deuxéchantillons$X_{1},\dots,X_{n_{1}}$,$Y_{1},\dots,Y_{n_{2}}$.

Si les moyennes sont inconnues

On veut tester$H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2},H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$,si les moyennes$m_{1}$et$m_{2}$sont inconnues on les estime par${\overline {X_{n_{1}}}}$et${\overline {Y_{n_{2}}}}$:

Lastatistique de testest

$Z={\frac {S_{n_{1}}^{2}}{S_{n_{2}}^{2}}}\sim F(n_{1}-1,n_{2}-1),$

avec

$S_{n_{1}}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\sum _{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-{{\bar {X}}_{n_{1}}}\right)^{2}$et$S_{n_{2}}^{2}={\frac {1}{n_{2}-1}}\sum _{i=1}^{n_{2}}\left(Y_{i}-{{\bar {Y}}_{n_{2}}}\right)^{2}.$

On rejette (au niveau$\alpha$) l'hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test$Z$est soit plus grande que lequantiled'ordre$1-{\frac {\alpha }{2}}$soit plus petite que le quantile${\frac {\alpha }{2}}$de la loi de Fisher correspondante.

Si les moyennes sont connues

On veut tester$H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2},H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}$,si les moyennes$m_{1}$et$m_{2}$sont connues. Lastatistique de testest alors

${\tilde {Z}}={\frac {{\tilde {S}}_{n_{1}}^{2}}{{\tilde {S}}_{n_{2}}^{2}}}\sim F(n_{1},n_{2}),$

avec

${\tilde {S}}_{n_{1}}^{2}={\frac {1}{n_{1}}}\sum _{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-{m_{1}}\right)^{2}$et${\tilde {S}}_{n_{2}}^{2}={\frac {1}{n_{2}}}\sum _{i=1}^{n_{2}}\left(Y_{i}-{m_{2}}\right)^{2}.$

On rejette (au niveau$\alpha$) l'hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test${\tilde {Z}}$est soit plus grande que lequantiled'ordre$1-{\frac {\alpha }{2}}$soit plus petite que le quantile${\frac {\alpha }{2}}$de la loi de Fisher correspondante.

Remarque

Initialement, à l'époque où on utilisait des tables des quantiles, le test était souvent présenté en calculant le rapport de la variance la plus grande sur la variance la plus faible, ce qui permettait de ne comparer la valeur de la statistique de test qu'au quantile$1-{\frac {\alpha }{2}}$.Dorénavant, puisqu'on n'utilise plus de tables de quantiles mais des logiciels statistiques, cette présentation a perdu de son intérêt.

Propriétés

Ce test est particulièrement sensible à la non normalité.Donc, il existe des alternatives comme letest de Bartlettou letest de Levene.

Applications

Letest de Chowest une application du test de Fisher pour tester l'égalité des coefficients sur deux populations différentes.

Ce test est utilisé en biologie dans la recherche deQTL.

Implémentation

• var.testavecRet la librairie "stats"

Articles connexes

• Ronald Aylmer Fisher
• Loi de Fisher
• Test exact de Fisher
• Test de Bartlett

Notes et références

• [1]Université Paris Descartes,section Tests sur des échantillons gaussiens