Test statistique

Enstatistiques,untest,outest d'hypothèse,est une procédure de décision entre deux hypothèses. Il s'agit d'une démarche consistant à rejeter ou à ne pas rejeter une hypothèse statistique, appeléehypothèse nulle,en fonction d'unéchantillonde données.

Il s'agit destatistique inférentielle:à partir de calculs réalisés sur des données observées, on émet des conclusions sur lapopulation,en leur rattachant des risques d'être erronées.

Hypothèses du test

Définitions

L'hypothèse nulle notéeH₀est celle que l'on considère vraie a priori. L’hypothèse$H_{0}$est donc privilégiée et il faut des observations très éloignées de cette hypothèse pour la rejeter. Le but du test est de décider si cette hypothèse$H_{0}$est a priori crédible. L'hypothèse alternative notéeH₁est l'hypothèse complémentaire à l'hypothèse nulle.

Ces deux hypothèses ne sont toutefois pas symétriques.H₁est choisie uniquement par défaut siH₀n'est pas considérée comme crédible,$H_{0}$étant l'hypothèse dont le rejet à tort est le plus préjudiciable. Le choix deH₀et deH₁est en général imposé par le test que l'on utilise et ne relève donc pas de l'utilisateur.

Écriture des hypothèses: exemple

Soitμ₁etμ₂les moyennes de tension artérielle de deuxpopulations,l'une correspondant à la prise demédicamentset l'autre de placebo. Une manière de démontrer qu'un médicament modifie la tension artérielle est de montrer queμ₁est différent deμ₂.Les hypothèses du test deviennent alors

H₀:les moyennes des deux populations sont égales

H₁:les moyennes des deux populations sont différentes.

On l'écrit succinctement sous la forme:

$H_{0}:\,{\mu }_{1}={\mu }_{2}$

$H_{1}:\,{\mu }_{1}{\neq }{\mu }_{2}$

Toutefois les signes=,≠,≤et≥dans l'écriture succincte des hypothèses ne correspond pas à l'égalité ou aux inégalités au sens mathématique du terme. Il s'agit d'une façon d'écrire:

H₀:Il est crédible de penser queμ₁=μ₂

H₁:μ₁est significativement différente deμ₂

Cependant, il convient également de faire attention auxfluctuations d'échantillonnage.En effet, lors de la réalisation d'un test on utilise le plus souvent des échantillons pour effectuer les calculs. On utilisera donc les moyennes${\overline {x_{1}}}$et${\overline {x_{2}}}$calculées à partir des échantillons et qui ne sont donc que des estimations deμ₁etμ₂(voirtaille d'effet).

Statistique du test

Lastatistique de testSest une fonction qui résume l'information sur l'échantillon que l'on souhaite tester. On la choisit de façon à connaître sa loi sousH₀.

Sest unevariable aléatoire,définie indépendamment des données observées. La valeur que prend cette variable aléatoire pour les données observées est appeléestatistique observéeet est notéeS_obsdans la suite de l'article.

Suivant le type de statistique choisi, le test sera paramétrique ou non paramétrique.^[Quoi?]

Construction d'un test

La construction mathématique d'un test se fait grâce aulemme de Neyman-Pearsonet nous donne la forme de la région de rejet.

Région de rejet et latéralité

Larégion de rejetest le sous-ensembleIde${\mathbb {R} }$tel qu'on rejetteH₀siS_obsappartient àI.La forme de la région de rejet définit la latéralité du test:

• Test bilatéral:On veut rejeterH₀siS_obsest trop grand ou trop petit, sans a priori. La région de rejet est alors de la forme$]-{\infty };a]{\cup }[b;+{\infty }[$.
• Test unilatéral à droite: On veut rejeterH₀seulement siS_obsest trop grand. La région de rejet est alors de la forme$[a;+{\infty }[$.
• Test unilatéral à gauche: On veut rejeterH₀seulement siS_obsest trop petit. La région de rejet est alors de la forme$]-{\infty };b]$.

Probabilité critique

La probabilité critique (ou valeur p) est la probabilité, sousH₀,que la statistique soit au moins aussi éloignée de son espérance que la valeur observée. En d'autres termes, c'est la probabilité d'observer quelque chose d'au moins aussi surprenant que ce que l'on observe.

Erreur de type I et II

Risque de première espèce et confiance

Lerisque de première espèceαest la probabilité sousH₀de la région de rejet. En d'autres termes, il s'agit de la probabilité que l'on accepte de déciderH₁si la vérité estH₀.

${\alpha }=P_{H_{0}}(H_{1})$

La quantité1 –αest la confiance du test. En d'autres termes, une proportionαdes situations dans lesquelles la vérité estH₀verront une décision du test en faveur deH₁.αest la probabilité avec laquelle on accepte de se tromper^{[Sur quoi?]}quand la vérité estH₀^{[pas clair]}.

On peut comparer lavaleur pàαplutôt queS_obset la région de rejet^{[pas clair]}.

• Si la valeur p est supérieure àα,il n'est pas exceptionnel sousH₀d'observer la valeur effectivement observée. Par conséquent,H₀n'est pas rejetée.
• Si la valeur p est inférieure àα,la valeur observée est jugée exceptionnelle sousH₀.On décide alors de rejeterH₀et de validerH₁.

Cette méthode possède l'avantage de permettre de se rendre compte à quel point la décision du test est sûre: la position de la valeur p par rapport àαne dépend pas de l'échelle des données, contrairement àS_obset au(x) seuil(s) de la région de rejet.

Les valeurs du risqueαcouramment utilisées varient généralement entre 0,01 et 0,05. Dans le cas devariables continues,on peut choisir une valeur arbitraire deαet obtenir une région de rejet présentant exactement le risqueα.Dans le cas devariables discrètes,le nombre de région de rejet, et donc de risques possibles, est fini et dénombrable. Dans ce cas, on fixe un risque, ditrisque nominalpar exemple de 5 %. On cherche alors la plus grande région ne dépassant pas ce risque, qui devient alors la région de rejet. Le véritable risque, dit risque réel peut alors être recalculé.

Risque de deuxième espèce et puissance

Lerisque de deuxième espèceβest la probabilité de ne pas rejeterH₀alors que la vérité estH₁.Il s'agit d'un risque qui n'est pas fixé a priori par le test, et il est souvent difficile à estimer. On prend ce risque lorsqu'on accepte l'hypothèseH₀.

${\beta }=P_{H_{1}}(H_{0})$

La quantité1 –βest la puissance du test.

Choix deαetβ

Pour se représenter ces différentes notions, on peut les représenter au travers du tableau suivant:

Tableau permettant de différencier les deux types de risques.

Le choix deαet deβse fait de façon assez arbitraire car si l'on cherche à en diminuer un l'autre va automatiquement augmenter. On définit généralement le risqueαde façon arbitraire et la valeur du risqueβs'ajuste automatiquement. Ce choix détermine alors une valeur seuil (notéeSsur le schéma) qui représente la valeur de bascule pour lastatistiquedu test entre les deux décisions (rejet ou non-rejet deH₀). Le graphique suivant tente de représenter visuellement ces risques, la courbe noire représente la loi icinormalede la statistique du test sous l'hypothèseH₀et la courbe bleue représente la loi icinormalede la statistique du test sous l'hypothèseH₁.

Graphique représentant les deux risques.

Si l'échantillon reste inchangé, une diminution deαentraîne une augmentation deβet inversement. Autrement dit, si on décide de réduire le nombre defaux positifs,on augmente le nombre defaux négatifs.La seule manière d'améliorer les deux critères est d'augmenter la taille de l'échantillon.

Courbe de puissance

Pour déterminer la puissance d'un test, il faut connaître la loi de la statistiqueSsousH₁,ce qui n'est généralement pas le cas. On recourt alors à des courbes de puissance qui sont des courbes pour lesquelles la puissance est calculée pour des valeurs données des paramètres du problème ou de la taille de l'échantillon. On ne sait pas où se situe la situation réelle sur cette courbe mais on y lit la probabilité de détecterH₁en fonction de son « éloignement » deH₀.

Tests classiques et tests bayésiens

Pour les tests classiques qui constituèrent longtemps^[Quand?]l'essentiel des tests statistiques, ces deux erreurs jouent un rôleasymétrique.On contrôle uniquement le risque de première espèce à un niveauα(principe de Neyman); cela revient à considérer que le risque de rejeter l'hypothèse nulle alors que cette hypothèse est vraie est beaucoup plus coûteux que celui de la conserver à tort (ce dernier risque n'étant pas maîtrisé).

Les testsbayésiens,qui commencent à compléter les méthodes classiques dans lesannées 1970à mesure que se répandent les ordinateurs, pondèrent ces deux risques en représentant par une loi la connaissance incertaine de cette probabilité. Si on cherche par exemple à tester le fait qu'un certain paramètreθvaut une certaine valeurθ₀cette probabilitéa priorisera une loi deθsur son domaine de plausibilité. Cette loia priorimodélise l'incertitude admise sur sa valeur. Les tests correspondants utilisent en coulisses des calculs plus complexes, mais sans difficulté de mise en œuvre supplémentaire quand ils sont effectués par dessous-programmes.Ils nécessitent de choisir une loia priori,répondant aux contraintes connues, parmi celles d'entropie maximalepuis de l'affiner à mesure des observations en la mettant à jour par larègle de Bayes(voirThéorème de Cox-Jaynes). Leur mérite essentiel est de permettre la consolidation d'informations minuscules apportés par un grand nombre d'échantillons hétéroclites qui auraient chacun été considéré comme non significatif par les méthodes classiques. Cette consolidation permet d'obtenir des résultats utiles à partir d'observations très ténues. On l'utilise par exemple en cassage de codes, enanalyse d'imageet enreconnaissance vocale,ainsi qu'endeep learning.

Tests paramétriques et non paramétriques

Définitions

Untest paramétriqueest un test pour lequel on fait une hypothèse paramétrique sur la loi des données sousH₀(loinormale,loi dePoisson...). Les hypothèses du test concernent alors les paramètres de cette loi.

Untest non paramétriqueest un test ne nécessitant pas d'hypothèse sur la loi des données.Les données sont alors remplacées par des statistiques ne dépendant pas desmoyennes/variancesdes données initiales (tableau de contingence,statistique d'ordre comme les rangs...).^{[pas clair]}

Comment choisir?

Les tests paramétriques, quand leur utilisation est justifiée, sont en général plus puissants que les tests non paramétriques. Les tests paramétriques reposent cependant sur l'hypothèse forte que l'échantillon considéré est tiré d'une population suivant une loi appartenant à une famille donnée. Il est possible de s'en affranchir pour des échantillons suffisamment grands en utilisant des théorèmesasymptotiquestels que lethéorème central limite.Les tests non paramétriques sont cependant à préférer dans de nombreux cas pratiques pour lesquels les tests paramétriques ne peuvent être utilisés sans violer les postulats dont ils dépendent (notamment dans le cas d'échantillons trop petits c'est-à-dire, par convention, quand l'effectif de l'échantillon est inférieur à 30). Les données sont également parfois récupérées sous forme de rangs et non de données brutes. Seuls les tests non paramétriques sont alors applicables.

Lorsque les données sont quantitatives, les tests non paramétriques transforment les valeurs en rangs. L’appellation « tests de rangs » est souvent rencontrée. Lorsque les données sont qualitatives, seuls les tests non paramétriques sont utilisables. La distinction paramétrique – non paramétrique est essentielle. Elle est systématiquement mise en avant dans la littérature. Les tests non paramétriques, en ne faisant aucune hypothèse sur les lois des données, élargissent le champ d’application des procédures statistiques. En contrepartie, ils sont moins puissants lorsque ces hypothèses sont compatibles avec les données.

Efficacité relative asymptotique

On fixe une confiance1 –α,une puissance1 – β.Soit$H_{k}$une suite d'hypothèses alternatives (se rapprochant deH₀) etn_1ketn_2kles tailles d'échantillons pour queT₁etT₂(deux tests statistiques) aient la même puissance1 –βsous l'hypothèse$H_{\|}$.Sous certaines conditions, le quotient${\frac {n_{2k}}{n_{1k}}}\,$tend vers une constance, que l'on nomme efficacité relative asymptotique (ou ERA), quandktend vers l'infini.

Une ERA de 2 signifie que pour détecter la même différence, il faut asymptotiquement des échantillons deux fois plus grands pourT₂que pourT₁pour obtenir la même puissance, cela implique queT₁est plus « efficace ». Cette mesure est asymptotique mais en pratique, l'efficacité pour des petits échantillons se révèle souvent proche de l'efficacité asymptotique.

Considérons l'exemple oùT₁est letest du signepourH₀:m= 0etT₂est letest tpourH₀:μ= 0,dans le cas de loissymétriques.On peut montrer que l'ERA est de2/π(donc inférieure à 1) pour des lois normales et supérieure à 1 pour d'autres lois comme lesdoubles exponentiellesou les lois deLaplace.Même en cas de validité des tests paramétriques, les tests non paramétriques peuvent donc être concurrentiels, d'autant plus que la puissance de calcul des ordinateurs actuels permet maintenant leur utilisation sur de grands échantillons.

Notions de sensibilité et de spécificité

Distinctions préalables

On distingue quatre types de données: lesfaux positifs,lesfaux négatifs,lesvrais positifset lesvrais négatifs.Ces quatre types se recoupent avec les notions décrites précédemment que sont le risqueα,le risqueβ,la puissance et la confiance.

Un vrai positif est un test qui a conduit à la décision d'accepter l'hypothèseH₀quand cette dernière était effectivement vraie. Un vrai négatif est un test qui a conduit à la décision de ne pas accepter l'hypothèseH₀quand cette dernière était effectivement fausse. À l'inverse, un faux positif est un test qui a conduit à la décision d'accepter l'hypothèseH₀alors que cette dernière était fausse et un faux négatif est un test qui a conduit à la décision de ne pas accepter l'hypothèseH₀alors que cette dernière était vraie. Ces notions sont très utilisées dans le cadre d'étudesépidémiologiques.

Sensibilité et spécificité

La sensibilité d'un test désigne la probabilité que le test conclu à une acceptation deH₀si cette dernière est vraie. Elle est donnée par${\frac {\text{VP}}{{\text{VP}}+{\text{FN}}}}$.En épidémiologie, la sensibilité d'un test est sa capacité à identifier un individu comme étant malade si la maladie est effectivement présente.

La spécificité d'un test désigne la probabilité que le test conclu à un rejet deH₀si cette dernière est fausse. Elle est donnée par${\frac {\text{VN}}{{\text{VN}}+{\text{FP}}}}$.En épidémiologie, la spécificité d'un test est sa capacité à identifier un individu comme n'étant pas malade si la maladie n'est effectivement pas présente.

Mises ensemble, ces deux valeurs donnent une appréciation de la validité du test. Leur analyse séparée est inutile car un test ayant une sensibilité de 95 % n'est pas très bon si sa spécificité n'est que de 5 %. Si la somme de la sensibilité et de la spécificité vaut 100 % cela signifie que le test est sans intérêt. De plus, les valeurs de sensibilité et de spécificité d'un test dépendent beaucoup de la valeur seuil choisie. En effet, à l'instar des risquesαetβ,la sensibilité d'un test diminue quand sa spécificité augmente et inversement. Il convient donc également de choisir la valeur seuil selon l'utilisation que l'on désire faire du test. Un test très sensible sera utile pour vérifier queH₀est vraie par exemple.

Valeur prédictive positive et valeur prédictive négative

La valeur prédictive positive est la probabilité queH₀soit vraie lorsque le test conclu à son acceptation. Elle est donnée par${\frac {\text{VP}}{{\text{VP}}+{\text{FP}}}}$.

La valeur prédictive négative est la probabilité queH₀soit fausse lorsque le test conclu à son rejet. Elle est donnée par${\frac {\text{VN}}{{\text{VN}}+{\text{FN}}}}$.

Cependant, ces calculs sont valides uniquement si l'échantillon sur lequel est réalisé le test est représentatif de la population (cfÉchantillonnage). Ainsi, pour une même sensibilité et spécificité, la valeur prédictive négative d'un test donné va s'améliorer d'autant que la probabilité queH₀soit vraie est faible et la valeur prédictive positive du même test va s'améliorer d'autant que la probabilité queH₀soit vraie est élevée. Pour calculer les valeurs prédictives d'un test lorsque la représentativité de l'échantillon n'est pas certaine, on utilise des formulations reposant sur lethéorème de Bayes,en utilisant la sensibilité et la spécificité calculées sur l'échantillon et laprévalencede l'affection à diagnostiquer. Lorsqu’un test a une bonne valeur prédictive positive, c’est surtout quand son résultat est positif qu’il est fiable. De la même manière, un test avec une bonne valeur prédictive négative est fiable lorsque son résultat est négatif. Par exemple, un test avec une bonne valeur prédictive négative et une mauvaise valeur prédictive positive donne une information valable s’il est négatif mais est difficile à interpréter si son résultat est positif.

Tableau récapitulatif

Tableau permettant de différencier les quatre types de tests

Courbe ROC

La courbe ROC de trois estimateurs d'épitope.

La courbe ROCest une représentation graphique qui vise à mettre en lumière la « performance » d'un test. On l'appelle égalementcourbe de performanceoucourbe sensibilité/spécificité.En abscisses de ce graphique on place l'anti-spécificité (c'est-à-dire 1-spécificité) aussi appelée « taux de faux positifs » et en ordonnées on place la sensibilité aussi appelée « taux de vrais positifs ». Cette courbe permet de comparer 2 tests entre eux ou bien de chercher les valeurs de sensibilité et de spécificité optimales (c'est-à-dire le moment où les 2 valeurs sont maximisées).

Déroulement d'un test

Pour le cas spécifique d'un test unilatéral, le test suit une succession d'étapes définies:

1. énoncé de l'hypothèse nulleH₀et de l'hypothèse de remplacementH₁;
2. calcul d'unestatistique de test(variable de décision) correspondant à une mesure de la distance entre les deux échantillons dans le cas de l'homogénéité, ou entre l'échantillon et la loi statistique dans le cas de l'adéquation (ou conformité). Plus cette distance sera grande et moins l'hypothèse nulleH₀sera probable. En règle générale, cette variable de décision s'appuie sur une statistique qui se calcule à partir des observations. Par exemple, la variable de décision pour un test unilatéral correspond à rejeter l'hypothèse nulle si la statistique dépasse une certaine valeur fixée en fonction du risque de première espèce;
3. calcul de la probabilité, en supposant queH₀est vraie, d'obtenir une valeur de la variable de décision au moins aussi grande que la valeur de la statistique que l'on a obtenue avec notre échantillon. Cette probabilité est appelée lavaleur p(p-value);
4. conclusion du test, en fonction d'un risque seuil α_seuil,en dessous duquel on est prêt à rejeterH₀.Souvent, un risque de 5 % est considéré comme acceptable (c'est-à-dire que dans 5 % des cas quandH₀est vraie, l'expérimentateur se trompera et la rejettera). Mais le choix du seuil à employer dépendra de la certitude désirée et de la vraisemblance des autres choix;
5. si lavaleur pest plus petite queα,on rejette l'hypothèse nulle;
6. si lavaleur pest plus grande queα,on peut utiliser la puissance1 – β,si elle est grande, on accepteH₀;sinon le test est non concluant, ce qui revient à dire que l'on ne peut rien affirmer.

La probabilité pour queH₀soit acceptée alors qu'elle est fausse est β, lerisque de deuxième espèce.C'est le risque de ne pas rejeterH₀quand on devrait la rejeter. Sa valeur dépend du contexte, et peut être très difficilement évaluable (voire impossible à évaluer): c'est pourquoi le risque α est principalement utilisé comme critère de décision, on n'accepte que très rarementH₀et la plupart du temps on conclut à un test non concluant si on ne rejette pasH₀.

Le résultat d'un test comprend toujours une dose d'incertitude: on ne sait jamais si on a pris la bonne décision. La valeur p permet d'avoir une vision plus fine que sa simple comparaison avecα.En effet, plus elle est petite, plus l'évènement observé est surprenant sousH₀.Ainsi pourα= 0,05,des valeurs p de 10^–6et de 0,035 impliquent le rejet deH₀mais avec des degrés de certitudes différents concernant la décision.

Catégories des tests

Les tests peuvent être classés selon leur finalité, le type et le nombre des variables d’intérêt, l’existence d’hypothèsesa priorisur les lois des données, le mode de constitution des échantillons.

Les tests selon leur finalité

La finalité définit l’objectif du test, les hypothèses que l’on veut opposer, l’information que l’on souhaite extraire des données.

Le test de conformité consiste à confronter un paramètre calculé sur l’échantillonà une valeur préétablie. On parle alors de test de conformité à un standard. Les plus connus sont certainement les tests portant sur la moyenne ou sur les proportions. Par exemple, dans un jeu de dés à six faces, on sait que la face 3 a une probabilité de 1/6 d’apparaître. On demande à un joueur de lancer (sans précautions particulières) 100 fois le dé, on teste alors si la fréquence d’apparition de la face 3 est compatible avec la probabilité 1/6. Si ce n’est pas le cas, on peut se poser des questions sur l’intégrité du dé.

Le test d’adéquation (ou d'ajustement) consiste à vérifier la compatibilité des données avec uneloichoisie a priori. Le test le plus utilisé dans cette optique est le test d’adéquation à laloi normale.On peut également tester la compatibilité des données avec une famille (paramétrée) de lois.

Le test d’homogénéité (ou de comparaison) consiste à vérifier queKéchantillons (groupes) proviennent de la même population. Ou, cela revient à la même chose, que la loi de la variable d’intérêt est la même dans lesKéchantillons.

Le test d’association (ou d’indépendance) consiste à éprouver l’existence d’uneliaisonentre deux variables. Les techniques utilisées diffèrent selon que les variables sont qualitatives nominales, ordinales ou quantitatives.

Les tests selon le type et le nombre de variables

On distingue généralement trois principaux types de variables. Une variable qualitative nominale prend un nombre restreint de valeurs (modalités), il n’y a pas d’ordre entre ces valeurs, l’exemple le plus connu est le sexe, il y a deux valeurs possibles,homme et femme.Une variable qualitative ordinale prend un nombre restreint de valeurs, il y a un ordre entre les valeurs. Un exemple naturel est la préférence ou la satisfaction: peu satisfait, satisfait, très satisfait. Il y a un ordre naturel entre les valeurs, mais nous ne pouvons pas quantifier les écarts. Enfin, une variable quantitative prend théoriquement un nombre infini de valeurs, l’écart entre deux valeurs a un sens. Un exemple simple serait le poids, la différence de poids entre deux personnes est quantifiable, on sait l’interpréter.

Le type de données joue un rôle très important. Il circonscrit le cadre d’application des techniques. Pour un même objectif, selon le type de données, nous serons amenés à mettre en œuvre des tests différents. Par exemple, pour mesurer l’association entre deux variables: si elles sont quantitatives, nous utiliserons plutôt le coefficient de corrélation dePearson;si elles sont qualitatives nominales, ce coefficient de corrélation n’a pas de sens, on utilisera plutôt le coefficient de corrélation deSpearman,ou des mesures telles que le V de Cramer ou le t de Tschuprow.

Principalement concernant les tests de conformité et d’homogénéité, on dit que le test est univarié s’il ne porte que sur une variable d’intérêt (ex. comparer la consommation de véhicules selon le type de carburant utilisé), il est multivarié s’il met en jeu simultanément plusieurs variables (ex. la comparaison porte sur la consommation, la quantité de CO₂émise, la quantité de particules émises, etc.).

Constitution des échantillons

Ce point est surtout associé aux tests de comparaison. On parle d’échantillons indépendants lorsque les observations sont indépendantes à l’intérieur des groupes et d’un groupe à l’autre. C’est le cas lorsque l’échantillon provient d’un échantillonnage simple dans la population globale.

Les échantillons appariés en revanche reposent sur un schéma différent. D’un groupe à l’autre, les individus sont liés. C’est le cas lorsque nous procédons à des mesures répétées sur les mêmes sujets. Par exemple, on mesure la fièvre d’un patient avant et après la prise d’un médicament. L’appariement est une procédure complexe qui va au-delà des mesures répétées (ex. les blocs aléatoires complets), elle vise à améliorer la puissance des tests en réduisant l’influence des fluctuations d’échantillonnage.

Tests classiques

Il existe de nombreux tests statistiques classiques parmi lesquels on peut citer:

• letest de Student,qui sert à la comparaison d'une moyenne observée avec une valeur « attendue » pour un échantillon distribué selon une loi normale;
• letest de Fisher,aussi appelé test de Fisher-Snédécor, qui sert à la comparaison de deux variances observées;
• l'analyse de la varianceouANOVA,permet de comparer entre elles plusieurs moyennes observées (pour les groupes étudiés), selon un plan expérimental prédéterminé. Elle se fonde sur une décomposition de la variance en une partie « explicable » (variance inter-groupes) et une partie « erreur » (variance globale intragroupe — ouvariance résiduelle), supposée distribuée selon uneloi normale.Ce test est particulièrement utilisé en sciences humaines, sciences sociales,sciences cognitives,en médecine et enbiologie;
• letest du χ²,également appelé test duχ²de Pearson, qui sert notamment à la comparaison d'un couple d'effectifs observés, ou à la comparaison globale de plusieurs couples d'effectifs observés, et plus généralement à la comparaison de deuxloisobservées;
• letest de Kolmogorov-Smirnov,qui comme le test duχ²constitue un test d'adéquation entre des échantillons observés et uneloi de probabilité.Il compare lafonction de répartitionobservée et la fonction de répartition attendue. Il est particulièrement utilisé pour lesvariables aléatoirescontinues.

Eninférence bayésienne,on utilise le psi-test (mesure dedistancedans l'espace des possibles) dont on démontre que le test du$\chi ^{2}$représente une excellente approximation asymptotique lorsqu'il existe un grand nombre d'observations.

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé «Test d'hypothèse»(voirla liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

:document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• P.Dagnelie,Statistique théorique et appliquée,t.1:Statistique descriptive et base de l'inférence statistique,Paris et Bruxelles, De Boeck et Larcier,2007.
• P.Dagnelie,Statistique théorique et appliquée,t.2:Inférence statistique à une et à deux dimensions,Paris et Bruxelles, De Boeck et Larcier,2006.
• G. Millot,Comprendre et réaliser les tests statistiques à l'aide de R3^eédition,De Boeck, Louvain-la-Neuve, 2014.
• J.-J. Droesbecke,Éléments de statistique,Ellipses, Paris, 2001.
• B. Escofier et J. Pages,Initiation aux traitements statistiques: Méthodes, méthodologie,Rennes,Presses universitaires de Rennes,1997.
• Falissard et Monga,Statistique: concepts et méthodes,Masson, Paris, 1993.
• H. Rouanet, J.-M. Bernard et B. Le Roux,Statistique en sciences humaines: analyse inductive des données,Dunod,Paris, 1990.
• G. Saporta,Probabilité, analyse des données et statistique,Technip, Paris, 1990.
• R. Veysseyre,Statistique et probabilité pour l'ingénieur,Dunod, Paris, 2002.

Articles connexes

• Plan d'expérience
• Problème d’agrégation spatiale
• Statistique mathématique
• Table d'utilisation des tests statistiques
• Test de référence

Liens externes

• (en)J.D. Leeper,Choosing the Correct Statistical Test,CHS 627: Multivariate Methods in Health Statistics, The University of Alabama.
• (en)J.H. McDonald,Choosing a statistical test,inHandbook of Biological Statistics
• R. Ramousse, M. Le Berre, L. Le Guelte,Introduction aux statistiques,chapitres 1 à 5 (des mêmes auteurs, voir aussiUne approche pragmatique de l'Analyse des données)
• R. Rakotomalala,Comparaison de populations - Tests paramétriquesetComparaison de populations - Tests non paramétriques
• Statisticien.frTests de rangs
• INRIA Rhône-AlpesSMEL - Statistique médicale en ligne,en particulierTests Statistiques
• D. Mouchiroud,Probabilité - Statistique,voir « Probabilités - Statistiques »
• J. Begin,Analyse quantitative en psychologie,voir « Notes de Cours »
• X. Hubaut,Notes pour lycéens (étudiants du secondaire)