Test de Student

Test de Student

Régions de rejet au niveau 10% d'un test de Student à 7 degrés de liberté.

Type	Test statistique,test paramétrique(d)
Inventeur	William Gosset(«Student»)

Enstatistique,untest de Student,outestt,désigne n'importe queltest statistiqueparamétrique où lastatistique de testcalculée suit uneloi de Studentlorsque l’hypothèse nulleest vraie.

Histoire

Façade de la brasserie historique Guinness de St. James.

William Sealy Gosset, qui inventa le test t, sous le pseudonyme Student.

Le test de Student etla loi de probabilités qui lui correspondont été publiés en 1908 dans la revueBiometrikaparWilliam Gosset.Gosset, un employé de la brasserieGuinnessà Dublin, y avait développé le testtà des fins de contrôle de la qualité de la production de bièrestout.La brasserie avait pour règle que ses chimistes ne publient pas leurs découvertes. Gosset argua que son article ne serait d'aucune utilité pour les concurrents et obtint l'autorisation de publier mais sous unpseudonyme,Student,pour éviter les difficultés avec les autres membres de son équipe.

Le testtest devenu célèbre grâce aux travaux deRonald Fisherqui montra que ce test ne couvre pas le cas des échantillons de grande taille. Il apporta donc des modifications au test de Student afin de le généraliser.

Exemples d'utilisation

Le test t a plusieurs utilisations dont voici les plus fréquentes:

• Comparaison de moyenne d'uneloi normaleà une valeur si la variance est inconnue.
• Comparaison de deux moyennes issues de deuxlois normalessi leurs variances sont égales et inconnues. Dans le cas où leurs variances sont différentes et inconnues, on utilise une adaptation appelée letest t de Welch.
• Test sur les coefficients dans le cadre d'unerégression linéaire.
• Test sur des échantillons appariés^{[pas clair]}

Test de Student sur un échantillon de loi normale

On considère une population deloi normalede moyenneμet d'écart typeσ.L'écart typeσn'est pas connu. On souhaite tester si la moyenneμest égale à une valeur déterminéeμ₀.L'hypothèse nulleestH₀:μ=μ₀,autrement dit on suppose a priori que la moyenne vautμ₀.On se place maintenant sous l'hypothèse nulle.

Cadre

On considère unéchantillonde taillende cette population$(X_{1},\dots,X_{n})$,autrement dit, selon l'hypothèse nulle, chaque$X_{i}$est unevariable aléatoirequi suit une loi normale de moyenneμ₀et d'écart typeσ.De plus, les$X_{i}$sont indépendantes. On estime alors la moyenne par lamoyenne empirique:

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$.

Comme l’hypothèse nulleest supposée vraie, la moyenne${\overline {X}}$suit également une loi normale d'espéranceμ₀,mais d'écart typeσ/√n.Comme lavarianceσ²est inconnue, on l'estime par sonestimateur sans biais(on note la division par$n-1$au lieu de$n$afin d'avoir un estimateur sans biais):

$S_{n}^{\ast ^{2}}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}$.

Définition de la statistique

D'après lethéorème de Cochran,sous l'hypothèse nulle,${\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}S_{n}^{\ast ^{2}}$suit uneloi du chi deuxàn– 1degrés de liberté.

On pose lastatistique de testsuivante:

$Z={\sqrt {n}}{\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S_{n}^{\ast }}}$

Par définition, la statistique$Z$suit uneloi de Studentàn– 1degrés de liberté.La réalisation de la statistique de test:

$z={\sqrt {n}}{\frac {{\overline {x}}_{n}-\mu _{0}}{s_{n}^{\ast }}},$où$s_{n}^{\ast }={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}}_{n})^{2}}}$.

Mise en place du test

Fonction de densité de la loi de Student à 7 degrés de liberté. La zone rouge est la région de rejet.

On rappelle que l'on veut testerH₀:μ=μ₀.On choisit un risqueα,généralement 0,05 ou 0,01^{[réf. nécessaire]}.Le risque α s'appelle risque de première espèce, c'est la probabilité de rejeter$H_{0}$dans le cas où$H_{0}$est vraie. La figure ci-contre correspond à un risque$\alpha$de 0,1 et$n=8$,et donc une loi de Student avec$n-1=7$degrés de liberté. La figure montre lequantiled'ordre$\alpha \over 2$(à gauche) et celui d'ordre$1-{\frac {\alpha }{2}}$(à droite). Comme la loi de Student est symétrique, ces quantiles sont égaux au signe près.

• Si la valeur de$z$(sur l'axe des abscisses) est dans la zone bleue (entre les deux quantiles), alors on conserve l'hypothèse nulle.
• Si elle est dans la zone rouge, on rejette l'hypothèse nulle.

Dit autrement, si|z|est supérieur auquantiled'ordre1 –α/2de la loi de Student àn– 1degrés de liberté alors on rejette l'hypothèse nulle.

Variantes

Fonction de densité de la loi de Student à 7 degrés de liberté (toujours et encore) mais cette fois la région de rejet pour tester$\mu \leq \mu _{0}$.

Examinons la variante où cherche à tester l'hypothèse nulleH₀:μ≤μ₀.Dans ce cas, une valeur deznégative n'est pas discriminante et sizest dans la région bleue de la figure ci-contre alors on conserve l'hypothèse nulle. Par contre, sizest supérieur auquantiled'ordre1 –αde la loi de Student àn– 1degrés de liberté alors on rejette l'hypothèse nulle (région rouge à droite pour un risque de$\alpha$= 10%).

Fonction de densité de la loi de Student à 7 degrés de libertés (encore et toujours) mais cette fois la région de rejet pour tester pour$\mu \geq \mu _{0}$.

TesterH₀:μ≥μ₀se fait de manière symétrique. Cette fois ci, des valeurs dezne sont pas discrimantes. Sizest inférieur auquantiled'ordreαde la loi de Student àn– 1degrés de liberté (région rouge à gauche pour un risque de$\alpha$= 10% dans la figure) alors on rejette l'hypothèse nulle.

Implémentation

Langage/Logiciel	Fonction	Notes
R	t.test	[1]
SAS	PROC TTEST	[2]
Python	scipy.stats.ttest_ind	[3]
Matlab	ttest	[4]
Mathematica	TTEST	[5]
Stata	ttest	[6]
Julia	OneSampleTTest EqualVarianceTTest	[7]
Maple	OneSampleTTest, TwoSampleTTest, TwoSamplePairedTTest

Voir aussi

• Loi de Student,la loi de probabilité de la statistique dans le test t
• Test t de Welch,une adaptation pour comparer deux moyennes de deux lois normales dont les variances sont inconnues et inégales
• Test de Wald