Latransformation en Zest un outil mathématique de l'automatiqueet dutraitement du signal,qui est l'équivalentdiscretde latransformation de Laplace.Elle transforme un signal réel du domaine temporel en un signal représenté par une série complexe et appelétransforméeen Z.
Sa définition mathématique est la suivante: la transformation en Z est une application qui transforme unesuites(définie sur les entiers) en unefonctionSd'une variablecomplexenomméez,telle que:
La variablenreprésente en général letempsdiscrétisé, la variable complexezn'est qu'un être mathématique. Lorsqu'on travaille surs(n) on dit que l'on est dans ledomaine temporel,lorsqu'on travaille surS(z) le domaine est appeléfréquentielpar analogie avec la transformée de Fourier.
Si,on parle de signal causal.
Inversement, si,on parle de signal anti-causal.
Pour les signaux causaux, on peut aussi utiliser la transformée en Zmonolatérale:
Le domaine deconvergenceest le sous-ensemble dedans lequel lasérieconverge.
Autrement dit, le domaine de convergence de la transformée ende la suiteest l'ensemble:
Le sous-ensemble dedans lequel cette série convergeabsolumentest appelé lacouronne de convergence[1].En posant,il vient:
avec
Le domaine de convergence absolue deest donc une couronne
oùsignifie à chaque foisouet où l'inégalité (large ou stricte)(resp.) est la condition nécessaire et suffisante pour queait une limite finie lorsque(resp.) tend vers.Explicitement[2],
Dans toute la suite de l'article, la couronne de convergenceest supposée non vide et les transformées en Z sont valides pourseulement.
Soitun signalcausaletsa transformée en Z. Alors lorsque la limite de gauche existe, on peut écrire:
Démonstration
Le théorème de la valeur initiale a une démonstration évidente: il suffit de poseret de remplacerypar0dans l'expression de.
Pour le théorème de la valeur finale, on notera que le fait queexiste implique la suiteest bornée et donc que le rayon de convergencedeest inférieur ou égal à 1. On a
avec
et cette suite de fonctions est uniformément convergente dans l'ouvert.Le point1appartient à l'adhérence deUet pour,converge vers.D'après le « théorème de la double limite », on a donc
oùest un chemin fermé parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et appartenant entièrement au domaine de convergence.
En pratique, ce calcul s'effectue souvent à l'aide duthéorème des résiduset la formule devient dans le cas d'un signal causal:
Autres méthodes d'inversion
D'autres méthodes d'inversion pour passer deàsont: la lecture à l'envers de la table des transformées usuelles; l'application des règles de décalage, de combinaisons linéaires, de produit de convolution. En désespoir de cause, on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant àzk+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x(0) à x(k) qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Ou bien essayer de trouver un développement de Taylor ou Maclaurin de la fonction à inverser. Un cas particulier favorable se présente lorsque la fonctionest unefraction rationnelle.En effet lorsque:,P et Q étant deux polynômes en 1/z, on peut effectuer la division jusqu'au degré de précision souhaité, et l'on obtient directement les valeurs numériques des coefficients,n variant de 0 à m. En l'occurrence on adopte plutôt dans ce cas la notation.La raison en est que, pour les systèmes discrets ou échantillonnés, lafonction de transferts'écrit h(n) et sa transformée en Z se présente souvent sous cette forme de quotient entre une sortie (en z) et une entrée (en z):.Un exemple concret pour illustrer cette démarche:
Quotient de polynômes en z, approximation numérique.
Attention, cette méthode est purement numérique, elle ne fournit pas l'expression analytique de la série inverse. Dans cet exemple, H(z) est le rapport de deux polynômes en 1/z. Le numérateur ressemble à la multiplication par 2 du dénominateur décalé de 1 période, mais on choisit des valeurs numériques un peu inexactes pour éviter un parfait quotient égal à 2/z.
Le numérateur, de puissance 11, est une expression de la forme:
Le dénominateur, de puissance 10, est:
Ici la division des polynômes ne « tombe pas juste », nous nous contentons d'une approximation du quotient Q(z), de la forme jusqu'à la puissance 10:
Le reste R(z) de cette division incomplète est:
On peut vérifier sur un tableur ou à la main que ces polynômes répondent bien à la définition de ladivision euclidienne:H(z) = NUM(z)/DENOM(z)= Q(z)+ R(z)/DENOM(z). On suppose que le reste est négligeable par rapport aux coefficients du quotient.
Les schémas de ces divers polynômes peuvent être visualisés sur un tableur comme suit.
Par curiosité on peut afficher laréponse impulsionnellede l'approximation Q(z) de H(z). De même on peut afficher laréponse indiciellede Q(z) à un échelon de Heaviside.
Si nous nous contentions d'une approximation moins précise de H(z) par le quotient Q(z), de la forme
jusqu'à la puissance 5 par exemple:
nous obtiendrions des courbes de réponse légèrement différentes, beaucoup moins précises (imprécision 6 fois plus forte environ). Le choix du degré d'approximation, autrement dit du meilleur compromis entre la précision et la lourdeur des calculs, est dicté par l'examen concret du problème spécifique que l'on traite.
Procédé par identification approximative des coefficients de X(z).
Pour passer deà,si aucune méthode ne semble déboucher, en désespoir de cause on peut toujours essayer de procéder par identification en donnant à z k+1 valeurs numériques et en recherchant les coefficients x(0) à x(k) qui sont solutions d'un système de k+1 équations linéaires à k+1 inconnues. Exemple:
Utilisation des fractions rationnelles, exemple de la fonction de transfert de la suite de Fibonacci.
Pour retrouver laformule de Binet,procédons à la transformation inverse. La méthode des fractions rationnelles peut être tentée. Le dénominateur possède deux pôles,etqui sont lenombre d'or:et l'opposé de son inverse:.Pour les calculs rencontrés ci-dessous on se servira des propriétés suivantes deet:,et
.
La fonction se décompose en fractions rationnelles élémentaires que l'on réécrit un peu:
.
Une fraction du typepeut se travailler ainsi:
La première partie étant la transformée de la formule usuelle exponentielle,,la seconde partie 1/z étant le retard pur d'un cran. Si bien que la transformée inverse de cette fraction élémentaire est,en appliquant les règles de combinaisons linéaire nous calculons la suite cherchée:
La correspondanceest une surjection de la bande de convergence de latransformée de Laplacedu signal échantillonné(en supposant cette bande de convergence non vide) sur la couronne de convergence de la transformée en Zde la suite de terme général,et l'on a
.
Démonstration
Soitappartenant à la bande de convergence de.Alors(avec un nouvel abus d'écriture) appartient àet par définitionoùdésigne latransformée de Fourier.Soitoùest l'espace de Schwartzdes fonctions déclinantes (dontest le dual). On a (toujours en écriture abusive)
Les égalités ci-dessus sont valides car dans chaque crochet de dualité, on a à gauche une distribution tempérée et à droite une fonction déclinante; par suite, la substitutionenvoie la bande de convergencededu signal échantillonnédans la couronne de convergencede.
Réciproquement, soit la suite de terme général;posonset.Le nombre complexeappartient àsi, et seulement si la suite de terme généralappartient à l'espacedes « suites à croissance lente » (i.e. des suitesapour lesquelles il existe un entiertel quepour[6].La transformée de Fourier d'une telle suite est la distribution-périodique
.
Associons à la suiteala distributiondéfinie (en notation abusive) par
.
L'applicationest un monomorphisme dedans l'espace des distributions tempérées[7]et la transformation de Fourier est un automorphisme de.On obtient alors (toujours en notation abusive)
.
Ce qui précède montre que
Récapitulons: si,alors,donc,donc
,donc (notation abusive),donc.On a donc montré que la correspondanceest unesurjectiondesur.
Transformée de Fourier et transformée de Fourier discrète
Si le cercle unité appartient à la couronne de convergence,latransformée de Fourierde la suites'obtient en prenant la restriction de la transformée en Z de cette suite au cercle unité, c'est-à-dire en posant.Latransformée de Fourierest en effet la fonction-périodique(elle est-périodique si l'on poseet qu'on prend comme variable la pulsation). Siest une suite de nombres réels, on a,par conséquentpeut être supposé varier dans l'intervalle.
Latransformée de Fourierpeut se définir pour des suites à croissance lente (elle est alors unedistribution-périodique) et la transformée en Z à partir de cette transformée de Fourier plus générale (voir la démonstration ci-dessus)[8].
Il existe également une relation entre la transformée en Z et latransformée de Fourier discrète(TFD).
La TFD d'un signalde supportest obtenue en évaluanten(avec).
Ci-dessous,représente l'impulsion unitaire ou « suite deKronecker» (égale à 1 pouret à 0 sinon; elle peut également s'écrire,oùest lesymbole de Kronecker); d'autre part,désigne l'échelon unitaire (égal à 1 pouret à 0 sinon).