Réunion disjointe

Enmathématiques,laréunion disjointeest uneopération ensembliste.Contrairement à l'union usuelle,lecardinal d'uneunion disjointed'ensemblesest toujours égal à la somme de leurscardinaux.L'union disjointe d'une famille d'ensembles correspond à leursommeenthéorie des catégories,c'est pourquoi on l'appelle aussisomme disjointe.C’est une opération fréquente entopologieet eninformatique théorique.

Union disjointe de deux ensembles

Dans une réunionA∪Bde deux ensembles, l'origine des éléments y figurant est perdue et les éléments de l'intersection ne sont comptés qu'une seule fois. Dans certaines situations, on désire conserver cette information et prendre en compte deux fois les éléments de l'intersection. Pour cela, on réunit non pas directementAetB,mais deuxensembles disjoints,copies deAetBde la forme { α } ×Aet { β } ×B,où α et β sont deux symboles quelconques distincts servant à identifier les ensemblesAetB(par exemple 0 et 1) et × désigne leproduit cartésien.

L'union disjointe, encore appelée « somme disjointe » ou « somme cartésienne », de deux ensemblesAetBest ainsi définie par:

$A\sqcup B=A+B=A{\dot {\cup }}B:=(\{0\}\times A)\cup (\{1\}\times B).$

Exemples

• SoientAlapaire{1, 2} etBl'ensemble à trois éléments {2, 3, 4}. Leur réunion (ordinaire) n'a que quatre éléments car ces deux ensembles ne sont pas disjoints. Pour construire leur union disjointe, on commence par les « numéroter » par deux « indices » distincts arbitrairesaetb:on poseI= {a,b},E_a= AetE_b= B.Puis on prend la réunion de deux « copies » deAetBqui, elles, sont disjointes: {a}×Aet {b}×B.La réunion disjointe de (E_i)_i∈Iest la partie$(\{a\}\times \{1,2\})\cup (\{b\}\times \{2,3,4\})=\{(a,1),(a,2),(b,2),(b,3),(b,4)\}$de {a,b}×{1, 2, 3, 4}. Elle a 2 + 3 = 5 éléments.
• De même, l'union disjointe de la paire {1, 2} avec elle-même est (en choisissant arbitrairement deux indices distincts, par exemple cette fois: 0 et 1):$\{1,2\}\sqcup \{1,2\}=\{(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)\}.$

Union disjointe d'une famille finie ou dénombrable d'ensembles

La somme disjointe peut se généraliser à plus de deux ensembles. Par exemple, pour trois ensembles quelconquesA,BetC:

$A\sqcup B\sqcup C=(\{0\}\times A)\cup (\{1\}\times B)\cup (\{2\}\times C).$

On peut définir plus généralement la somme disjointe denensembles$E_{0},E_{1},\cdots E_{n-1}$quelconques:

$E_{0}\sqcup E_{1}\sqcup \cdots \sqcup E_{n-1}=\bigcup _{i=0}^{n-1}(\{i\}\times E_{i}).$

On peut également généraliser cette notion à des ensembles quelconques (non nécessairement finis) d'indices, et former par exemple des unions disjointesdénombrables.

Exemple

$\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} }\left[n,+\infty \right[=\{(n,x)\in \mathbb {N} \times \mathbb {R} \mid x\geq n\}.$

Union disjointe d'une famille quelconque d'ensembles

Pour toutefamille (E_i)_i∈Id'ensembles,les ensembles produits {i}×E_i(iparcourant l'ensembleIdes indices de la famille) sont disjoints deux à deux. La réunion disjointe ∐_i∈IE_idesE_iest, par définition, laréunion (ordinaire)de ces ensembles disjoints. Formellement:

$\bigsqcup _{i\in I}E_{i}=\{(i,x)\mid i\in I,\ x\in E_{i}\}.$

Il s'agit bien d'un ensemble car, vue sa définition, ∐_i∈IE_ipeut se décrireen compréhensioncomme une partie deI×E,le produit cartésien deIpar la réunion (ordinaire)EdesE_i.

La définition de la somme disjointe souffre d'un arbitraire inessentiel. On peut définir la somme disjointe comme étant la réunion$\bigcup _{i\in I}(E_{i}\times \{i\})$ou bien$\bigcup _{i\in I}(\{i\}\times E_{i})$.Ces deux possibilités correspondent respectivement à un marquage « à droite » ou « à gauche » des éléments de la réunion ordinaireE,selon l'indice associé à l'ensemble dont ils proviennent. Dans les deux cas, il existe unesurjectionde la somme disjointe sur la réunion, qui est unebijectionsi les ensembles de la famille (E_i)_i∈Isont disjoints deux à deux.

On peut remarquer que la somme disjointe de deux ensembles vérifie la propriété fondamentale descouples.De plus, contrairement aux couples de Kuratowski, cette notion, qui n'utilise que des opérations ensemblistes élémentaires, peut s'appliquer auxclasses propres.C'est pourquoi les sommes disjointes sont parfois appeléescouples généralisés,et utilisées ainsi enthéorie des classes.

Réunion disjointe d'espaces topologiques

Dans la définition ci-dessus, si chaqueE_iest unespace topologique,on dispose d'une topologie naturelle sur ∐_i∈IE_i,dont lesouvertssont les réunions disjointes ∐_i∈IU_ioù chaqueU_iest un ouvert deE_i.

Cette construction, appeléesomme topologique,joue le rôle de somme dans lacatégorie des espaces topologiques.Alliée avec l'espace quotient,elle permet de construire de nombreux espaces, notamment lesvariétés topologiqueset lescomplexes cellulairesousimpliciaux.

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé «Produit cartésien»(voirla liste des auteurs).

Voir aussi

Multiensemble:généralisation de la notion d'ensemble, où l'on permet plusieurs occurrences (indiscernables) d'un même élément; l'union de deux multiensembles ayant des éléments communs n’amène pas à les disjoindre comme ci-dessus mais à cumuler les nombres d'occurrences de chaque élément.