Projection orthographique

Uneprojection orthographiqueest uneprojection cartographique azimutale.C'est une projection deperspectivepar laquelle unesphèreest projetée sur unplan tangent.Lepoint de perspectiveest à une distanceinfinie.Unhémisphèreduglobeest perçu comme s'il était observé depuis l'espace.Lesaireset formes locales ne sont pas conservées.

Histoire[modifier|modifier le code]

Lesanciens Grecsl'appelaientanalemme,du nom d'un traité dePtolémée.Le nom contemporain fut repris duDe Architectura^[1]deVitruvepar le mathématicienFrançois d'Aguilon(1613).Albrecht Dürergrava pour illustrer le livre du cartographeJohannes Stabiusles premièresmappemondespolaires et équatoriales de la Terre en projection orthographique. Les photographies de la Terre et des autres planètes prises de l'espace ont donné un regain d'actualité à ce type de projection enastronomie.

Mathématiques[modifier|modifier le code]

On obtient les formules de la projection orthographique, qui relientlongitudeλetlatitudeϕsur la sphère, auxcoordonnées cartésiennes(x,y) dans le plan tangent partrigonométrie.Si l'on noteRlerayonde la sphère et (λ₀,ϕ₁) les coordonnées du centre de la projection (pris commeorigine), ces formules sont: ${\begin{cases}x=R\,\cos \phi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y=R\,{\Big [}\cos \phi _{1}\sin \phi -\sin \phi _{1}\cos \phi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\Big ]}~.\end{cases}}$

Il faut, bien sûr, éliminer les latitudes correspondant à des points en dehors de la carte, ce que l'on peut faire en calculant l'écart angulairecaucentrede la projection. De cette façon les points de l'hémisphère complémentaire ne seront pas tracés:

\cos c=\sin \phi _{1}\sin \phi +\cos \phi _{1}\cos \phi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\,

.

Dans cette formule, il ne faut pas représenter un point si coscest négatif.

Inversement, pour retrouver les coordonnées (λ,ϕ) d'un point sur la sphère,R,λ₀,ϕ₁,xetyétant donnés:

{\begin{cases}\phi =\arcsin \left(\cos c\sin \phi _{1}+{\frac {y\sin c\cos \phi _{1}}{\rho }}\right)\\\lambda =\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos \phi _{1}\cos c-y\sin \phi _{1}\sin c}}\right)\end{cases}}

où

{\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c=\arcsin \left({\frac {\rho }{R}}\right)~.\end{cases}}

Pour le calcul des formules inverses (par exemple, en utilisant C / C ++, Fortran ou un autre langage de programmation), l'utilisation de la forme atan2 à deux arguments de la fonction tangente inverse (par opposition à atan) est recommandée. Cela garantit que le signe de la projection orthographique est correct dans tous les quadrants.

Notes et références[modifier|modifier le code]

↑De Architectura,livre I, chap. 4. Vitruve désigne parorthographieune vue géométrale d'un objet, qu'on appelle engéométrie descriptivel'élévation.

(en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«Orthographic projection (cartography)»(voir la liste des auteurs).

Voir aussi[modifier|modifier le code]

Les trois autres projections azimutales principales:

Liens externes[modifier|modifier le code]

(en)Eric W. Weisstein,«Orthographic Projection», surMathWorld
(en)Snyder, J. P. -Flattening the Earth: two thousand years of map projections(1993), The University of Chicago Press,(ISBN 0-226-76747-7)

[1] De Architectura,livre I, chap. 4. Vitruve désigne parorthographieune vue géométrale d'un objet, qu'on appelle engéométrie descriptivel'élévation.

[1]

v·m Projections cartographiques
Cylindrique	Conforme Mercator Équidistante Cassini Aphylactique Équivalente Peters Lambert Compromis Gall Miller
Pseudo-cylindrique	Équivalente Eckert I Eckert II Eckert IV Equal Earth Collignon Goode Mollweide Sinusoïdale Sanson-Flamsteed Tobler Compromis Kavrayskiy VII Naturelle Robinson Wagner VI
Conique	Conforme Lambert Équivalente Albers
Pseudo-conique	Équivalente Bonne Bottomley Werner
Azimutale	Conforme Stéréographique Équidistante Postel Équivalente Lambert Gnomonique Orthographique
Pseudo-azimutale	Compromis Aïtoff Winkel-Tripel
Polyhédrale	Compromis Authagraph Fuller Octant
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