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Arc tangente

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Fonction arc tangente
Représentation graphique de la fonction arc tangente.
Notation
Réciproque
sur
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
Ensemble image
Parité
impaire
Valeurs particulières
Valeur en zéro
0
Limite en +∞
Limite en −∞
Particularités
Asymptotes
en
en

En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la valeur d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique tangente à l'intervalle . La notation est arctan[1] ou Arctan [2] (on trouve aussi Atan, arctg en notation française ; atan ou tan−1, en notation anglo-saxonne, cette dernière pouvant être confondue avec la notation de l'inverse (1/tan)).

Pour tout réel x :

.

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

La fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel x) .

Comme dérivée d'une fonction réciproque, arctan est dérivable et vérifie[3] : .

Développement en série de Taylor

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Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente[4] est :

.

Cette série entière converge vers arctan quand |x| ≤ 1 et x ≠ ±i. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ (et même — cf. § « Fonction réciproque » — sur un domaine du plan complexe contenant à la fois ℝ et le disque unité fermé privé des deux points ±i).

Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.

La fonction arctan peut être utilisée pour calculer des approximations de π ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas x = 1 du développement en série ci-dessus :

.

Équation fonctionnelle

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On peut déduire arctan(1/x) de arctan x et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

 ;
.

Fonction réciproque

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Par définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle  : .

Ainsi, pour tout réel x, tan(arctan x) = x. Mais l'équation arctan(tan y) = y n'est vérifiée que pour y compris entre et .

Dans le plan complexe, la fonction tangente est bijective de ]–π/2, π/2[+iℝ dans ℂ privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur, d'après son lien avec la fonction tangente hyperbolique et les propriétés de cette dernière. La définition ci-dessus de arctan s'étend donc en : .

Logarithme complexe

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Par construction, la fonction arctangente est reliée à la fonction argument tangente hyperbolique et s'exprime donc, comme elle, par un logarithme complexe :

.

Intégration

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La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 s'obtient grâce à une intégration par parties :

.

Utilisation de la fonction arc tangente

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La fonction arc tangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

Si le discriminant D = b2 – 4ac est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par

qui donne pour l'expression à intégrer

L'intégrale est alors

.

Formule remarquable

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Si xy ≠ 1, alors[3] :

Autres utilisations

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Quatre fonctions sigmoïdes (formes canoniques mises à l'échelle par rapport aux valeurs asymptotiques et à la pente à l'origine). La courbe en bleu représente la fonction arc tangente.

La forme en S de cette fonction fait qu'elle fait partie des fonctions dites sigmoïdes. Par rapport à la fonction logistique de Verhulst et la fonction erf, elle est celle qui est la plus lisse, c'est-à-dire celle qui est la plus longue à rejoindre ses asymptotes.

Notes et références

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(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Arkustangens und Arkuskotangens » (voir la liste des auteurs).
  1. Extraits de la norme ISO 31-11 à l'usage des CPGE, p. 6.
  2. Programme officiel de l'Éducation nationale (MPSI, 2013), p. 6.
  3. a et b Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Fonction arctan » sur Wikiversité.
  4. Connue des anglophones sous le nom de « série de Gregory », elle avait en fait été déjà découverte par le mathématicien indien Madhava au XIVe siècle. Voir l'article Série de Madhava (en) pour plus de détails.

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Articles connexes

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Lien externe

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(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Tangent », sur MathWorld