Nombre de Carol
En mathématiques récréatives, le n-ième nombre de Carol (où n est un entier strictement positif[1]) est l'entier
L'amateur qui les étudie, Cletus Emmanuel, leur a donné le nom d'une amie, Carol G. Kirnon[2].
Propriétés
[modifier | modifier le code]Les dix premiers nombres de Carol (suite A093112 de l'OEIS) sont
Leurs classes de congruence modulo 7 sont
- –1, 0, –2, –1, 0, –2, –1, 0, –2, etc.
donc pour tout entier k > 0, le (3k+2)-ième nombre de Carol n'est pas premier.
Le n-ième nombre de Carol est égal à (22n – 1) – 2n+1, ainsi qu'à ((2n + 1)2 – 2) – 2n+2.
Sa représentation binaire si n > 2 est, de gauche à droite, (n – 2) uns consécutifs, un zéro au milieu, puis (n + 1) uns consécutifs, puisque
Par exemple, le troisième nombre de Carol (47) s'écrit 101111 en binaire et le quatrième (223) s'écrit 11011111.
Nombres de Carol premiers
[modifier | modifier le code]Les dix plus petits nombres de Carol premiers (suite A091516) et leurs indices (suite
A091515) sont :
indice n | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 10 | 12 | 15 | 18 | 19 |
nombre de Carol premier | 7 | 47 | 223 | 3 967 | 16 127 | 1 046 527 | 16 769 023 | 1 073 676 287 | 68 718 952 447 | 274 876 858 367 |
Le plus grand nombre de Carol premier connu est le nombre de Carol d'indice 253 987, qui a 152 916 chiffres. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2007[3] en utilisant les programmes MultiSieve[4] et PrimeFormGW[5]. C'est le 40e nombre de Carol premier.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Eric W. Weisstein, « Near-Square Prime », sur MathWorld.
- (en) « Re: [PrimeNumbers] Re: Carol/Kynea new records ».
- (en) « (2253987 - 1)2 - 2 », sur Prime Pages.
- (en) Mark Rodenkirch's MultiSieve.exe, sur Prime Pages.
- (en) OpenPFGW (a.k.a. PrimeForm), sur Prime Pages.