Ensemble bien ordonné

Enmathématiques,unensemble ordonné(E,≤) estbien ordonnéet la relation ≤ est unbon ordresi la condition suivante est satisfaite:

ToutepartienonvidedeEpos sắc de unplus petit élément.Formellement cela donne ∀X⊆E, X≠∅ ⇒ (∃u∈X, ∀v∈X u≤v).

Si (E,≤) est bien ordonné alors ≤ est nécessairement unordre total,c'est-à-dire que deux éléments quelconquesxetydeEsont toujours comparables. En effet, l'ensemble {x,y} pos sắc de un plus petit élément, donc on ax≤youy≤x.

Si de plus l'axiome du choix dépendantest vérifié, cette propriété (être bien ordonné) est équivalente, pour un ordre présupposé total, à lacondition de chaîne descendante« il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante ». D'après lethéorème de Zermelo,l'axiome du choixdans toute sa force équivaut au fait que tout ensemble peut être bien ordonné.

Exemples et contre-exemples

Toute partie d'un ensemble bien ordonné est elle-même bien ordonnée (pour l'ordre induit).
L'ensemble vide est bien ordonné par sa seulerelation:(Ø, Ø) (c'est le plus petitordinal).
Plus généralement, tout ensemble totalement ordonnéfiniest bien ordonné. Un tel ensemble ordonné est caractérisé (àisomorphisme près) par le nombrend'éléments de l'ensemble, ce qui légitime la notationnpour letype d'ordrecorrespondant.
Si $\leq$ définit unordre bien fondésur $(E,\leq )$ et $C$ unechaînede $(E,\leq )$ ,la restriction $(C,\leq )$ est un bon ordre.
L'ensemble (ℕ, ≤) desentiers naturels,muni de son ordre usuel, est bien ordonné; il est souvent notéωdans ce contexte.
Si $(E_{i},\leq _{i})_{i\in I}$ $(E_{i},\leq _{i})_{i\in I}$ est unefamille d'ensemblesbien ordonnés et si $I$ $I$ est muni d'un bon ordre, alors:
- si $I$ est fini, sur leproduit $\prod _{i\in I}E_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}\mid \forall i\in I,\ x_{i}\in E_{i}\}$ ,l'ordre lexicographiqueest un bon ordre. Pour quatre exemples de produits d'uncouplede bons ordres, voirn×p,2×N,N×2 etN×N(isomorphes respectivement auxordinaux produitspn,ω2, 2ω (= ω) et ω²);
- l'union disjointe $\bigsqcup _{i\in I}E_{i}=\{(i,x)\mid i\in I,\ x\in E_{i}\}$ est bien ordonnée par: $(i,x)\leq (j,y)$ si $i<j$ ou ( $i=j$ et $x\leq _{i}y$ ). Ce bon ordre s'appelle lasomme ordinalede la famille^[1].Remarquons que $\sum _{i\in I}E=I\times E$ .La somme ordinale d'un couple $(A,B)$ de bons ordres se note $A+B$ ^[1].Pour trois exemples, voirω + ω (= ω2) et 3 + ω, ω + 3 (⊂ ω2).

Démonstration

Produit cartésien (fini):onraisonne par récurrencesur le cardinal de $I$ $I$ :
- initialisation:si $|I|=0$ ,c'est-à-dire $I=\varnothing$ ,alors $\prod _{i\in I}E_{i}$ est réduit à un singleton (rigoureusement, celui contenant la suite vide: $\{()\}$ ), donc bien ordonné;
- hérédité:on suppose la propriété génériquement vraie pour tout ensemble d'indices de cardinal $n$ ;on suppose $|I|=n+1$ .Soit $A$ une partie non vide de $\prod _{i\in I}E_{i}$ . $I$ étant bien ordonné, il admet un plus petit élément $i 0$ ;on pose $I'=I\setminus \{i_{0}\}$ ,puis $E'=\prod _{i\in I'}E_{i}$ et $A_{i_{0}}=\pi _{i_{0}}(A)$ (où $\pi _{i_{0}}$ désigne la projection canonique sur la composante $i 0$ ). On définit alors $A'$ par $A'=\{(x_{i})_{i\in I'}\in E'\mid (x_{i})_{i\in I}\in A\ \ \mathrm {et} \ x_{i_{0}}=\operatorname {min} (A_{i_{0}})\}$ ,ce qui est légitime puisque $A i 0$ est une partie non vide (par non-vacuité de $A$ ) de l'ensemble ordonné $E i 0$ et donc admet bien un minimum. $A'$ est alors non vide (toujours parce que $A$ ne l'est pas non plus); or c'est une partie de l'ensemble $E'$ ,qui est bien ordonné (pour l'ordre lexicographique induit) par hypothèse de récurrence puisque $|I'|=n$ ,et par voie de conséquence, $A'$ pos sắc de un plus petit élément $(m_{i})_{i\in I'}$ .
  En notant $m_{i_{0}}=\operatorname {min} (A_{i_{0}})$ ,on obtient avec $(m_{i})_{i\in I}$ un minimum de $A$ :en effet, si $(x_{i})_{i\in I}\in A$ ,alors $m_{i_{0}}\leq x_{i_{0}}$ ;il y a une alternative: soit $m_{i_{0}}<x_{i_{0}}$ ,et alors $(m_{i})_{i\in I}\leq _{\mathrm {lex} _{I}}(x_{i})_{i\in I}$ ,soit $m_{i_{0}}=x_{i_{0}}$ ,et on a alors $(x_{i})_{i\in I'}\in A'$ ,d'où $(m_{i})_{i\in I'}\leq _{\mathrm {lex} _{I'}}(x_{i})_{i\in I'}$ par minimalité de $(m_{i})_{i\in I'}$ dans $A'$ ,ce qui, d'après ladéfinition récursive de l'ordre lexicographique,redonne bien $(m_{i})_{i\in I}\leq _{\mathrm {lex} _{I}}(x_{i})_{i\in I}$ .

Somme disjointe:soit $A$ une partie non vide de $\bigsqcup _{i\in I}E_{i}$ .On pose $I_{A}=\{i\in I\mid \exists x\in E_{i},(i,x)\in A\}$ ; $I A$ est une partie de $I$ non vide puisque $A$ est non vide, donc, $I$ étant bien ordonné, $I A$ admet un minimum $i 0$ .On définit ensuite $E'$ par $E'=\{x\in E_{i_{0}}\mid (i_{0},x)\in A\}$ ; $E'$ est une partie non vide de $E i 0$ par construction, or ce dernier est bien ordonné, donc $E'$ pos sắc de un plus petit élément $x 0$ .
On vérifie alors que $(i 0, x 0)$ est le minimum de $A$ pour l'ordre de la somme ordinale: si $(i,x)\in A$ ,alors $i\in I_{A}$ et donc $i_{0}\leq i$ ;si $i_{0}<i$ ,on a bien $(i_{0},x_{0})\leq (i,x)$ ,sinon, $i_{0}=i$ et alors $(i_{0},x)\in A$ d'où $x\in E_{i_{0}}$ ,ce qui entraîne $x_{0}\leq _{i_{0}}x$ puis $(i_{0},x_{0})\leq (i,x)$ .

L'ensemble desentiers relatifsou l'intervalle réel]0, 1[ (munis de leurs ordres usuels respectifs) ne sont pas bien ordonnés puisqu'ils n'ont eux-mêmes pas de plus petit élément. Les intervalles réels [0, 1[ et [0, 1] ne sont pas bien ordonnés non plus puisqu'ils ont pour partie non vide ]0, 1[.
L'ensemble des suites infinies de 0 et de 1, qui peut s'écrire $\prod _{i\in \mathbb {N} }\{0,1\}$ et être muni de l'ordre lexicographique associé (induit par 0 < 1 et l'ordre habituel sur $\mathbb {N}$ ,donc deux bons ordres), n'est alors pas bien ordonné, puisque $\{0^{i}1^{\ Omega }\mid i\in \mathbb {N} \}$ en est une partie non vide n'admettant pas de minimum (en effet, 1… > 01… > 001… > 0001… >…); cela constitue un contre-exemple à la propriété sur le produit cartésien mentionnée plus haut dans le cas où $I$ est infini.
Plus simplement, l'ordre lexicographiquesur l'ensemble infini des mots finis sur l' Alpha bet $\{a,b\}$ (ou tout autre Alpha bet de taille au moins 2)n'est pas un bon ordre.On a par exemple comme chaine infinie décroissante: $ab>aab>aaab>aaaab>aaaaab>...$

L'ensemble desnombres fusibles,plus petit sous-ensemble desnombres dyadiquespositifs stable pour l’opération $(x,y)\mapsto (x+y+1)/2$ (avec |x-y|<1) est bien ordonné (d’ordinal $\varepsilon _{0}$ ), bien que cela ne soit pas démontrable à l'aide desaxiomes de Peano.

Prédécesseurs et successeurs

Soit (E,≤) un ensemble bien ordonné non vide.

Il a un plus petit élément, mais peut (comme dans le casE= ω, l'ensemble des entiers naturels pour l'ordre usuel) ne pas en avoir de plus grand; mais rien n'empêche de lui en ajouter un — c'est le tout début d'une construction naïve des ordinauxtransfinis.
Soit α un élément deE:si α n'est pas le plus grand élément deE,il existe, parmi les éléments deEstrictement supérieurs à α, un plus petit élément β, appelésuccesseurde α et noté souventα + 1,dont α est leprédécesseur.
Un élément deEa au plus un prédécesseur; le plus petit élément n'en a évidemment pas et c'est le seul cas pourE= ω, mais en général, dans un ensemble bien ordonnéE,beaucoup d'éléments n'ont pas de prédécesseur — c'est d'ailleurs une propriété caractéristique des ordinaux transfinis > ω. Un élément deEayant un prédécesseur est dit depremière espèce(ousuccesseur), et dedeuxième espèce(oulimite) sinon, et s'il n'est pas le plus petit élément deE.Cette distinction est souvent utile pour raisonner parrécurrence transfinie.

Segment initial

Unsegment initiald'un ensemble ordonné (E,≤) est une partieSdeEtelle que toutminorantd'un élément deSest dans S. L'ensembleElui-même est un segment initial de (E,≤), et tous les autres sont ditspropres.

Pourx∈E,l'ensembleS_x:= {y∈E|y<x} est toujours un segment initial propre deE,et l'applicationx↦S_xest croissante de (E,≤) dans (P(E),⊂).

Si (E,≤) est un bon ordre, tout segment initial propreSest égal àS_x,oùxest le plus petit élément ducomplémentairedeS.L'applicationx↦S_xest alorsbijectivedeEdans l'ensemble de ses segments initiaux propres.

Un ensemble bien ordonné n'est jamais isomorphe à l'un de ses segments initiaux propres^[2].

Comparaison de bons ordres et ordinaux

Les bons ordres peuvent être comparés par morphisme; unmorphisme d'ordresest une application croissante. Unisomorphismede bons ordres est donc une application croissante bijective,la réciproque étant alors également croissante(car un bon ordre est total). Par exemple l'applicationx↦S_xdu paragraphe précédent définit un isomorphisme entre un ensemble bien ordonné et l'ensemble de ses segments initiaux propres.

Si deux bons ordres sont isomorphes, l'isomorphisme entre eux est unique^[3].

Les isomorphismes d'ordres permettent de classer les bons ordres, grâce à une propriété fondamentale (démontrée parGeorg Cantor):

Théorème.—Étant donnés deux bons ordres, l'un est isomorphe à un segment initial de l'autre.

Par exemple on montre que toutensemble infinibien ordonné a un segment initial isomorphe à ω (l'ordre usuel sur ℕ), par le théorème dedéfinition par récurrencesur ℕ.

Le théorème se déduit facilement duthéorème de définition par récurrence sur un bon ordre^[4].Plus directement^[5]:soient $(E,\leq )$ et $(F,\leq )$ deux bons ordres, dans lesquels les segments initiaux propres sont notés respectivement $S_{e}$ et $T_{f}$ ;alors, l'ensemble des couples $(e,f)\in E\times F$ tels que $S_{e}$ est isomorphe à $T_{f}$ est le graphe d'un isomorphisme entre deux segments initiaux, $S\subset E$ et $T\subset F$ ,qui ne peuvent pas être tous deux propres.

Cette propriété exprime essentiellement qu'à isomorphisme près, la comparaison par segment initial ordonne totalement les bons ordres. On peut préciser en se restreignant à tous les bons ordres que l'on peut définir sur un ensemble donnéE;alors, l'ensemble des classes d'isomorphie (classe d'équivalencepour la relation d'isomorphisme) de ces bons ordres est totalement ordonné par la relation « être isomorphe à un segment initial », et même bien ordonné comme on le déduit de la caractérisation des segments initiaux des bons ordres (c'est une construction de l'ordinal de Hartogsassocié à l'ensembleE).

On appelleordinalun bon ordre vu à isomorphisme près. Enthéorie des ensemblesla définition des classes d'isomorphie comme classe d'équivalences se heurte aux paradoxes usuels, ces classes ne pouvant être des ensembles. Une solution est de pouvoir définir de façon uniforme un représentant par classe: c'est laconstruction des ordinauxdue àvon Neumann(elle consiste à définir un ordinal comme l'ensemble de ses segments initiaux propres).

Cette construction se fait dans lathéorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel,elle demande impérativement leschéma d'axiomes de remplacement.La théorie des ensembles de Zermelo (sans ce schéma d'axiomes) ne permet pas de montrer l'existence de l'ordinal de von Neumannω + ω(ni ceux au-delà), alors qu'un bon ordre detypeω + ω se définit facilement par somme dans cette théorie.

Théorème (ZF).—Tout ensemble bien ordonné est isomorphe à un et un seulordinal de von Neumann^[6].

Bon ordre fini

Article détaillé:Ensemble fini#Les entiers et les bons ordres.

Dans un ensemble bien ordonné fini, toute partie non vide pos sắc de également un plus grand élément, c'est-à-dire que l'ordre opposéest également un bon ordre. Cette propriété est caractéristique des bons ordres finis. En théorie des ensembles, elle peut fournir une définition:

des entiers naturels, qui sont alors lesordinaux finis(en ce sens);
des ensembles finis, c'est-à-direen bijection avecun entier naturel, qui sont alors les ensembles que l'on peut munir d'un bon ordre fini.

Cas des ensembles partiellement ordonnés

On peut également définir la notion de bon ordre sur desensembles partiellement ordonnésmais, la relation d'ordre n'étant pas totale, on ne parlera pas de plus petit élément mais d'élément minimal.Un ensemble partiellement bien ordonnée est donc un ensemble ordonné dont l'ordre estbien fondé

Définition^[7].—Un ensemble partiellement ordonné est partiellement bien ordonné lorsque toutes ses parties non vides pos sắc dent au moins un élément minimal.

On trouve également cette définition équivalente:

Définition (bis)^[8].—Un ensemble partiellement ordonné est partiellement bien ordonné lorsque tous ses sous-ensembles totalement ordonnés sont bien ordonnés.

Démonstration de l'équivalence

Étape 1:Si toute partie non vide pos sắc de au moins un élément minimal alors toute partie totalement ordonnée est bien ordonnée.

Soit E un ensemble partiellement ordonné et F une partie totalement ordonnée de E. Soit A une partie non vide de F, alors A pos sắc de un élément minimal. Comme A est inclus dans F totalement ordonné, cet élément minimal est un minimum de A dans F. Donc, F est bien ordonné.

Étape 2:Si toute partie totalement ordonnée est bien ordonnée alors toute partie non vide pos sắc de au moins un élément minimal.

Soit E un ensemble partiellement ordonné et A une partie non vide de E. Supposons que A ne pos sắc de pas d'élément minimal. Alors pour tout a de A il existerait a' dans A tel que a > a'. Il serait alors possible de créer dans A une suite totalement ordonnée sans élément minimal

a>a_{1}>a_{2}>\cdots

.Ce qui serait en contradiction avec le fait que toute partie totalement ordonnée de E doit être bien ordonné.

Notes et références

↑^aetbPaulHalmos,Introduction à la théorie des ensembles[détail des éditions],p. 82 de l'édition en anglais,aperçusurGoogle Livres.
↑(en)Kenneth Kunen,Set Theory: An Introduction To Independence Proofs,Elsevier,2014(lire en ligne),p.14-15,lemme 6.1.
↑Kunen 2014,p.15, lemme 6.2.
↑Moschovakis 2006,p.99, théorème 7.31.
↑Kunen 2014,p.15, théorème 6.3.
↑Kunen 2014,p.17, théorème 7.4.
↑Maurice Pouzet, «Sur les chaînes d’un ensemble partiellement bien ordonné»,Publications du Département de Mathématiques de Lyon,vol.16,‎1979,p.21-26(lire en ligne)
↑Georges Kurepa, «Ensembles partiellement ordonnés et ensembles partiellement bien ordonnés»,Publications de l'Institut Mathématique de Serbie,n^o(S.S.) III (03),‎1950,p.119-125(ISSN0350-1302,lire en ligne)

Voir aussi

Bibliographie

(en)Yiannis Moschovakis,Notes on Set Theory[détail des éditions]

Article connexe

Relation bien fondée

Portail des mathématiques

[Halmos82-1] tbPaulHalmos,Introduction à la théorie des ensembles[détail des éditions],p. 82 de l'édition en anglais,aperçusurGoogle Livres.

[2] (en)Kenneth Kunen,Set Theory: An Introduction To Independence Proofs,Elsevier,2014(lire en ligne),p.14-15,lemme 6.1.

[3] Kunen 2014,p.15, lemme 6.2.

[4] Moschovakis 2006,p.99, théorème 7.31.

[5] Kunen 2014,p.15, théorème 6.3.

[6] Kunen 2014,p.17, théorème 7.4.

[7] Maurice Pouzet, «Sur les chaînes d’un ensemble partiellement bien ordonné»,Publications du Département de Mathématiques de Lyon,vol.16,‎1979,p.21-26(lire en ligne)

[8] Georges Kurepa, «Ensembles partiellement ordonnés et ensembles partiellement bien ordonnés»,Publications de l'Institut Mathématique de Serbie,n^o(S.S.) III (03),‎1950,p.119-125(ISSN0350-1302,lire en ligne)

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