Compacité séquentielle

Enmathématiques,un espaceséquentiellement compactest unespace topologiquedans lequel toutesuitepos sắc de au moins unesous-suiteconvergente.La notion decompacité séquentielleentretient des rapports étroits avec celles dequasi-compacitéetcompacitéet celle decompacité dénombrable.Pour unespace métrique(notamment pour unespace vectoriel normé), ces quatre notions sont équivalentes.

Intuitivement, un ensemble compact est « petit » et « fermé », au sens où l'on ne peut « s'en échapper ». Si l'on forme une suite de points de cet ensemble, ses éléments ne peuvent pas beaucoup s'éloigner les uns des autres et se concentrent sur certaines valeurs. Cet article propose une approche de la compacité dans le cadre restreint des espaces métriques, où elle est équivalente à la compacité séquentielle.

Comparaison avec la compacité

Un espace est dit compact s'il estséparéetquasi-compact.Or la définition usuelle de la quasi-compacité est équivalente à la suivante, qui correspond mot pour mot à celle de la compacité séquentielle, à une différence près: on remplace les suites par dessuites généralisées:

Un espace quasi compact est un espace topologique dans lequel toute suitegénéraliséepos sắc de au moins une sous-suitegénéraliséeconvergente.

Quelques contre-exemplessuffisent à se convaincre que cet ajout du mot « généralisée » est très important. Les plus connus sont:

• lepremier ordinal non dénombrable[0, ω₁[ (muni de latopologie de l'ordre) et lalongue droite,séquentiellement compacts et séparés mais non compacts;
• l'espace produit {0, 1}^ℝet lecompactifié de Stone-Čechβℕ deℕ,compacts mais non séquentiellement compacts (donc nonséquentiels). (En outre, ces deux compacts sontséparableset pourtant « très gros »: ils ont mêmecardinal2^ℭque l'ensemble des partiesdeℝ.)

Il existe cependant des liens entre ces deux notions via celle, multiforme, de compacité dénombrable (parfois sous certaines hypothèses, toujours vérifiées lorsque l'espace estmétrisable): voir l'article détaillé.

Par ailleurs, tout compact « assez petit » est séquentiellement compact. Sous l'hypothèse du continu,ce « assez petit » se traduit par: « ayant au plus autant d'éléments que ℝ ». Plus précisément (et sans l'hypothèse du continu):Tout quasi-compact de cardinal inférieur ou égal àℵ₁est séquentiellement compact.

Propriétés

• Tout espace fini ou, plus généralement, toutsous-espaceréunion finie departiesséquentiellement compactes d'un même espace, est clairement séquentiellement compact.
• Toutespace à bases dénombrables de voisinagesqui estω-borné(en)(c'est-à-dire dans lequel l'adhérencede toutepartiedénombrableest quasi-compacte) est séquentiellement compact.
• Dans un espace séparé, de même quetoute partie compacte est fermée,toute partieKséquentiellement compacte estséquentiellement fermée,c'est-à-dire stable par limitesde suites(toute suite de points deKqui converge a sa limite dansK), mais pas nécessairementfermée:par exemple[0, ω₁[n'est pas fermé dans [0, ω₁].
• Toute partie séquentiellement fermée (et a fortiori toute partie fermée) d'un espace séquentiellement compact est séquentiellement compacte, de même quetout fermé d'un (quasi-)compact est (quasi-)compact.
• De même quel'intersection de toute suite décroissante de compacts non vides,l'intersection de toute suite décroissante de parties séquentiellement compactesF_nnon vides est non vide. En effet, choisissons pour toutnun élémentu_ndeF_n.La suite(u_n)admet une sous-suite convergente dansF₀.Pour toutn,la sous-suite est à valeurs dansF_nà partir d'un certain rang et comme cet ensemble est séquentiellement fermé, il contient la limite.
• De même que la quasi-compacité,la compacité séquentielle est préservée par images continues.

Démonstration

Soientfune application continue (ou même seulementséquentiellement continue) sur un espace séquentiellement compactKet (y_n) une suite de points def(K), avecy_n= f(x_n), alors la suite (x_n) admet une sous-suite convergeant vers un élémentXdeK.Par continuité, la suite des images converge versf(X) qui appartient àf(K).

• La compacité séquentielle est préservée parproduitsau plusdénombrables(alors quela quasi-compacité l'est par produits quelconques). Pour toutcardinalκ supérieur ou égal à lapuissance du continuℭ (lecardinalde ℝ, ou de l'ensemble des parties de ℕ), le compact{0, 1}^κ— produit de κ copies de l'espace discret{0, 1} — n'est pas séquentiellement compact.

Démonstration etcontre-exemple

• SoitXle produit d'une suite (Xⁱ)_i∈ℕd'espaces séquentiellement compacts et soit (x_j)_j∈ℕune suite d'éléments deX(une suite de suites). À partir den₀(j) =j,on construit par récurrence une suite d'extractricesn_p,chacune extraite de la précédente et telle que dansX^p,la suite$(x_{n_{p+1}(j)}^{p})_{j\in \mathbb {N} }$converge vers un certainx^p(pour extraire den_pune sous-suiten_p+1vérifiant cette condition, on utilise la compacité séquentielle deX^p), puis on pose (pour tout entier naturelp) φ(p) =n_p(p) (dans le cas d'un produit finiX₀×…×X_m–1,il n'est pas nécessaire d'appliquer ceprocédé diagonal:on peut prendre simplement φ =n_m). Cette extractrice φ donne alors une suite extraite de (x_j)_j∈ℕqui converge par construction vers l'élément (x^p)_p∈ℕdeX,ce qui achève la preuve.
• SoitS= {0, 1}^ℕl'ensemble des suites à valeurs dans {0, 1}. Le compactT= {0, 1}^Sn'est pas séquentiellement compact. En effet,Ts'identifie à l'ensemble, muni de la topologie de laconvergence simple,des applications deSdans {0, 1}, or on peut construire une suite (f_n)_n∈ℕde telles applications dont aucune sous-suite (f_φ(j)) n'a de limite. Il suffit pour cela de définirf_npar:f_n(s) =s_npour touts.Pour toute extractrice φ, considérons l'élémentsdeStel ques_n= 1sin= φ(j) pour un entierjpair ets_n= 0 pour toutes les autres valeurs den.Alors, la suite desf_φ(j)(s) =s_φ(j)vaut alternativement 1 et 0 donc n'a pas de limite, ce qui prouve que la sous-suite (f_φ(j)) de (f_n)_n∈ℕn'a pas de limite dansT.

Partie relativement séquentiellement compacte

Une partieAd'un espace topologiqueXest dite relativement séquentiellement compacte si toute suite à valeurs dansApos sắc de au moins une sous-suite qui converge dansX.Cette notion est à rapprocher de celles decompacité relativeet decompacité dénombrable relativemais l'adhérenced'une partie relativement séquentiellement compacteou même d'une partie séquentiellement compacten'est pas nécessairement séquentiellement compacte.

Espaces métriques compacts

De très nombreux problèmes detopologieet d'analyse fonctionnellese posent dans le cadre desespaces vectorielsnormés dedimensionquelconque, ou plus généralement des espaces métriques. L'outil principal est alors la notion desuite convergente.Dans le cas où l'on dispose d'une distance sur l'espace, on peut tirer de la compacité de nombreuses informations et l'on peut la caractériser à l'aide du théorème fondamental suivant.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Théorème deBolzano-Weierstrass—Un espace métrique est compact si et seulement s’il est séquentiellement compact.

Fermés bornés

Dans un espace métrique:

• les parties fermées sont lesparties séquentiellement fermées;
• une partie est ditebornéesi elle est incluse dans uneboule;
• les boules fermées constituent des exemples simples de fermés bornés, mais d'autres ne sont pas « en un seul morceau » (voirconnexitépour la formalisation de cette notion). Ainsi la réunion de deux boules fermées est encore un fermé borné, ou également l'ensemble de Cantor;
• Toute partie séquentiellement compacte est fermée (d'après une despropriétés vues plus haut) et bornéemaisla réciproque est fausse, même dans un espace vectoriel normé.

Cette réciproque est cependant vraie lorsque l'espace métrique est la droite réelle, le plan usuel, ou plus généralement un espace vectoriel réelde dimension finiemuni d'unenorme:

Théorème deBorel-Lebesgue—Dans ℝⁿ,les compacts sont les fermés bornés.

L'article «Théorème de Borel-Lebesgue» en donne une démonstration à partir de la notion de compacité mais on peut aussi en donner une à partir de celle,équivalente ici,de compacité séquentielle:

Démonstration par compacité séquentielle

On sait déjà que dans un espace métrique, tout séquentiellement compact est fermé borné. Dans ℝⁿ,réciproquement, siKest une partie fermée bornée, alors c'est un fermé d'un cube[–M,M]ⁿpourMassez grand. De par laforme faible du « théorème de Bolzano-Weierstrass » dans ℝ(toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente), [–M,M] est séquentiellement compactdonc son produit (le cube) aussi.CommeKest séquentiellement fermé dans ce cube,il hérite de cette compacité séquentielle.

Un espace métrique est ditpropresi toutes ses boules fermées sont compactes ou, ce qui revient au même, si ses compacts sont ses fermés bornés. Le théorème précédent est optimal au sens suivant:

Théorème de compacité deRiesz—Un espace vectoriel normé réelest propre (si et) seulement s'il est de dimension finie.

La partie « si » se ramène, paréquivalence des normes,à la caractérisation des compacts de ℝⁿ,fournie par le théorème de Borel-Lebesgue.

La partie « seulement si » est lethéorème de compacité de Rieszproprement dit et se démontre en utilisant à nouveau, entre autres, lethéorème de Bolzano-Weierstrass.

Limitations de taille

Un espace métriqueXest ditprécompactsi toute suite dansXpos sắc de une sous-suite de Cauchy.Il est donc immédiat queXest séquentiellement compact si et seulement s’il est précompact etcomplet.

Par conséquent, tout espace métrisable (séquentiellement) compact esthoméomorpheà un fermé ducube de Hilbert[0, 1]^ℕ(puisquetout métrique précompact est séparableet tout espace métrisable séparable est homéomorphe à un sous-espace de [0, 1]^ℕ). En particulier, il a au plus lapuissance du continu.

Voir aussi

Articles connexes

• Introduction authéorème de Banach-Alaogludans l'articleTopologie faible
• Théorème d'Eberlein-Šmulianet caractérisation séquentielle desespaces réflexifs

Lien externe

(en)Ronald Brown,«On sequentially proper maps and a sequential compactification»,J. Lond. Math. Soc.,vol.7,n^o2,‎1973,p.515-522(lire en ligne)