Courbe

Enmathématiques,plus précisément engéométrie,unecourbe,ouligne courbe,est un objet duplanou de l'espace usuel,similaire à unedroitemais non nécessairementlinéaire.Par exemple, lescercles,lesdroites,lessegmentset leslignes polygonalessont des courbes.

La notion générale de courbe se décline en plusieurs objets mathématiques ayant des définitions assez proches:arcs paramétrés,lignes de niveau,sous-variétésdedimension1.Schématiquement, ces différents modes d'introduction donnent des éclairages complémentaires sur la notion générale de courbe:

une courbe peut être décrite par unpointqui se meut suivant uneloidéterminée. La donnée d'une valeur du paramètre temps permet alors de repérer un point sur la courbe. Intuitivement, cela signifie que les courbes sont des objets dedimension 1;
une courbe peut être vue comme un domaine du plan ou de l'espace qui vérifie un nombre suffisant de conditions, lui conférant encore un caractère unidimensionnel.

Ainsi, unecourbe planepeut être représentée dans unrepère cartésienpar la donnée de lois décrivantabscisse et ordonnéeen fonction du paramètre (équation paramétrique):

{\begin{cases}x=\xi (t)\\y=\eta (t)\end{cases}}

;dans le cas d'une courberégulière,on peut déterminer alors un paramétrage adapté (pour lequel le vecteur vitesse est unitaire), l’abscisse curviligne,qui permet également de définir lalongueur;la courbe peut aussi être représentée par la donnée d'uneéquation cartésienne,ou implicite:

F (x, y) = 0

.

Première approche des invariants associés aux courbes[modifier|modifier le code]

Lagéométrie différentiellea pour objectif d'associer aux courbes des objets mathématiques permettant de décrire le mouvement. Les plus intéressants sont ceux qui sont attachés à la courbe, indépendamment de la façon dont elle est parcourue: on définit notamment lalongueur d'un arcde courbe, et les concepts detangenteà la courbe, decourbure.

Tangente à la courbe[modifier|modifier le code]

On commence par définir ladroite sécanteentre deux pointsMetNde la courbe: c'est la droite qui les relie. LatangenteenMpeut alors être définie comme la position limite de la sécante lorsque le pointNtend versM.

LatangenteenMest également la droite « la plus proche possible » de la courbe au voisinage deM.C'est ce qui explique la proximité entre la notion géométrique de tangente à une courbe, et dedérivéed'une fonction, ou encore dedéveloppement limitéà l'ordre 1 d'une fonction.

La courbe reste très souvent d'un seul côté de sa tangente, au moins au voisinage du pointM.Cependant, en certains points particuliers, appeléspoints d'inflexionelle traverse sa tangente.

Cercle osculateur et courbure[modifier|modifier le code]

On peut également définir lecercle osculateurde la courbe au pointPcomme le cercle « le plus proche possible » deP,au voisinage deP.On peut montrer que ce cercle embrasse mieux la courbe que ne le fait la tangente, d'où le mot osculateur (dont l'étymologie est « petite bouche »). Mais pour donner un sens précis à cette affirmation il faut introduire la notion decontact.

Le centre du cercle osculateur est appelécentre de courbureet son rayon lerayon de courbure.Lacourbureest, par définition, l'inverse du rayon de courbure. La courbure au pointPest d'autant plus forte que la courbe effectue enPun virage serré.

Torsion d'une courbe gauche et généralisation[modifier|modifier le code]

La tangente décrit bien le comportement de la courbe aupremier ordre:la tendance globale de la courbe est d'avancer dans la direction de sa tangente. Le cercle osculateur et la courbure donnent un comportement de deuxième ordre, venant préciser l'information précédente, en donnant la tendance à tourner d'un côté ou de l'autre de la tangente.

Pour les courbes de l'espace à trois dimensions, il est possible d'aller plus loin. La courbe, à l'ordre deux, a tendance à avancer en tournant en restant dans le plan contenant lecercle osculateur(appeléplan osculateur). Une correction, d'ordre 3, vient s'ajouter, qui correspond à une tendance à s'écarter du plan osculateur. L'invariant correspondant est latorsionde la courbe. La torsion est donc ce qui fait que la courbe est non plane.

Il serait possible de poursuivre plus avant avec des courbes dans des espaces de dimension supérieure à trois, et une famille d'invariants généralisant courbure et torsion, et qui décrivent la courbe à des ordres d'approximation de plus en plus grands. Enfin, tous ces calculs, pour être réalisés, demandent la vérification d'un certain nombre de conditions derégularitédes fonctions, et l'exclusion de points ayant un comportement exceptionnel.

Modes de définition d'une courbe plane[modifier|modifier le code]

Il existe pour lescourbes planesplusieurs modes d'introduction traditionnels. On se place ici dans leplande la géométrie, muni d'un repère orthonormé $(O,{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})$ .On fait l'hypothèse générale que les fonctions qui apparaissent sontdérivables.La raison de cette limitation apparaîtra un peu plus bas.

Équation paramétrique[modifier|modifier le code]

Une courbe définie par une équation paramétrique est le lieu des points $M (x, y)$ ,où $x$ et $y$ sont des fonctions d'un paramètre $t$ prenant ses valeurs dans une partie de $\mathbb {R}$

{\overrightarrow {OM}}=x(t){\vec {\imath }}+y(t){\vec {\jmath }}.

En un point où le vecteurdérivé

{\overrightarrow {OM}}'={\frac {{\rm {d}}{\overrightarrow {OM}}}{{\rm {d}}t}}=x'(t){\vec {\imath }}+y'(t){\vec {\jmath }}

est non nul, il y a une tangente à la courbe, dirigée par ce vecteur.

L'interprétation cinématique classique est de considérer le paramètre $t$ comme letemps,le vecteur dérivé est alors le vecteurvitesse.

Il convient alors de distinguer:

la courbe, qui est souvent appelée trajectoire, et qui est un sous-ensemble du plan;
l'arc paramétré proprement dit qui est la courbe munie de sa « loi de temps », c'est-à-dire le couple de fonctions $x (t), y (t)$ .

Remarque:La représentation graphique d'une fonction $y = f (x)$ peut être vue comme un cas particulier de courbe paramétrée: en prenant comme paramètre l'abscisse elle-même ( $t = x$ ), on a $x (t) = t, y (t) = f (t)$ .

Équation polaire[modifier|modifier le code]

On utilise pour ce type de courbe lescoordonnées polaires.La courbe est alors définie par une fonction $\rho (\theta )\,$ et ses points ont pour coordonnées polaires $(\theta,\rho (\theta ))\,$ .

On peut facilement se ramener à une courbe paramétrée, d'équations polaires $x=\rho (\theta )\cos \theta,y=\rho (\theta )\sin \theta \,$ .Mais les mathématiciens traitent ces courbes par des méthodes adaptées, en introduisant en premier lieu la notion derepère mobile.

Équation cartésienne[modifier|modifier le code]

Article détaillé:Courbe implicite.

Étant donné une fonction $f$ de $x$ et de $y$ ,on appelle courbe d'équation cartésienne $f (x, y) = C$ l'ensemble des points $M (x, y)$ dont les coordonnées vérifient cette équation.

On parle aussi pour cet ensemble de laligne de niveau $C$ de la fonction $f$ .Si la fonction $f$ représente une altitude, on retrouve le concept familier decourbe de niveaud'une carte de géographie.

Par exemple la ligne de niveau $R > 0$ pour la fonction $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ est lecerclede centre $O$ et de rayon $R$ .

Lethéorème des fonctions implicitespermet de trouver l'équation de latangenteà cette courbe en un point donné. Précisément, un point $M (x, y)$ appartenant à la courbe est dit régulier quand legradientde $f$ est non nul en ce point. Et dans ce cas, la tangente estorthogonaleau vecteur gradient.

Équation intrin sắc que[modifier|modifier le code]

Il s'agit de décrire une courbe par une équation reliant exclusivement lesinvariantseuclidiens:abscisse curviligne,rayon de courbure(ou courbure), rayon de torsion (ou torsion). Pour lescourbes planes,l'invariant de torsion n'intervient pas. À la différence des systèmes précédents, de telles équations déterminent par nature les courbes indépendamment de leur orientation dans l'espace: les courbes sont donc définies à undéplacementprès. Les équations les plus simples déterminent en général des courbes de type spirale.

Exemples:

$s$ désignant l’abscisse curviligneet $R$ lerayon de courbure:

$R^{2}+s^{2}=16a^{2}$ ( $a$ donné) détermine unecycloïde;
$R\times s=a^{2}$ ( $a$ donné) détermine uneclothoïde;
$R=a\times s$ ( $a$ donné) détermine unespirale logarithmique.

Définition des courbes gauches[modifier|modifier le code]

On se place cette fois dans l'espace à trois dimensions usuel, muni d'un repère orthonormé $(O,{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$ .

Équation paramétrique[modifier|modifier le code]

L'équation paramétrique prend cette fois la forme

{\overrightarrow {OM}}=x(t){\vec {\imath }}+y(t){\vec {\jmath }}+z(t){\vec {k}}.

Le principe du calcul de la tangente est le même: en un point où le vecteurdérivé

{\overrightarrow {OM}}'={\frac {{\rm {d}}{\vec {OM}}}{{\rm {d}}t}}=x'(t){\vec {\imath }}+y'(t){\vec {\jmath }}+z'(t){\vec {k}}

est non nul, il y a une tangente à la courbe, dirigée par ce vecteur.

Équations cartésiennes[modifier|modifier le code]

Une équation de la forme $F (x, y, z) = C$ définit un ensemble appelé surface de niveau de la fonction $F$ .Souscertaines conditions,l'intersection de deux surfaces de niveau définit une courbe et permet le calcul de sa tangente.

Voici le détail de ces conditions pour l'intersection

{\begin{cases}F(x,y,z)=C\\G(x,y,z)=D.\end{cases}}

Si les fonctions $F$ etGsontdifférentiableset que les vecteurs gradients de $F$ etGen un pointMde l'intersection sont des vecteurs indépendants, alors la courbe d'intersection pos sắc de une tangente dirigée par le vecteur

{\vec {T}}={\vec {\nabla }}F\wedge {\vec {\nabla }}G.

Avec lesconiques,on a un exemple très classique d'introduction des courbes par intersection de surfaces: ce sont les courbes obtenues par intersection d'uncône de révolutionet d'un plan.

Équation intrin sắc que[modifier|modifier le code]

Le principe est le même que pour les courbes planes, mais l'invariant de torsion peut intervenir. Par exemple,Rlerayon de courbureetTle rayon de torsion, $R=a$ et $T=b$ (a, bdonnés) déterminent unehélice circulaire.

Considérations topologiques[modifier|modifier le code]

Lorsqu'on relâche l'exigence de dérivabilité des fonctions définissant les courbes, la situation peut singulièrement se compliquer.

Un exemple surprenant: la courbe de Peano[modifier|modifier le code]

Les trois premières étapes de la construction de lacourbe de Peano.

En1890,Peanodécouvrit une« courbe » aux propriétés étranges:

elle est définie par une application continue de [0, 1] dans le plan;
sa trajectoire est l'ensemble des points du carré [0, 1]×[0, 1].

L'illustration représente les premières étapes de la construction de cette courbe, qu'on range aujourd'hui dans la catégorie desfractales.

Avec cet exemple, ou en considérant d'autres constructions de courbesfractalestelles que leflocon de Kochou lacourbe du dragon,la notion de dimension semble perdre de sa pertinence. Il est possible en effet que l'image du segment [0,1] par une application continue ait unedimension de Hausdorffstrictement supérieure à 1, ou même unemesure de Lebesguedifférente de 0.

Théorème de Jordan[modifier|modifier le code]

Même dans le cadre très général des courbes continues, un résultat detopologieà l'énoncé apparemment élémentaire reste vérifié: une boucle délimite un intérieur et un extérieur.

Dit en termes moins vagues, si une courbe continue $f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ estfermée(les deux extrémités coïncident) et simple (la fonction est injective sur $[a, b [$ ,c'est-à-dire la courbe ne se recoupe pas elle-même) alors elle sépare le plan en deuxcomposantes connexes,l'une bornée (l'intérieur), l'autre non bornée (l'extérieur). De plus la courbe est lafrontière(au sens topologique) de chacune de ces deux parties.

Ce théorèmene connut une démonstration que tardivement (en 1905, parOswald Veblen) après plusieurs tentatives incomplètes. Il convient de noter que la courbe de Peano n'est pas une courbe simple, même si les fonctions obtenues à chaque étape de sa construction le sont.

Plongement, nœud[modifier|modifier le code]

Article détaillé:Nœud (mathématiques).

Soit $I$ un intervalle. L'application $f:I\to \mathbb {R} ^{3}$ est appeléeplongementlorsqu'elle réalise unhoméomorphismede $I$ sur son image $f (I)$ .De même on parle de courbe fermée plongée pour une application $f:{\mathbb {S} }^{1}\to \mathbb {R} ^{3}$ définie sur lecercle unitéet qui constitue un homéomorphisme sur son image.

Il est possible de plonger le cercle de plusieurs façons, non équivalentes, dans l'espace de dimension trois. La classification des plongements possibles constitue lathéorie des nœuds.

Courbes algébriques[modifier|modifier le code]

Article détaillé:Courbe algébrique.

Une courbe du plan est dite algébrique si son équation cartésienne est polynomiale. Le plus grand degré (somme des degrés en $x$ et en $y$ ) de l'équation cartésienne est appelé le degré de la courbe. Par exemple, la courbe ci-contre a pour équation cartésienne $x^{2}y^{4}+x^{4}+2y^{4}-3x^{2}=1$ ,le premier terme est de degré 2 + 4 = 6, et tous les autres termes sont de degré inférieur à 6. C'est donc une courbe de degré 6, ousextique.

Selon son degré, une courbe algébrique du plan est:

unedroitesi elle est de degré 1;
uneconiquesi elle est de degré 2;
unecourbe cubiquesi elle est de degré 3;
unequartiquesi elle est de degré 4;
unequintiquesi elle est de degré 5;
etc.

Une courbe algébrique sur le corps des complexes est unesurface de Riemann;dans ce cas,elle est topologiquement équivalente à untoreà $g$ trous; l’entier $g$ est appelé legenre (mathématiques)de la courbe. Le genre dépend du degré et des points singuliers de la courbe. Par exemple, unecourbe elliptique(qui est une cubique sans singularité) de $\mathbb {C} ^{2}$ est de genre 1, mais une cubique admettant un point singulier est de genre 0.

Lorsqu'elle estunicursale,une courbe algébrique admet une représentation paramétrique.

Dans l'espace, une équation cartésienne polynomiale en $x$ , $y$ et $z$ décrit unesurface algébrique.Une courbe algébrique de l'espace est alors définie comme une intersection desurfaces algébriques.Par exemple, l'intersection de deuxquadriquesest en général formée de deuxconiquesdisjointes. L'étude de ces objets, et donc en particulier des courbes algébriques, est lagéométrie algébrique.

Courbe transcendante[modifier|modifier le code]

Une courbe transcendante est une courbe dont l'équation cartésienne ne peut être représentée par une équation polynomiale finie.

Dans ce cas, l'équation cartésienne de la courbe, quand elle peut être écrite, comporte des suites infinies et/ou des intégrales et/ou d'autres fonctions transcendantes.

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