Entier de Gauss

Carl Friedrich Gauss.

Enmathématiques,et plus précisément, enthéorie algébrique des nombres,unentier deGaussest unnombre complexedont lapartie réelleet lapartie imaginairesont desentiers relatifs.Il s'agit formellement d'un élément de l'anneau des entiers quadratiquesde l'extension quadratiquedesrationnels de Gauss.

L'ensemble des entiers de Gauss pos sắc de une structure forte. Comme tous les ensembles d'entiers algébriques, muni de l'addition et de la multiplication ordinaire des nombres complexes, il forme unanneau intègre,généralement noté${\textstyle \mathbb {Z} [i]}$,$i$désignant ici l'unité imaginaire.Cet ensemble dispose en plus d'unedivision euclidienne,ce qui permet d'y bâtir unearithmétiquetrès analogue à celle des entiers relatifs. De manière plus générale, cet ensemble peut être vu comme un anneau d'entiers quadratiqueset à ce titre est unanneau de Dedekind.

Ils sont largement utilisés en théorie algébrique des nombres et enarithmétique modulaire,par exemple pour l'étude d'équations diophantiennes,en particulier ils fournissent une démonstration élégante duthéorème des deux carrés de Fermat.Leur utilisation a permis àCarl Friedrich Gaussde démontrer laloi de réciprocité quadratique.

Histoire

Ouvrage traitant des entiers de Gauss (1801).

Les entiers de Gauss ont été découverts alors que Gauss recherche une solution à la question des congruences des carrés étudiée dans un premier temps parFermat.Eulerformalise la notion derésidu quadratiqueetconjecturela solution, c'est-à-dire laloi de réciprocité quadratique.Legendrereprend le théorème et propose une preuveincomplète et insuffisante.

À l'âge de 18 ans,Gaussdémontre le théorème. La démonstration est publiéetrois ans plus tard. Il considère cette loi comme le joyau de l'arithmétique, l'appelant même le « théorème d'or ». Pour résoudre cette question, il découvre un ensemble: celui des entiers qui portent maintenant son nom. Ils bénéficient des mêmes propriétésarithmétiquesque lesentiers relatifs.On y trouve ladivision euclidienne,l'équivalent dulemme d'Euclide,de l'identité de Bézout,desnombres premierset duthéorème fondamental de l'arithmétique.À l'aide de cette structure, il redémontre lethéorème des deux carrésconjecturé par Fermat et démontré par Euler et ouvre la voie de l'arithmétique modulaire.

L'utilisation d'une structure comme celle des entiers de Gauss subit des tentatives de généralisation pour s'appliquer à des cubes ou à des puissances quelconques. Elles débouchent dans le cas des cubes (voirentier d'Eisenstein) ou des puissances cinquièmes (voirAnneau des entiers de ℚ(√5)). En 1847Gabriel Laméutilise une méthode d'extension brutale et pense à tort avoir démontré legrand théorème de Fermat.Sa méthode est inopérante car, à la différence des entiers de Gauss, son extension ne dispose pas de la propriété d'unicité du théorème fondamental de l'arithmétique.Kummertrouveune solution qui garantit à nouveau cette unicité. Cette méthode permet de généraliser la loi de réciprocité dans de nombreux cas et prouve le grand théorème de Fermat dans tous les cas compris entre 3 et 100, excepté 37, 59 et 67.

L'étude de ce type de structure est alors largement développée par des mathématiciens commeDedekindouHilbertet prend le nom dethéorie des anneaux.

Définition

Formellement, l'ensemble des entiers de Gauss est l'anneau des entiers algébriques ducorpsdesrationnels de Gauss,c'est-à-dire l'ensemble des rationnels de Gauss dont lepolynôme irréductiblenormalisé est à coefficients entiers.

Il est égal à l'ensemble des nombres complexes qui peuvent être écrits sous la forme

$a+b\mathrm {i} \quad {\rm {avec}}\quad a,b\in \mathbb {Z}.$

Démonstration

• Siaetbsont entiers alorsa+ ibest un entier de Gauss.
  En effet,a+ ibest racine du polynôme unitaire à coefficients entiersX²– 2aX+a²+b².
• Réciproquement, sieest un entier de Gauss alors sa partie réelleaet sa partie imaginairebsont des entiers.
  Sibest nul, le rationnelaest un entier algébrique, donc un entier. Supposons désormaisbnon nul.
  SoitP(X)le polynôme minimal dee:

$P(X)=X^{2}+pX+q\quad {\text{avec}}\quad p,q\in \mathbb {Z} \quad {\text{et}}\quad P(e)=0.$

La résolution de l'équation du second degréà coefficientsréelsfournit les deux égalités:2a= –pet4b²= 4q–p².Ces égalités montrent que les rationnels2aet2bsont entiers et que

$(2a)^{2}+(2b)^{2}=4q.$

Ormodulo 4,tout carré est congru à 0 ou 1. Une somme de deux carrés ne peut donc être divisible par 4 que si chaque carré l'est. Par conséquent, les entiers2aet2bsont pairs, doncaetbsont entiers.

Premières propriétés

Structure d'anneau

Réseau des entiers de Gauss.

L'ensemble des entiers de Gauss muni de l'addition et de la multiplication forme unanneau.

Ses éléments inversibles sont:

$1,-1,\mathrm {i}$et$-\mathrm {i}.$

Cette propriété est générale aux entiers d'uneextension de corps(voirEntier algébrique). Il est néanmoins simple de vérifier ici que l'ensemble est unsous-anneaudu corps des rationnels de Gauss:

$\forall a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in \mathbb {Z} \quad (a_{1}+a_{2}\mathrm {i} )-(b_{1}+b_{2}\mathrm {i} )=(a_{1}-b_{1})+(a_{2}-b_{2})\mathrm {i} \in \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ $\forall a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in \mathbb {Z} \quad (a_{1}+a_{2}\mathrm {i} )(b_{1}+b_{2}\mathrm {i} )=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\mathrm {i} \in \mathbb {Z} [\mathrm {i} ].$

En tant que sous-anneau du corps des rationnels de Gauss, il hérite de certaines propriétés, ainsi l'anneau estintègre.Il est de plus unitaire et donc decaractéristiquenulle.

L'ensemble est en particulier ungroupe abélienpour l'addition, autrement dit un ℤ-module.Ce module bénéficie des propriétés inhérentes aux anneaux d'entiers algébriques: il estlibreet detype fini.Il pos sắc de donc unebase finie,ici labase canoniqueest (1,i).

Norme

Trois entiers de Gauss:1 +i,2 +iet1 + 3i.

Comme tout anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss pos sắc dent unenorme.SiNest cette norme, elle est définie par:

$\forall a_{1},a_{2}\in \mathbb {Z} \quad N(a_{1}+a_{2}\mathrm {i} )=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\,$

ou encore

$\forall z\in \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]\quad N(z)=\left|z\right|^{2}=z{\bar {z}}.~$

La norme est donc lecarrédumoduledu nombre, si bien que tous les nombres de normer²sont sur le cercle de centre l'origine et de rayonr.La figure de droite illustre ce fait: le nombrex,égal à 1 +i,est sur le cercle (de rayon√2) des éléments de norme 2 ety,égal à 2 +i,sur le cercle (de rayon√5) des éléments de norme 5.

La norme telle que définie ici semble incohérente avec celle d'unespace euclidien,uneracine carréeest manquante. Leurs origines sont différentes: les généralisations desnormeseuclidiennes apparaissent comme la racine carrée d'une somme de carrés dans un espace de dimension finie;dans le cas de la théorie des entiers algébriques, la norme apparaît comme une somme de puissancen-ièmes sinest le degré de l'extension^{[Information douteuse]}.Sous le même mot, se cachent deux notions différentes, même si, dans le cas particulier des entiers de Gauss, les formes sont analogues.

La norme est à valeurs entières et toujours positive. Elle est de plus multiplicative.

$\forall x,y\in \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]\quad N(xy)=xy{\overline {xy}}=xy{\bar {x}}{\bar {y}}=x{\bar {x}}y{\bar {y}}=N(x)N(y).~$

Le graphique illustre cette propriété:xde norme 2 etyde norme 5 ont pour produit un entier de Gauss de norme 10.

La norme permet de démontrer simplement quelques résultats, par exemple la recherche des éléments inversibles de l'anneau. Soitxun élément inversible. AlorsN(xx⁻¹) = 1 =N(x)N(x⁻¹)donc la norme de tout élément inversible est égale à 1. Réciproquement sixest de norme 1 alors son conjugué est égal à son inverse doncxest inversible. Legroupe des unitésest composé des éléments ayant une norme égale à 1: les quatre éléments 1, −1,iet −i.

Division euclidienne

Illustration des entiers de Gauss candidats pour le résultat de la division euclidienne deaparb.

La norme pos sắc de une propriété plus importante: elle permet de définir unedivision euclidienne.

Soitaetbdeux entiers de Gauss tels quebsoit non nul, alors il existe uncouple(q,r)d'entiers de Gauss tel que:

$a=bq+r\quad {\text{avec}}\quad N(r)<N(b)$.

Illustrons la division euclidienne par un exemple:

${\begin{aligned}a&=-36+242\mathrm {i} \\b&=50+50\mathrm {i} \\{\frac {a}{b}}&={\frac {103}{50}}+{\frac {139}{50}}\mathrm {i} \end{aligned}}$

L'objectif est de trouver un entier de Gaussqproche dea/b.Par proche on entend que le reste de la division soit de norme plus petite que la norme deb.Une autre manière d'exprimer la division euclidienne est de dire que la distance entrea/betqest strictement inférieure à 1.

Dans l'illustration, le carré contenanta/best mis en valeur par un fond rouge. Les quatre sommets du carré sont alors candidats à être solution de la division euclidienne. Chaque sommet est le centre d'un cercle de rayon un, dont l'intersection du disque intérieur avec le carré rouge indique la zone où la division est possible. On remarque que tout point du carré est couvert par au moins un cercle. Plus précisément les points près du centre sont couverts par quatre cercles, une zone près de chaque sommet est couverte par trois cercles, le reste du carré, autour des côtés, par deux cercles à l'exception des sommets, couverts par un unique cercle.

En conclusion, la division euclidienne admet toujours de une à quatre solutions, la solution est unique si et seulement sia/best un entier de Gauss. Dans notre exemple, les trois solutions acceptables sont:

$s_{1}=2+3\mathrm {i} \quad s_{2}=2+2\mathrm {i} \quad s_{3}=3+3\mathrm {i}$.

L'unicité de la solution n'est pas si importante, les entiers de Gauss forment un anneau euclidien.

Démonstration

Il suffit (cf.fin du§ « Définitions » de l'article détaillé) de vérifier le critère général suivant: pour tout élémentζdeℚ(i),il existe au moins un entier de Gauss θ tel queN(ζ–θ) < 1(θn'est unique que siζest un entier de Gauss).

Pour tous réelsx,ymajorés en valeur absolue par 1/2,x²+y²< 1.Donc siζ=a+biavecaetbrationnels, en choisissant des entierscetdtels que|a–c| ≤ 1/2et|b–d| ≤ 1/2puis en posantθ=c+di,on a bien|N(ζ–θ)| < 1.

Arithmétique

La division euclidienne pos sắc de des propriétés fortes. Elle permet de construire une arithmétique complète. On parle alors d'anneau euclidien.Cette arithmétique est semblable à celle desentiers.

Anneau principal

Unanneau principalest unanneau commutatifdont tous lesidéauxsont principaux. L'anneau des entiers de Gauss est principal. Cette propriété est vraie pour tout anneau euclidien.

Pour s'en rendre compte il suffit de considérer un idéalIquelconque et un élémentxdifférent de 0, de plus petite norme dansI.Siyest un élément quelconque de l'idéal, la division deyparxmontre que le reste, élément de l'idéal pos sắc de une norme plus petite quex,donc est nul.

Identité de Bézout

Commedans tout anneau principal, l'identité de Bézout est vérifiéedans l'anneau des entiers de Gauss. Elle s'exprime de la manière suivante:

Soit l'équationax+by=coùa,betcsont des entiers de Gauss. Alors il existe unPGCDddeaetb,et cette équation admet des solutions dans l'anneau des entiers de Gauss si, et seulement si,cest un multiple ded.

Lemme de Gauss

Lelemme de Gaussindique que:

Si un entier de Gaussadivise un produit d'entiers de Gaussbcet sian'a de diviseurs en commun avecbque deséléments inversibles,alorsadivisec.

La démonstration est la copie exacte du cas des entiers relatifs. Cette propriété est vraie pour tous les anneaux principaux.

Gauss est le premier mathématicien ayant saisi la portée de ce lemme. Il garantit l'unicité de ladécomposition en facteurs premiers.Ce lemme rend possible l'arithmétique telle que nous la connaissons dans ℤ. C'est la raison pour laquelle il prend le nom delemme de Gauss,alors qu'il était déjà connu depuis plus de deux mille ans.

Théorème fondamental de l'arithmétique

Des nombres premiers de Gauss de « petite » norme.

Lethéorème fondamental de l'arithmétiques'énonce encore exactement comme dans le cas des entiers relatifs:

Chaque entier de Gauss peut être écrit comme un produit de nombres premiers de Gauss aux éléments inversibles près d'une unique façon.

Un «nombre premier de Gauss» est un entier de Gauss qui n'admet comme diviseurs que les produits de lui-même ou de 1 par une unité et qui n'est pas une unité. Par exemple,5 = (2 + i)(2 – i),bien quenombre premierau sens usuel du terme, n'est pas un nombre premier de Gauss. L'expression « aux éléments inversibles près » signifie qu'une décomposition dans laquelle chaque facteur irréductible est remplacé par son produit par un inversible, comme5 = (1 – 2i)(1 + 2i),n'est pas considérée comme une décomposition différente.

Une fois encore la démonstration est la copie exacte du cas des entiers relatifs, et la propriété est vraie pour tous les anneaux principaux. Cette propriété dépasse le cas des anneaux principaux, par exemple l'anneau despolynômessur ℤ vérifie cette propriété mais n'est pas principal. Un tel anneau s'appelle unanneau factoriel.

Un anneau satisfaisant ce théorèmedispose alors des notions de PPCM et PGCDet le passage auquotientdonne accès à unearithmétique modulairede même nature que celle des entiers relatifs.

La connaissance fine de cette arithmétique suppose une capacité à caractériser les nombres premiers de Gauss.

Voir aussi

Liens externes

• Entier de GaussVincent Lefèvre
• (en)Applet de factorisation des entiers de Gauss
• Bas Edixhovenet Laurent Moret-Bailly, «Théorie algébrique des nombres», suruniversité de Rennes 1,cours demaîtrisede mathématiques,2004

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes:

  • Britannica
  • Larousse

Bibliographie

• SergeLang,Algèbre[détail des éditions].
• PierreSamuel,Théorie algébrique des nombres[détail de l’édition].
• Jean-Pierre Serre,Cours d'arithmétique,1970[détail des éditions].