Hodographe

Unhodographeest undiagrammedonnant une représentation vectorielle des vitesses relatives instantanées en tout point d'un corps ou d'un fluide qui se déforme. On l'utilise enphysique,enastronomie,enmétéorologieet enmathématiques.

Mathématique

Représentation de l'hodographe du mouvement d'uneplanète(de trajectoire elliptique) autour duSoleil.

L'hodographe du mouvement d'un mobile ponctuelMpar rapport à un point fixeOest le lieuHdes pointsPtels que:

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {V}}$

où${\overrightarrow {V}}$est le vecteurvitessedeMà l'instantt.

Ainsi dans l'image ci-contre, les quatre points (1 à 4) représentent quatre moments de l'année orbitale d'une planète à l'orbite elliptique et le cercle est sa trajectoire selon leslois de Keplerde la conservation dumoment cinétique.Ces quatre points sont:

• le point (1), où la vitesse est maximale, est lepérihélie;
• le point (3), où la vitesse est minimale est l'aphélie;
• le point (2), où la vitesse est orthogonale aux points (3) et (1) correspond à l'intersection de la trajectoire avec le petit axe de l'ellipse;
• le point (4), un moment quelconque.

L'intersection des axes P_xet P_yest le point fixe O quelconque, à partir duquel l'hodographe est construit, est la position du Soleil.

Physique

L'hodographe en physique est construit à la fois avec le plan physique et le plan de représentation des contraintes pour déterminer le champ des lignes de glissement dans un matériau qui se déforme plastiquement ou les forces qui s'exercent dans un système.

Ainsi on l'utilise en astronomie pour représenter la trajectoire des planètes. Le vecteur reliant le Soleil à la planète étant inversement proportionnel à lavitesseet la tangente à la trajectoire, ladirectionde déplacement instantanée.

Météorologie

Hodographe avec les vents d'unradiosondagepointés (Source:NOAA)

L'hodographe est utilisé en météorologie pour pointer les données deventsd'unradiosondage.Il prend la forme d'undiagramme polaireoù la direction est indiquée par l'angle au centre de la figure et la grandeur par la distance avec ce centre.Dans la figure à droite, on a dans la partie du bas la grandeur et la direction des vents à différentes altitudes au-dessus du sol. Ceux-ci sont pointés comme les vecteurs${\vec {V}}_{0}$à${\vec {V}}_{4}$.L'hodographe est donc la ligne qui joint les têtes de ces vecteurs.

L'angle d'où vient le vent est pointé comme dans un miroir dans ce type d'hodographe. Ainsi, la partie supérieure droite de l'image montre comment on doit pointer les vecteurs (ex. un angle de 180 degrés se trouve tracé vers le haut donc les vents venant du sud se dirigent vers le nord). L'hodographe nous permet de calculer différents paramètres en conjonction avec lesdiagrammes thermodynamiquescomme letéphigramme:

• Cisaillement:les lignes qui relient entre elles les extrémités de ces vecteurs reflètent le changement, tant en direction qu'en grandeur, du vent avec l'altitude. Elles représentent lecisaillementdes vents dans une couche de l'atmosphère.Ce dernier est important à connaître pour la prévision du développement desorageset le comportement des vents dans l'avenir.
• Turbulence:selon la valeur du cisaillement dans une couche, on peut en déduire laturbulencetrès importante pour l'aviation.
• Advection de température:pour savoir le changement detempératureà une altitude, il suffit de regarder la relation entre le vecteur du vent à ce niveau et le cisaillement entre ce niveau et celui au-dessus. En effet, le vent indique la direction d'où vient le vent et le cisaillement dans quelle direction on a un changement de masse d'air. Dans l'hémisphèrenord, l'air chaud se trouve à droite du cisaillement alors que c'est l'inverse dans l'hémisphère sud (voirVent thermique). Par exemple, dans l'image le vent${\vec {V}}_{3}$vient du sud-ouest et le cisaillement est vers la droite. Donc il y auraadvectiond'air chaud dans cette couche de l'atmosphère: elle se réchauffera.

Références

Bibliographie

• (en)David L. Goodstein &Judith R. Goodstein,Feynman's Lost Lecture — The Motion of Planets Around the Sun,W.W.Norton & Company:New York,(1996),(ISBN0-393-03918-8).On y démontre l'utilisation de l'hodographe pour trouver les orbites elliptiques des planètes (lois de Kepler) à partir deslois de Newton.

Voir aussi

Articles connexes

Physique et astronomie:

• Vecteur de Runge-Lenz
• Accélération

Météorologie:

• Aérologie
• Radiosondage

Lien externe

• «Vitesse moyenne (du vent)»,Glossaire de la météorologie,Météo-France,2021(consulté le5 août 2021)« Tracé en altitude sur un hodographe ».