Logique

Gregor Reisch,« La logique présente ses thèmes centraux »,Margarita Philosophica(de),1503/08 (?). Les deux chiensveritasetfalsitascourent derrière le lièvreproblema,la logique se presse armée de son épéesyllogismus.En bas à gauche se trouveParménidedans une grotte, grâce auquel la logique aurait été introduite dans la philosophie.

Lalogique— dugrecλογική/logikḗ(adjectif dérivé deλόγος/lógos,«raison,langage,raisonnement»), sous-entenduτέχνη/tékhnē:« l'art du raisonnement », — est, dans une première approche, l'étude de l'inférence,c'est-à-dire des règles formelles que doit respecter touteargumentationcorrecte. Le terme aurait été utilisé pour la première fois parXénocrate.

La logique antique se décompose d'abord endialectiqueetrhétorique.

Elle est depuis l'Antiquitél'une des grandesdisciplinesde laphilosophie,avec l'éthique(philosophie morale) et laphysique(science de la nature).

Les travaux deGeorge Boole,William Stanley Jevons,Gottlob Fregeont permis depuis leXIX^esièclele développement fulgurant d'une approchemathématiquede la logique. Sa convergence opérée avec l'informatiquedepuis la fin duXX^esièclelui a donné un regain de vitalité.

Elle trouve depuis leXX^esiècle de nombreuses applications eningénierie,enlinguistique,enpsychologie cognitive,enphilosophie analytiqueou encommunication.

Histoire

Antiquité

La logique est à l'origine de la recherche de règles générales et formelles permettant de distinguer unraisonnementconcluant de celui qui ne l'est pas. Elle trouve ses premiers tâtonnements dans lesmathématiqueset surtout dans lagéométriemais c'est principalement sous l'impulsion desMégariqueset ensuite d'Aristotequ'elle prend son envol.

La logique a très tôt été utilisée contre elle-même, c'est-à-dire contre les conditions mêmes du discours: lesophisteGorgiasl'utilise dans sonTraité du non-êtreafin de prouver qu'il n'y a pas d'ontologiepossible:« ce n'est pas l'être qui est l'objet de nos pensées »:lavéritématérielle de la logique est ainsi ruinée. Le langage acquiert ainsi sa propre loi, celle de la logique, indépendante de la réalité. Mais les sophistes ont été écartés de l'histoire de la philosophie(sophistea pris un sens péjoratif), si bien que la logique, dans la compréhension qu'on en a eu par exemple auMoyen Âge,est restée soumise à la pensée de l'être.

Ère contemporaine

AuXVII^esiècle, lephilosopheGottfried Wilhelm Leibnizréalise desrecherches fondamentalesen logique qui révolutionnent profondément la logique aristotélicienne. Il se réclame constamment de la tradition dessyllogismesd'Aristoteet tente de l'intégrer à son propre système.Il est le premier à imaginer et à développer unelogique formelle.

Emmanuel Kant,quant à lui, définit la logique comme« une science qui expose dans le détail et démontre avec rigueur les règles formelles de toute pensée ».Les six œuvres d'Aristote regroupées sous le titre d’Organon,où figurent notamment lesCatégorieset l'étude du syllogisme, furent longtemps considérées comme la référence sur ce sujet.

En 1847 est publié le livre deGeorge Boole,intituléMathematical Analysis of Logic,puisAn Investigation Into the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities.Booley développe une nouvelle forme de logique, à la fois symbolique et mathématique. Son but est de traduire desidéeset desconceptsenexpressionsetéquations,de leur appliquer certains calculs et de traduire le résultat en termes logiques, marquant ainsi le début de la logique moderne, fondée sur une approchealgébriqueetsémantique,que l'on a appelée plus tardalgèbre de Booleen son honneur.

Différentes approches

De manière très générale, il existe quatre approches de la logique:

Historique

Cette première approche met l'accent sur l’évolution et le développement de la logique, en insistant tout particulièrement sur lasyllogistiquearistotélicienneet les tentatives, depuisLeibniz,de faire de la logique un véritablecalcul algorithmique.Cette approche historique est tout particulièrement intéressante pour laphilosophiecar aussi bienAristote,lesStoïciensouLeibnizont travaillé comme philosophes et comme logiciens, tout au long de l'histoire de la logique.

Mathématique

Lalogique mathématiquecontemporaine est liée auxmathématiques,à l’informatiqueet à l'ingénierie.L’approche mathématique a une position qui est un peu particulière d'un point de vueépistémologique,puisqu'elle est à la fois un outil de définition desmathématiques,et une branche de ces mêmes mathématiques, donc un objet.

Philosophique

Laphilosophie,et surtout laphilosophie analytiquequi étudie essentiellement lelangagepropositionnel,reposent sur un outillage d’analyse et argumentatif provenant, d'une part des développements logiques réalisés au cours de l'histoire de la philosophieet, d'autre part, des développements récents de la logique mathématique. Par ailleurs, la philosophie et surtout laphilosophie de la logiquese donnent pour tâche d’éclairer lesconcepts fondamentauxet les méthodes de la logique.

Informatique

L'approche informatique étudie l'automatisation des calculset des démonstrations, lesfondements théoriquesde la conception des systèmes, laprogrammationet l'intelligence artificielle.L'approche informatique est aujourd'hui cruciale car, en essayant demécaniser les raisonnements,voire de lesautomatiser,la logique et les mathématiques vivent une véritable révolution depuis la fin duXX^esiècle. Et notamment à la suite de l'exploitation de lacorrespondance preuve-programme.Les conséquencesépistémologiquesde ces développements sont encore largement insoupçonnées.

Grands domaines de la logique

Logique syllogistique

L'Organonest le principal ouvrage de logique d'Aristote,comprenant notamment lesPremiers Analytiques;il constitue le premier travail explicite delogique formelle,avec notamment l'introduction de lasyllogistique.

Les travaux d'Aristotesont considérés en Europe et au Moyen-Orient à l'époque classique, médiévale comme l'image même d'un système entièrement élaboré^{[réf. nécessaire]}.Cependant, Aristote n'a pas été le seul, ni le premier: lesstoïciensont proposé un système delogique propositionnellequi a été étudiée par les logiciens médiévaux. En outre, leproblème de généralité multiplea été reconnu à l'époque médiévale.

Logique propositionnelle

Le calcul des propositions est unsystème formeldans lequel les formules représentent des propositions qui peuvent être formées en combinant lespropositions atomiqueset en utilisant lesconnecteurs logiques,et dans lequel un système de règles dedémonstration formelleétablit certains «théorèmes».

Calcul des prédicats

LeBegriffschriftdeGottlob Fregea introduit la notion dequantificateursdans une notation logique, qui représente ici la formule$\forall x.F(x)$,qui est vrai.

Un calcul des prédicats est unsystème formel,qui peut être soit lalogique du premier ordre,soit lalogique du second ordre,soit lalogique d'ordre supérieur,soit lalogique infinitaire.Il exprime par laquantificationun large échantillon de propositions dulangage naturel.Par exemple, leparadoxe du barbierdeBertrand Russell,«il y a un homme qui rase tous les hommes, qui ne se rasent pas » peut être formalisé par laformule:$(\exists x)({\text{homme}}(x)\wedge (\forall y)({\text{homme}}(y)\rightarrow ({\text{rase}}(x,y)\leftrightarrow \neg {\text{rase}}(y,y))))$en utilisant le prédicat${\text{homme}}(x)$pour indiquer que$x$est un homme, larelation binaire${\text{rase}}(x,y)$pour indiquer que$y$est rasé par$x$et d'autres symboles pour exprimer laquantification,laconjonction,l'implication,lanégation,et l'équivalence.

Logique modale

Dans lelangage naturel,unemodalitéest uneflexionou un ajout pour modifier lasémantiqued'uneproposition.

Par exemple, la proposition « Nous allons aux jeux » peut être modifiée pour donner « Nous devrions aller aux jeux », ou « Nous pouvons aller aux jeux » ou « Nous irons aux jeux » ou « Il faut que nous allions aux jeux ».

Plus abstraitement, la modalité affecte le cadre dans lequel une affirmation est satisfaite.

Enlogique formelle,une logique modale est une logique étendue par l'adjonction d'opérateurs,qui sont appliqués aux propositions pour en modifier le sens.

Logique philosophique

Lalogique philosophiquetraite des descriptions formelles dulangage naturel.Cesphilosophesconsidèrent que l'essentiel duraisonnementquotidien peut être transcrit en logique, si une ou des méthode(s) parvient (parviennent) à traduire le langage ordinaire dans cette logique. La logique philosophique est essentiellement une extension de la logique traditionnelle antérieure à lalogique mathématiqueet s'intéresse à la connexion entre le langage naturel et la logique.

Par conséquent, les logiciens philosophiques ont grandement contribué au développement des logiques non standard (par exemple, leslogiques libres,leslogiques temporelles) ainsi qu'aux diverses extensions de la logique (par exemple leslogiques modales) et à la sémantique de ces logiques (par exemple, lesupervaluationisme(en)deKripkedans la sémantique de la logique).

Notions élémentaires de logique formelle

Unlangagelogique est défini par unesyntaxe,c'est-à-dire un système desymboleset de règles pour les combiner sous forme deformules.De plus, unesémantiqueest associée au langage. Elle permet de l'interpréter, c'est-à-dire d'attacher à ces formules ainsi qu'aux symboles une signification. Unsystème de déductionpermet de raisonner en construisant des démonstrations.

La logique comprend classiquement:

• la logique despropositions(aussi appeléecalcul des propositions);
• la logique desprédicats,qui contient des notations pour desentitésavec des quantifications sur ces entités,

auxquelles s'ajoute:

• lalogique combinatoirebasée sur les notions de fonction et d'application, en lien avec lelambda-calculet lalogique intuitionniste.

Syntaxes

Lasyntaxede la logique des propositions est fondée sur des variables de propositions appelées égalementatomesque nous notons avec des lettres minuscules (p, q, r, s, etc.) Ces symboles représentent des propositions sur lesquelles on ne porte pas de jugement vis-à-vis de leur vérité: elles peuvent être soit vraies, soit fausses, mais on peut aussi ne rien vouloir dire sur leur statut. Ces variables sont combinées au moyen deconnecteurs logiquesqui sont, par exemple:

1. Le connecteur binairedisjonctif(ou), de symbole: ∨;
2. Le connecteur binaireconjonctif(et), de symbole: ∧;
3. Le connecteur binaire de l'implication,de symbole: →;
4. Le connecteur unaire ou monadique de lanégation(non), de symbole: ¬.

Ces variables forment alors des formules complexes.

La syntaxe de lalogique du deuxième ordre,contrairement à celle dupremier ordre,considère:

• les termes: représentant les objets étudiés;
• les formules: propriétés de ces objets étudiés.

Dans la suite nous noterons V l'ensemble des variables (x, y, z…), F l'ensemble des symboles de fonctions (f, g…) et P l'ensemble des symboles de prédicats (P, Q…).On dispose également d'une application dite d'aritém^{[pas clair]}.La signification des formules fait l'objet de la sémantique et diffère selon le langage envisagé.

En logique traditionnelle (appelée aussilogique classiqueou logique du « tiers exclus »), une formule est soit vraie, soit fausse. Plus formellement, l'ensemble des valeurs de vérité est un ensemble B de deuxbooléens:le vrai et le faux. La signification des connecteurs est définie à l'aide de fonctions de booléens vers des booléens. Ces fonctions peuvent être représentées sous la forme detable de vérité.

La signification d'une formule dépend donc de la valeur de vérité de ses variables. On parle d'interprétation ou d'affectation. Toutefois, il est difficile, au sens de la complexitéalgorithmique,d'utiliser la sémantique pourdécidersi une formule est satisfaisante (ou non) voire valide (ou non). Il faudrait pour cela pouvoirénumérer toutes les interprétationsqui sontexponentiellesen nombre.

Une alternative à la sémantique consiste à examiner les preuves bien formées et à considérer leurs conclusions. Cela se fait dans unsystème de déduction.Un système de déduction est un couple (A, R), où A est un ensemble de formules appeléesaxiomeset R un ensemble de règles d'inférence,c'est-à-dire de relations entre des ensembles de formules (les prémisses) et des formules (la conclusion).

On appelledérivationà partir d'un ensemble donné d'hypothèsesune suite non vide de formules qui sont: soit desaxiomes,soit des formules déduites des formules précédentes de la suite. Une démonstration d'une formule ϕ à partir d'un ensemble de formules Γ est une dérivation à partir de Γ dont la dernière formule est ϕ.

Quantification

On introduit essentiellement deuxquantificateursdans la logique moderne:

• ∃: il existe au moins un, appelé «quantificateur existentiel»;
• ∀: pour tout, appelé «quantificateur universel».

Grâce à la négation, les quantificateurs existentiels et universels jouent des rôles duaux et donc, enlogique classique,on peut fonder lecalcul des prédicatssur un seul quantificateur.

Égalité

Un prédicat binaire, que l'on appelleégalité,énonce le fait que deux termes sont égaux quand ils représentent le même objet. Il est géré par des axiomes ou schémas d'axiomes spécifiques. Cependant parmi les prédicats binaires c'est un prédicat très particulier, dont l'interprétation usuelle n'est pas seulement contrainte par ses propriétés énoncées par les axiomes: en particulier il n'y a usuellement qu'un prédicat d'égalité possible par modèle, celui qui correspond à l'interprétation attendue (l'identité). Son adjonction à la théorie préserve certaines bonnes propriétés comme lethéorème de complétudedu calcul des prédicats classique. On considère donc très souvent que l'égalité fait partie de la logique de base et l'on étudie alors lecalcul des prédicats égalitaire.

Dans une théorie qui contient l'égalité, un quantificateur, qui peut être défini à partir des quantificateurs précédents et de l'égalité, est souvent introduit:

• ∃! (il existe un et un seul).

D'autres quantificateurs peuvent être introduits en calcul des prédicats égalitaires (il existe au plus un objet vérifiant telle propriété, il existe deux objets…), mais des quantificateurs utiles en mathématiques, comme « il existe une infinité… » ou « il existe un nombre fini… » ne peuvent s'y représenter et nécessitent d'autres axiomes (comme ceux de lathéorie des ensembles).

Logique non binaire

Il a fallu attendre le début duXX^esièclepour que leprincipe de bivalencesoit clairement remis en question de plusieurs façons différentes:

• La première façon considère des logiques trivalentes qui ajoutent une valeur indéterminée, elles sont dues àStephen Cole Kleene,Jan ŁukasiewiczetBochvaret se généralisent enlogiques polyvalentes.
• La deuxième façon insiste sur ledémontrable.Il y a donc ce qui est démontrable et le reste. Dans ce « reste », il peut y avoir des propositionsréfutables,c'est-à-dire dont la négation est démontrable et des propositions au statut incertain, ni démontrable, ni réfutable. Cette approche, due en particulier àGödel,est tout à fait compatible avec la logique classique bivalente, et on peut même dire que l'un des apports de la logique duXX^esiècleest d'avoir analysé clairement la différence entre la démontrabilité et la validité, qui, elle, repose sur une interprétation en termes de valeurs de vérité. Mais lalogique intuitionnistese fonde elle sur une interprétation des démonstrations, la sémantique deHeyting— ainsi une preuve de l'implication s'interprète par une fonction qui à une preuve de l'hypothèse associe une preuve de la conclusion, plutôt que sur une interprétation des énoncés par des valeurs de vérité. On a pu cependant après coup donner des sémantiques qui interprètent les énoncés, comme celle de Beth, ou celle de Kripke dans laquelle le concept de base est celui demonde possible.La logique intuitionniste est également utilisée pour analyser le caractère constructif des démonstrations en logique classique. Lalogique linéaireva encore plus loin dans l'analyse des démonstrations.
• La troisième façon est due àLotfi Zadehqui élabore unelogique floue(fuzzy logic), dans laquelle une proposition est vraie selon un certain degré de probabilité (degré auquel on assigne lui-même un degré de probabilité). Voir aussi l'article sur lathéorie de la complexité algorithmique.
• La quatrième façon, est celle de lalogique modalequi par exemple atténue (possible) ou renforce (nécessaire) des propositions. SiAristotes'intéresse déjà aux modalités, leXX^esiècle,sous l'impulsion initiale deClarence Irving Lewis,apporte une étude plus approfondie de celles-ci, etSaul Aaron Kripkedonne uneinterprétationdes énoncés des logiques modales utilisant des mondes possibles.

Bibliographie

• Image de Platon et lectures de ses œuvres,deJacques Follon,Peeters Publishers(ISBN2-87723-305-7)(1997)
• Jean-Pierre Belna,Histoire de la logique,2005
• Robert Blanchéet Jacques Dubucs,La logique et son histoire: d'AristoteàRussell,Paris,Armand Colin, 1996
• François Chenique,Éléments de Logique Classique,Paris, L'Harmattan, 2006
• Bruno Couillaud,Traité de Logique - analytique, dialectique, rhétorique, sophistique,2^eéd., De Guibert, 2007
• Pascal Engel,La Norme du vrai, philosophie de la logique,Paris, Gallimard, 1989
• (en)Michael R. Genesereth et Nils J. Nilsson,Logical Foundations of Artificial Intelligence,Morgan Kaufmann,1987[détail de l’édition]
• Paul Gochetet Pascal Gribomont,Logique. Vol. 1: méthodes pour l'informatique fondamentale,Paris, Hermès, 1990
• Paul Gochet et Pascal Gribomont,Logique. Vol. 2: méthode formelle pour l'étude des programmes,Paris, Hermès, 1994
• Paul Gochet, Pascal Gribomont et André Thayse,Logique. Vol. 3: méthodes pour l'intelligence artificielle,Paris, Hermès, 2000
• (en)William Kneale & Martha Kneale,The development of logic,Oxford, Clarendon Press, 1962
• François Lepage,Éléments de logique contemporaine,Presses de l'université de Montréal, 1991
• Dirk Pereboom,Logique et logistique,Genève, INU PRESS, 1995(ISBN2-88155-002-9).
• Xavier Verley, Logique symbolique, Ellipses, 1999
• Alfred North WhiteheadetBertrand Russell,Principia Mathematica,3 vol., Merchant Books, 2001(ISBN978-1603861823)(vol. 1),(ISBN978-1603861830)(vol. 2),(ISBN978-1603861847)(vol. 3)

Notes et références

• (en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«logic»(voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Raison
• Raisonnement
• Rationalisation
• Rationalité
• Science formelle

Sur la philosophie:

• Philosophie
• Éthique|Métaphysique|Épistémologie
• Heidegger et la logique
• Tractatus logico-philosophicus

Sur la logique mathématique:

• Déduction naturelle
• Équivalence logique
• Fonction logique
• Logique mathématique
• Logique et raisonnement mathématique
• Logique intuitionniste
• Logique linéairenotamment leslois de De Morgan
• Logique minimale
• Logique pneumatique

Voir aussi:

• Bibliographie de logique et de philosophie du langage

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