Nombres amicaux
Enarithmétique,deuxnombres(entiersstrictement positifs) sont ditsamicauxouamiablesouaimabless'ils sont distincts[1]et si chacun des deux nombres est égal à lasommedesdiviseurs strictsde l'autre.
Si l'on notes(n) la somme des diviseurs stricts denetσ(n) =s(n) +nla somme de toussesdiviseurs,deux nombres distinctsmetnsont donc amicaux si et seulement si
ou, ce qui est équivalent:
Cela implique que si l'un des deux nombres estabondant,alors l'autre estdéficient.
Les premiers couples de nombres amicaux
[modifier|modifier le code]Les nombres entiers220et284sont amicaux car:
ou encore:
Les 13pairesde nombres amicaux dont le premier a moins de 6 chiffres[2]sont:
- 220 et 284
- 1 184 et 1 210
- 2 620 et 2 924
- 5 020 et 5 564
- 6 232 et 6 368
- 10 744 et 10 856
- 12 285 et 14 595
- 17 296 et 18 416
- 63 020 et 76 084
- 66 928 et 66 992
- 67 095 et 71 145
- 69 615 et 87 633
- 79 750 et 88 730.
Éléments historiques
[modifier|modifier le code]Les nombres amicaux ont une histoire liée depuis longtemps à lamagieet à l'astrologie.Par exemple, certains commentateursjuifsde laGenèsepensaient queJacobavait donné deux centschèvreset vingtboucs,et autant debrebiset debéliersà son frère aînéÉsaüquand il commença à craindre que ce dernier le tue (Genèse 32:14) parce que 220 est un nombre amical[3].
Le philosopheJamblique(vers250-330) écrit[réf. nécessaire]que « lespythagoriciensconnaissent ces nombres qu'ils appellent amicaux et leur associent certaines qualités sociales (comme 220 et 284) et Pythagore aurait parlé d'un ami qui « était un autre lui » comme le sont 220 et 284 ».
Quant à l'historienIbn Khaldoun,il assure que les nombres amicaux 220 et 284 sont utilisés dans l'art des talismans pour favoriser les amitiés et les unions[4].
Il n'existe pas de formule ou méthode connue pour déterminer les nombres amicaux mais au fil des ans, certains types spéciaux ont été découverts.Thābit ibn Qurra(vers850) démontre que:
Sin> 1 et si les trois nombresp= 3 × 2n−1− 1,q= 3 × 2n− 1 etr= 9 × 22n−1− 1 sontpremiers,alors 2npqet 2nrsont amicaux.
Il faut cependant plusieurs siècles pour que cette formule produise les deuxième et troisième paires de nombres amicaux. La paire {17 296, 18 416} (n= 4) est signalée auXIVesiècle,indépendamment, par les mathématiciensIbn al-Banna[4]etAl-Farisi[5],puis redécouverte parFermat,qui l'annonce dans une lettre àMersenneen1636.La paire {9 363 584, 9 437 056} (n= 7) est découverte parMuhammad Baqir Yazdi(en)auXVIIesiècle[5]et parDescartes,qui écrit à Mersenne en1638pour la lui signaler.
La paire {6 232, 6 368} est amicale mais ne peut pas être déduite de cette formule.
Eulerajouta 61 nouvelles paires de nombres amicaux, mais commit deux erreurs[4]qui furent découvertes en1909et1914.En1866un jeune garçon de seize ans, un certain B. Nicolò I. Paganini (aucune parenté avecle violoniste), découvrit la paire{1 184, 1 210},ignorée jusque-là[6].
Des recherches parordinateuront permis de trouver toutes les paires de nombres amicaux de moins de 12 chiffres[4]ainsi que quelques autres encore plus grands pour en arriver à un total de 2 185 621 paires en 2003[4].On ne sait pas s'il existe uneinfinitéde telles paires, ni s'il en existe une de nombrespremiers entre eux.Si une telle paire existe, chacun des deux nombres doit comporter plus de 15 chiffres et leur produit doit être divisible par au moins 22 nombres premiers.
Notes et références
[modifier|modifier le code]- On ne parle pas de nombre « amical avec lui-même » mais denombre parfait.
- Pour les 39 374 paires dont le premier a moins de 14 chiffres, voir les suites
A002025et A002046de l'OEIS.
- (en)Leonard EugeneDickson,History of the Theory of Numbers(en)[détail des éditions]
- Jean-PaulDelahaye,Les inattendus mathématiques: Art, casse-tête, paradoxes, superstitions[détail de l’édition],« Nombres amiables et suite aliquote »
- (en)Patrick J. Costello, «New amicable pairs of type (2,2) and type (3,2)»,Mathematics of Computation,vol.72,no241,,p.489-497(DOI10.1090/S0025-5718-02-01414-X,lire en ligne,consulté le).
- (it)Renzo Sprugnoli, «Introduzione alla matematica: La matematica della scuola media», surUniversita degli Studi di Firenze: Dipartimento di Sistemi e Informatica,.
Articles connexes
[modifier|modifier le code]- Nombres fiancés,ou « quasi amicaux »
- Suite aliquote
