Nombre réel

Représentation desnombres irrationnelsselon la répartition desréelsennombres rationnels,constructibles,algébriquesettranscendants.Cliquez sur un des nombres du schéma pour plus d'informations concernant l'élément choisi. (Image source)

Enmathématiques,unnombre réelest unnombrequi peut être représenté par une partieentièremunie d’unsignepositif ou négatif, et une liste finie ou infinie dedécimales.Cette définition étend la notion denombre décimalen intégrant lesrationnels,dont les décimales se répètent de façonpériodiqueà partir d'un certain rang,mais aussi d'autres nombres admettant undéveloppement décimalnon périodique et qui sont ditsirrationnels,tels laracine carrée de 2,πete.

Lanotionde nombre réel émerge progressivement de la manipulation desrapportsde grandeursgéométriquesautres que les rapports d'entiers naturelsdepuis leur prise en compte parEudoxe de CnideauIV^esiècleav. J.-C.Elle s'in sắc re aussi dans l'approximationdes solutions de problèmesalgébriqueset donne même lieu, au milieu duXIX^esiècle, à la mise en évidence de nombrestranscendants.Mais la définition des nombres réels n'est formalisée que quelques décennies plus tard avec lesconstructionsdeDedekindd'une part et deCantoretMérayd'autre part.

L'ensemble des nombres réels, notéℝ, est alors uncorpstotalement ordonné,c'est-à-dire qu'il est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d'ordre. Mais il satisfait en plus lapropriété de la borne supérieurequi fonde l'analyse réelle.Enfin, cet ensemble est caractérisé parHilbertcomme plus grandcorpsarchimédien.Dans ladroite réelle achevéeles valeurs infinies ne satisfont plus les règles opératoires de corps, l'extension au corps desnombres complexesrend impossible la relation d'ordre total compatible, tandis que l'analyse non standardadjoint des nombres infiniment petits qui invalident le caractère archimédien.

L'adjectif « réel » est utilisé pour qualifier des nombres dès leXVII^esiècle,mais il n'est explicitement défini par opposition aux nombresimaginairesqu'à la fin duXIX^esiècleIl a aussi été opposé à « nombre formel » dans certains traités dethéologieou dephilosophiede la même époque.

Représentation de ladroitedes réels avec des exemples de constantes réelles.

Dans la vie courante

Les nombres réels sont utilisés pour représenter n'importe quellemesure physiquetelle que: le prix d'un produit, la durée entre deux événements, l'altitude (positive ou négative) d'un site géographique, la masse d'un atome ou la distance de la galaxie la plus proche. Ces mesures dépendent du choix d'une unité de mesure, et le résultat s'exprime comme le produit d'un nombre réel par une unité. Les nombres réels sont utilisés tous les jours, par exemple en économie, en informatique, en mathématique, en physique ou en ingénierie.

Le plus souvent, seuls certains sous-ensembles de réels sont utilisés:

• lesentiers naturels;
• lesentiers relatifs;
• lesnombres décimaux,qui sont les réels que l'on peut écrire exactement enbase dix;
• lesnombres rationnels,exprimables sous forme defractionsànumérateursetdénominateursentiers;
• lesnombres algébriques,qui comprennent notamment tous les nombres que l'on peut écrire en utilisant les quatreopérations élémentaireset lesracines;
• lesnombres calculables,qui comprennent la quasi-totalité des nombres utilisés en science et en ingénierie (notammenteetπ).

Bien que tous ces sous-ensembles des réels soient de cardinal infini, ils sont tousdénombrableset ne représentent donc qu'une infime partie de l'ensemble des réels. Ils ont chacun des propriétés propres. Deux sont particulièrement étudiés par les mathématiciens: lesnombres rationnelset lesnombres algébriques;on appelle «irrationnels» les réels qui ne sont pas rationnels et «transcendants» ceux qui ne sont pas algébriques.

En science

Laphysiqueutilise les nombres réels dans l'expression des mesures pour deux raisons essentielles:

• Les résultats d'un calcul de physique utilisent fréquemment des nombres qui ne sont pas rationnels, sans que les physiciens ne prennent en compte la nature de ces valeurs dans leurs raisonnements car elle n'a pas de sens physique.
• La science utilise des concepts comme la vitesse instantanée ou l'accélération. Ces concepts sont issus de théories mathématiques pour lesquelles l'ensemble des réels est une nécessité théorique. De plus, ces concepts disposent de propriétés fortes et indispensables si l'ensemble des mesures est l'espace des nombres réels.

En revanche, le physicien ne peut réaliser des mesures de précision infinie. La représentation numérique du résultat d'un calcul peut être approchée aussi précisément qu'il le souhaite par un nombre décimal. Dans l'état actuel de la physique, il est même théoriquement impossible de réaliser des mesures de précision infinie (d'après leprincipe d'indétermination d'Heisenberg). C'est pourquoi, aussi bien pour des besoins expérimentaux que théoriques, si le physicien calcule les mesures dans ℝ, il exprime les résultats numériques sous forme de nombres décimaux.

Ainsi le physicien utilise les propriétés des nombres réels qui permettent de donner un sens aux mesures qu'il réalise et offrent des théorèmes puissants pour démontrer ses théories. Pour les valeurs numériques, il se contente des nombres décimaux. Quand il mesure la distance que parcourt un point matériel sur un cercle complet, il utilise la valeur$\pi$sans se poser de question sur son existence, mais un nombre de décimales souvent petit lui suffit pour les calculs.

Enfin, bien que les nombres réels puissent représenter n'importe quellegrandeur physique,les nombres réels ne sont pas les mieux adaptés pour l'étude de très nombreux problèmes physiques. Dessur-ensemblesconstruits autour des réels ont été créés pour pouvoir manipuler certains espaces physiques. Par exemple:

• l'espace ℝⁿ,pour modéliser des espaces, par exemple dedimension 2,3(ou plus);
• l'ensemble desnombres complexesdont la structure pos sắc de des propriétés plus fortes que celle de l'ensemble des nombres réels.

Autres remarques sur la notion de « développement décimal infini »

Tout nombre réel peut être représenté sous la forme de « nombre àdéveloppement décimalinfini ». Cette définition peut sembler plus simple que d'autres utilisées couramment par les mathématiciens, par exemple lalimite d'une suiteconvergente. Pourtant, elle apparaît rapidement comme peu adaptée et implique des définitions et des démonstrations bien plus complexes. En effet les nombres réels sont intéressants pour la structure et les propriétés de l'ensemble qu'ils forment: addition, multiplication, relation d'ordre, et les propriétés qui lient ces notions. Ces propriétés sont mal reflétées par la définition « développement décimal infini » et des problèmes théoriques apparaissent:

• Certains nombres pos sắc dent deux représentations.

  Par exemple, le nombrex= 0,9999… (les 9 se poursuivent à l'infini) vérifie l'équation 10x= 9 +x.Le nombrey= 1,0000… (les 0 se poursuivent à l'infini) en est également solution.Or l'existence et l'unicité de solution à l'équation10t= 9 +t,d'inconnuet,sont deux propriétés essentielles pour une définition univoque des réels. Pour remédier à cette situation, il devient nécessaire d'identifier les représentations décimales qui sont solutions d'une même équation: la définition devient plus complexe.

• Utiliser un développementdécimalfait jouer un rôle particulier à labasedix.

  Cette difficulté n'est pas insurmontable. Elle est résolue par l'utilisation d'une base quelconque: on parle alors de développements en basep.Il est alors possible de démontrer que les ensembles construits à partir de ces bases sontisomorpheset que les propriétés des nombres réels sont valables dans toutes ces bases. Cependant les démonstrations deviennent lourdes, et la définition perd de sa simplicité.

• Enfin, lesalgorithmesnaturels pour effectuer uneadditionou unemultiplication,trouvent leur limite du fait de la double représentation des nombres décimaux.

  En effet, les « retenues » se calculent de la droite vers la gauche, et un algorithme effectif demande de ne traiter qu'un nombre fini de décimales (puisqu'il ne peut effectuer qu'un nombre fini d'opérations), c'est-à-dire de tronquer les nombres sur lesquels on calcule: il se peut donc qu'en tronquant aussi loin que l'on veut, on n'ait jamais la moindre décimale exacte, par exemple sur le calcul 0,33…+0,66…=1. Surmonter cette difficulté demande de faire appel à des notions de convergence, qui amènent naturellement vers d'autres modes de définition des réels.

Cependant, une fois établie la structure de l'ensemble des nombres réels, la notation par développement décimal permet des calculs effectifs, en gardant à l'esprit que ce n'est pas tant les décimales exactes d'un nombre qui comptent, que la position du nombre vis-à-vis des autres réels.

Aspect historique

Origine des nombres

Mise en place des fractions

Depuis l'Antiquitéla représentation d'une grandeur mesurable — par exemple une longueur ou une durée — a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction desfractions(quotient de deux entiers positifs). Cette solution, mise en place très tôt chez lesSumérienset lesÉgyptiens,est finalement performante. Elle permet d'approcher une longueur quelconque avec toute la précision souhaitée.

Correspondance avec des longueurs

Euclide,l'un des pères des mathématiques.

La première formalisation construite en système que l'on connaisse est le fruit du travail d'EuclideauIII^esiècleav. J.-C.Sa construction, inscrite danssesÉléments,apporte deux grandes idées d'un apport majeur dans l'histoire des mathématiques.

• Les mathématiques sont formalisées avec des axiomes,desthéorèmeset desdémonstrations.On peut alors construire un système, avec des théorèmes dont les démonstrations s'appuient sur d'autres théorèmes. Les mathématiques sont classées en catégories, lagéométrieet l'arithmétiqueen sont les deux plus grandes. Parler de construction prend alors tout son sens.
• Un pont est bâti entre les deux grandes catégories.Cette démarche, permettant d'utiliser des résultats d'une des branches des mathématiques pour éclairer une autre branche est des plus fécondes. Lesnombressont alors mis en correspondance avec des longueurs de segments.

Problèmes d'incomplétude

Irrationalité de la racine carrée de 2

L'aire du carré bleu est le double de celle du carré gris.

Supposons une longueur donnée choisie comme unité. Un raisonnement géométrique, certainement déjà connu desbabyloniens,montre que siAest uncarréde côté l'unité etBun carré de côté égal à ladiagonaleddeA,alors l'airedeBest double de celle deA,autrement dit:d²= 2.

Probablement auV^esiècleav. J.-C.,des mathématiciens grecs démontrent que les longueurs de la diagonale du carré et de son côté sontincommensurables:il n'existe pas de segment, aussi petit soit-il, qui permette de « mesurer » exactement ces deux grandeurs. Nous disons aujourd'hui que ce rapport de longueur, qui est laracine carrée de 2,estirrationnel,c'est-à-dire qu'il n'est pas égal à une fraction: si c'était une fractionm/n,en divisant la diagonale du carré enmparties égales et son côté ennparties égales on obtiendrait bien des segments tous de même longueurs.

Ceci met en évidence que les fractions ne peuvent suffire pour représenter les grandeurs mesurables.

Il existeune démonstration arithmétique simple de ce résultat,qui repose sur un argument de parité. AuIV^esiècleav. J.-C.,Aristotey fait allusion dans un de ses écrits.On la trouve plus détaillée dans lelivre XdesÉlémentsd'Euclide.

Développement décimal illimité non périodique

Si les fractions permettent effectivement d'exprimer toute longueur avec la précision souhaitée, il faut néanmoins comprendre que les opérations et particulièrement la division deviennent complexes si lesystème de numérationn'est pas adapté. Le problème est décrit par l'articlefraction égyptiennequi propose quelques exemples concrets.

Il faut attendre leV^esièclepour voir l'école indiennedécouvrir le concept duzéroet développer unsystème de numérationdécimal etpositionnel.

Un deuxième problème apparaît alors. Toutes les fractions pos sắc dent undéveloppement décimaldans la mesure où ce développement est infini et périodique, c'est-à-dire que la suite des décimales ne s'arrête pas mais boucle sur un nombre fini de valeurs. La question se pose alors de savoir quel sens donner à un objet caractérisé par une suite de décimales non périodique. Par exemple, le nombre à développement décimal infini qui s'exprime comme

0,1010010001... où le nombre de 0 entre les chiffres 1 croît indéfiniment, correspond-il à une longueur?

Suites et séries

Dans la deuxième moitié duXVII^esiècle,on assiste à un extraordinaire épanouissement des mathématiques dans le domaine du calcul dessérieset dessuites.

Nicolaus Mercator,lesBernoulli,James Gregory,Gottfried Wilhelm Leibniz,et d'autres travaillent sur des séries qui semblent converger mais dont lalimiten'est pas rationnelle. C'est le cas par exemple:

• de la série de Mercator:$\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k-1} \over k}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots$qui converge versln(2)
• de la série de Gregory:$\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over {2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots$qui converge versπ/4

Pire,Liouvilleen1844,prouve l'existence denombres transcendantsc'est-à-dire non racine d'un polynôme à coefficients entiers. Il ne suffit donc pas de compléter les rationnels en y ajoutant lesnombres algébriquespour obtenir l'ensemble de tous les nombres.

• des séries du type$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{10^{k!}}}={\frac {a_{1}}{10^{1}}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{3}}{10^{6}}}+{\frac {a_{4}}{10^{24}}}+\cdots$représentant lesnombres de Liouville,où(a_n)est unesuite d'entierscompris entre 0 et 9.

Le calcul infinitésimal

Isaac Newton. Gottfried Wilhelm Leibniz.

Durant la deuxième partie duXVII^esiècle,Isaac NewtonetGottfried Wilhelm Leibnizinventent une toute nouvelle branche des mathématiques. On l'appelle maintenant l'analyse,à l'époque elle était connue sous le nom decalcul infinitésimal.Cette branche acquiert presque immédiatement une renommée immense car elle est la base d'une toute nouvelle théorie physique universelle: la théorie de lagravité newtonienne.Une des raisons de cette renommée est la résolution d'une vieille question, à savoir si laTerretourne autour duSoleilou l'inverse.

Or le calcul infinitésimal ne peut se démontrer rigoureusement dans l'ensemble des nombres rationnels. Si les calculs sont justes, ils sont exprimés dans un langage d'une grande complexité et lespreuvesprocèdent plus de l'intuition géométrique que d'une explicitation rigoureuse au sens de notre époque.

L'impossibilité de la construction de l'analyse dans l'ensemble des fractions réside dans le fait que cette branche des mathématiques se fonde sur l'analyse des infiniment petits. Or, on peut comparer les nombres rationnels à une infinité de petits grains de sable (de taille infiniment petite) sur la droite réelle laissant infiniment plus detrousque de matière. L'analyse ne peut se contenter d'un tel support. Elle demande pour support unespace complet.Le mot est ici utilisé dans un double sens, le sens intuitif qui signifie que lespetits trousen nombre infini doivent êtrebouchéset le sens que les mathématiciens donnent aujourd'hui plus abstrait mais rigoureusement formalisé.

Cette notion est tellement importante qu'elle deviendra à l'aube duXX^esiècleune large branche des mathématiques appeléetopologie.

Pourquoi ℝ est indispensable pour l'analyse

L'analyse suppose qu'une fonction réelle de la variable réelle est essentiellement connue par son comportement infinitésimal. Par exemple, si l'accélération d'une planète est connue à chaque instant et que sa position et sa vitesse initiales sont connues, alors il est possible d'en déduire la trajectoire exacte. Une chaîne de théorèmes, celle duthéorème des accroissements finisqui se prouve par lethéorème de Rollequi se prouve par lethéorème des bornesdevient fausse sur les fractions rationnelles. Si on représente ce théorème en termes imagés, on peut décrire ces théorèmes de la manière suivante : pour le théorème des accroissements finis, si une voiture parcourt 120kmen 2 heures alors cette voiture se déplace au moins une fois à60km/h;pour le théorème de Rolle (respectivement le théorème des bornes), si une voiture part et arrive du même endroit sans jamais changer de route alors elle a fait au moins une fois demi-tour (respectivement il existe un moment où la voiture est le plus loin de son point de départ).

Ce sont ces théorèmes qui intuitivement sont si évidents, que l'on se demande même comment il est possible de les démontrer. Newton a poussé tellement loin les conséquences de cesévidences,que seules quelques rares personnes pouvaient à son époque véritablement comprendre son ouvrage majeurPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica.Les preuves se fondaient toujoursin finesur uneintuition.

Explicitons alors pourquoi la démonstration du théorème des bornes impose une compréhension profonde de la nature topologique des nombres réels. Pour cela considérons la fonction f sur les rationnels de l'intervalle$\left[1,3\right]$dans ℚ, où ℚ désigne l'ensemble des nombres rationnels, définie par:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x,&{\mbox{si }}x^{2}<2\\3-x,&{\mbox{sinon }}\end{matrix}}\right.$

Graphe de la fonction.

La fonction semble discontinue en un point dont le carré est égal à 2, mais ce point n'existe pas dans les rationnels, la fonction est donc continue partout où elle est définie. On remarque que lespetits trousrompent notre notion intuitive de continuité. Une descriptioninfinitésimalene peut donc décrire convenablement une fonction car lespetits trouspermettent dessautsqui ne sont pas décrits par le comportementinfinitésimal.Notre notion intuitive de continuité n'a donc pas le même sens dans ℚ que dans ℝ. Plus l'abscisse se rapproche par la droite de ce point qui n'existe pas dans ℚ, plus elle augmente. Il n'existe donc aucun point qui atteint le maximum.

La droite réelle

Si l'existence desnombres négatifsapparaît très tôt dans l'histoire (mathématiques indiennes), il faut attendre1770pour qu'ils obtiennent grâce àEulerun vrai statut de nombre et perdent leur caractère d'artifice de calcul. Mais il faut attendre encore un siècle pour voir l'ensemble des réels associé à l'ensemble des points d'unedroiteorientée, appelée droite réelle.

On considère une droite D contenant un point O que l'on appellera, par convention, origine. Soit un point I distinct de O appartenant à D que l'on identifie au nombre 1. Par convention, on dira que la distance de O à I est égale à 1 et que l'orientation de la droite est celle de O vers I. À tout point M de la droite, on associe la distance entre O et M. Si M et I sont du même côté par rapport à O alors la distance est comptée positivement, sinon elle est négative.

Cette relation que la formalisation actuelle appellebijectionpermet d'identifier un nombre réel à un point d'une droite.

L'abscisse du pointQest égale à–OQ/OI= –3,OIetOQdésignant les distances deOàIet deOàQrespectivement.

Après 2 200 ans: la solution

Le développement de l'analyseau cours desXVIII^eetXIX^esiècles a conduit les mathématiciens français et allemands à s'interroger sur la nature des nombres réels. Ces interrogations les ont conduits à dégager des propriétés fondamentales (complétude, suites adjacentes, etc.) sur lesquelles pouvaient se fonder les constructions possibles de ℝ, qui ont été formalisées autour de 1870 par Cantor, Méray et Dedekind.

La construction

Augustin Louis Cauchy.

Richard Dedekind.

Dans son cours d'analyse à l'École polytechnique,Augustin Louis Cauchypropose la première définition rigoureuse d'unelimite.Une séquence de nombres réels indexée par les entiers naturels (appeléesuite) converge vers une limite (nécessairement unique)xlorsque la distance |x-x_n| devient aussi petite que souhaitée pournsuffisamment grand. Il énonce un critère qui porte aujourd'hui son nom, lecritère de Cauchy:il faut et il suffit que les distances |x_n-x_m| soient aussi petites que souhaitées pournetmsuffisamment grands. Par l'énoncé de ce critère, Cauchy affirme la complétude du corps des nombres réels, propriété sur laquelle peut être fondée sa définition. Cette approche est formalisée parMérayen 1869 puis parCantoren 1872. Cette idée, particulièrement adaptée à l'analyse, trouve des prolongements dans les méthodes decomplétion.

Une seconde construction est publiée parRichard Dedekinden 1872. Elle découle de l'étude de larelation d'ordresur les fractions. Unecoupure de Dedekindest un ensembleAde rationnels, tel que tout rationnel deAest inférieur à tout rationnel du complémentaire deA.Un réel est alors représenté par une coupure de Dedekind. Par exemple, la racine carrée de 2 est représentée par l'ensemble des rationnels négatifs et des rationnels positifs de carrés inférieurs à 2. Il existe des variantes de la définition de coupure selon les auteurs.

Une troisième construction s'appuie sur la méthode des segments emboîtés. Un emboîtement est une suite décroissante d'intervalles fermés de nombres rationnels dont la longueur tend vers 0. Un nombre réel est alors défini comme une classe d'emboîtements modulo unerelation d'équivalence.SelonMainzer(de),« la vérification des propriétés de corps ordonné est relativement pénible »,ce qui explique pourquoi cette approche apparaît moins avantageuse que les deux précédentes. Il existe aussi une autre méthode à partir des développements décimaux, cependant l'addition puis la multiplication ne sont pas des opérations simples à définir.

En 1899,David Hilbertdonne la première définition axiomatique du corps des nombres réels. Les méthodes précédentes construisent toutes le « même » ensemble, celui des nombres réels.

La solution est plus riche que prévu

Carl Friedrich Gauss.

LeXIX^esièclemontre que cette nouvelle structure, l'ensemble des nombres réels, ses opérations et sa relation d'ordre, non seulement remplit ses promesses mais va au-delà.

• Non seulement le paradoxe de la racine carrée de 2 est résolu, mais également un théorème puissant: lethéorème des valeurs intermédiairesqui permet de construire toutes lesfonctions réciproquesnécessaires, aussi bien de la forme des radicaux avec lesfonctionsde typeracinen-ième,que dans le cas des fonctionstrigonométriques.
• Les développements décimaux infinis ont maintenant un sens. De plus, il devient possible de mieux comprendre les nombres réels et de les classifier. Ainsi, outre le corps des nombres rationnels, on découvre lecorpsdes nombresalgébriques,c'est-à-dire des nombres qui sontracines d'un polynômeà coefficients entiers. Une nouvelle famille de nombres est exhibée: lestranscendantsqui ne sont racines d'aucuneéquation polynomialeà coefficients entiers. Les propriétés de ces nombres permettent la démonstration de vieilles conjectures comme laquadrature du cercle.
• Enfin, lethéorème de Rolleest généralisé et permet la démonstration d'un résultat essentiel pour l'analyse. Le comportement infinitésimal d'une fonction, par exemple le fait que ladérivéesoit toujours positive, permet de déduire un comportement global. Cela signifie par exemple, que si unsolidese déplace sur une droite avec unevitesseinstantanée toujours positive, alors le solide a avancé, c'est-à-dire qu'il s'est déplacé positivement (vers « l'avant ») par rapport à l'origine. Cette question qui avait arrêté les Grecs, incapables de résoudre lesparadoxes de Zénon,est définitivement comprise. Ce résultat, que l'intuition déclare évident, a demandé des siècles d'efforts.
• Dans le développement du calcul infinitésimal, la manipulation des infiniment petits peut alors être abordée différemment. L'ensemble des nombres réels ne pourra satisfaire tous les mathématiciens. Dans les années 1960,Abraham Robinsonmet en place la notion denombre hyperréelet permet le développement de l'analyse non standard.Cette nouvelle théorie permet d'exprimer et de démontrer plus simplement certains résultats fondamentaux comme lethéorème de Bolzano-Weierstrass.

Nature: mathématiques et philosophie

L'évolution des concepts de nombre réel et decontinuitéest tout aussiphilosophiqueque mathématique. Que les nombres réels forment une entité continue veut dire qu'il n'y a pas de « saut » ou de «bande interdite». Intuitivement, c'est tout comme la perception humaine de l'espace ou de l'écoulement du temps. Certains philosophes conçoivent qu'il en est d'ailleurs exactement de même pour tous les phénomènes naturels. Ce concept est résumé par la devise du mathématicien et philosophe Leibniz:natura non facit saltus,« la nature ne fait pas de sauts ».

De la Grèce antique au début des Temps modernes

L'histoire de la continuité débute enGrèce antique.AuV^esiècleav. J.-C.,lesatomistesne croient pas seulement que la nature est faite de « sauts », mais aussi qu'il existe des particules de base non divisibles, lesatomes.Lessynéchistesquant à eux clament que tout est connecté, continu.Démocriteest un tenant d'une nature faite d'atomes intercalés de vide, tandis queEudoxele contredit, faisant de ses travaux certains des plus anciens précurseurs de l'analyse. Ceux-ci évoluent plus tard en ce que l'on connaît sous le nom degéométrie euclidienne.

Encore auXVII^esiècle,des mathématiciens énonçaient qu'une fonction continue est en fait constituée de lignes droites infiniment petites, c'est-à-dire infinitésimales. C'est ainsi que le concept d'infiniment petit, vu dans l'optique atomiste, peut promouvoir cette façon de concevoir la nature. La question d'infiniest donc centrale à la compréhension de la continuité et des nombres réels.

Lesparadoxes de Zénonillustrent la contre-intuitivité de la notion d'infini. L'un des plus connus est celui de la flèche, dans lequel on imagine une flèche en vol. À chaque instant, la flèche se trouve à une position précise et si l'instant est trop court, alors la flèche n'a pas le temps de se déplacer et reste au repos pendant cet instant. Les instants suivants, elle reste immobile pour la même raison. La flèche est toujours immobile et ne peut pas se déplacer: le mouvement est impossible. Pour résoudre ce paradoxe, il faut additionner ces infiniment petits un nombre infini de fois, par la méthode de lalimite,découverte au cours de l'évolution de l'analyse.

Histoire de l'analyse

Le concept de continuité des nombres réels est central enanalyse,dès le début de son histoire. Une question fondamentale est de déterminer si unefonctiondonnée est en fait unefonction continue.AuXVIII^esiècle,on formulait cette question comme « est-ce qu'une variationinfinitésimaledans son domaine engendre une variation infinitésimale dans son image? ». AuXIX^esiècle,cette formulation est abandonnée et remplacée par celle deslimites.

Dès leXVIII^esiècle,les infinitésimales tombent en disgrâce: elles sont dites d'utilité pratique, mais erronées, non nécessaires et contradictoires. Les limites les remplacent tout à fait et à partir du début duXX^esiècle,les infinitésimales ne sont plus le soubassement de l'analyse. En mathématiques elles demeurent en quelque sorte des non-concepts, jusqu'à ce qu'on les réintroduise à grands frais engéométrie différentielle,leur donnant le statut mathématique dechamp tensoriel.

Dans les sciences appliquées, en particulier enphysiqueet engénie,on se sert toujours des infinitésimales. Ceci cause évidemment des problèmes de communication entre ces sciences et les mathématiques.

Définitions axiomatiques de ℝ et premières propriétés

David Hilbert.

On peut caractériser brièvement l'ensemble des nombres réels, que l'on note en général ℝ, par la phrase deDavid Hilbert:$\mathbb {R}$est le derniercorps commutatifarchimédienet il estcomplet.« Dernier » signifie que tout corps commutatif archimédien estisomorpheà un sous-ensemble de$\mathbb {R}$.Ici « isomorphe » signifie intuitivement qu'ilpos sắc de la même forme, ou se comporte exactement de la même manière,on peut donc, sans grande difficulté, dire qu'ils sont les mêmes.

Approche axiomatique

Une approche axiomatique consiste à caractériser un concept par une série de définitions. Ce point de vue, dont Hilbert est le précurseur dans son formalisme moderne, s'est révélé extrêmement fécond auXX^esiècle. Des notions comme la topologie, lathéorie de la mesure,ou lesprobabilitésse définissent maintenant par une axiomatique. Une approche axiomatique suppose une compréhension parfaite de la structure en question et permet une démonstration des théorèmes uniquement à partir de ces définitions. C'est la raison pour laquelle de bonnes définitions peuvent en mathématiques s'avérer si puissantes. Une définition axiomatique de$\mathbb {R}$ne montre néanmoins pas qu'un tel ensemble existe. Il apparaît alors nécessaire deconstruirecette structure (voir l'articleConstruction des nombres réels).

On dispose de plusieurs définitions axiomatiques équivalentes:

1. $\mathbb {R}$est le plus grandcorps totalement ordonnéarchimédien.
2. $\mathbb {R}$est l'unique corps totalement ordonnéarchimédienetcomplet.
3. $\mathbb {R}$est l'unique corps totalement ordonné vérifiant lapropriété de la borne supérieure.
4. $\mathbb {R}$est l'unique corps totalement ordonnéconnexe(pour latopologie de l'ordre).
5. $\mathbb {R}$est l'unique corps totalement ordonné vérifiant lelemme de Cousin.

La définition 1 est présentée en début de section. L'équivalence entre les définitions 2 et 3 est démontrée dans l'articleConstruction des nombres réels.L'équivalence entre les définitions 3 et 4 est essentiellement un résultat sur les ensembles ordonnés (voir l'articleTopologie de l'ordre).

L'unicité est à isomorphisme (unique) près, c'est-à-dire que si K est un corps totalement ordonné vérifiant les mêmes hypothèses, alors il existe un (unique) isomorphisme strictement croissant de K dans$\mathbb {R}$.

Détaillons la définition 2:

• $\mathbb {R}$est uncorps commutatif,autrement dit les deux opérations, addition et multiplication, pos sắc dent toutes les propriétés usuelles, en particulier la somme et le produit de deux réels sont réels, ainsi que l'inverse d'un réel non nul (l'adjectifcommutatifsignifie qu'un produitabest toujours égal au produitba).
• $\mathbb {R}$est uncorps totalement ordonné.Cela signifie que tous les nombres peuvent être comparés entre eux (l'un est soit plus grand, soit plus petit, soit égal à l'autre) et que cette relation respecte l'addition et la multiplication. Enlangage mathématiqueon a:
  • $\forall (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\quad a>b\;\Rightarrow a+c>b+c~;$
  • $\forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},\forall c\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad a>b\;\Rightarrow a\times c>b\times c.$
• $\mathbb {R}$estarchimédien.Cela signifie que si l'on considère un nombre a strictement positif, par exemple 2, et que l'on considère la suite a, 2a, 3a... c’est-à-dire dans notre exemple 2, 4, 6... alors on obtiendra dans la suite, des nombres aussi grands que l'on veut. En langage mathématique, cela s'écrit

$\forall (a,b)\in {\mathbb {R} _{+}^{*}}^{2}\;\exists n\in \mathbb {N} \quad na>b.$

• $\mathbb {R}$estcomplet.C'est-à-dire que dans$\mathbb {R}$,toutesuite de Cauchyconverge(dans$\mathbb {R}$;noter la différence avec$\mathbb {Q}$.Toute suite de Cauchy de$\mathbb {Q}$converge dans$\mathbb {R}$,mais la limite peut ne pas être dans$\mathbb {Q}$).

Premières propriétés

Cette section est essentiellement technique. Elle traite des propriétés essentielles et élémentaires pour un travail analytique sur$\mathbb {R}$.

La propriété suivante peut se déduire du fait que$\mathbb {R}$est archimédien.

• Entre deux réels distincts, il existe toujours une infinité de rationnels et d'irrationnels (voir l'articleOrdre dense).

Les autres propriétés sont des conséquences de la propriété de la borne supérieure.

• Tout ensemble non vide et minoré de$\mathbb {R}$admet une borne inférieure (cette propriété se déduit de l'axiome de la borne supérieure, par passage aux opposés).
• Toute suite croissante et majorée dans$\mathbb {R}$est convergente (voir l'articleThéorème de la limite monotone).
• Toute suite décroissante et minorée dans$\mathbb {R}$est convergente (de même, par passage aux opposés).
• Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. On appelle suites adjacentes deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, dont la différence tend vers 0 (voir l'articleThéorème des suites adjacentes).

Clôture algébrique

Il existe un ensemble de fonctions particulièrement intéressantes, lespolynômes.Un polynôme peut parfois êtrefactorisé.C'est-à-dire qu'il s'exprime sous la forme de produit de polynômes non constants de degrés plus petits. L'idéal étant que l'on puisse factoriser tout polynôme en facteurs de degré 1 (c'est-à-dire sous la formeax + b). Cette propriété dépend du corps sur lequel on construit ces polynômes. Par exemple sur le corps des rationnels, quel que soitnentier supérieur ou égal à2,il existe des polynômes de degrénirréductibles, c'est-à-dire que l'on ne peut pas les exprimer sous forme de produit de polynômes de degrés plus petits. Pour les nombres réels, on démontre que le plus grand degré d'unpolynôme irréductibleest égal à deux. En d'autres termes, si le polynôme ne se décompose pas, c'est qu'il est de la formeax²+bx + c.Les corps qui n'ont comme polynômes irréductibles que les polynômes de degré 1 sont ditsalgébriquement clos.

Si$\mathbb {R}$n'est pas algébriquement clos, on peut plonger ce corps dans un corps plus vaste. Il s'agit d'un nouveau corps, le corps desnombres complexes.Cependant ce corps n'est pas globalement « meilleur ». Saclôture algébriqueest une propriété fort intéressante, mais elle a un coût: le corps des complexes ne peut pas posséder derelation d'ordrecompatible avec ses deux opérations. En quelque sorte, ce qui est gagné d'un côté est perdu d'un autre.

Topologie

La raison d'être des nombres réels est d'offrir un ensemble de nombres avec lesbonnespropriétés permettant la construction de l'analyse. Deux approches utilisant deux concepts différents sont possibles.

• On peut utiliser la notion d'espace métriquequi sur$\mathbb {R}$associe ladistanceusuelle. Cette distance, que l'on note icid,était déjà utilisée par Euclide. Elle est définie de la manière suivante:

$\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2},d(x,y)=|y-x|.$

Ce concept est le plus intuitif et en général demande des démonstrations un peu plus naturelles. C'est souvent à partir de ce concept que les propriétés analytiques de$\mathbb {R}$sont développées et prouvées.

• On peut aussi utiliser la théorie de la topologie. Cette théorie est plus générale que celle associée à la distance: à tout espace métrique est associé unespace topologiquemais laréciproqueest fausse.

L'élégance favorise la base axiomatique la plus faible. AuXX^esiècle un travail de reformulation générale des mathématiques est entrepris par l'association Bourbakiet se traduit par la rédaction d'un ouvrage appeléÉléments de mathématique.Cet ouvrage traite, de manière rigoureuse, d'une vaste partie des mathématiques actuelles. Pour cette raison, lesÉlémentsdéveloppent et démontrent les propriétés de l'ensemble des réels à partir de la topologie. C'est le choix que nous suivrons ici.

Propriétés

• Soitaun nombre réel.Un voisinage deaest un ensemble contenant un intervalle ouvert contenanta.Démonstration dans l'articleVoisinage.
• $\mathbb {R}$est unespace séparé.
• $\mathbb {Q}$est dense dans$\mathbb {R}$.Démonstration dans l'articleOrdre dense.
• Lesouvertsde$\mathbb {R}$sont les réunions quelconques d'intervalles ouverts.Démonstration dans l'articleVoisinage.
• Lescompactsde$\mathbb {R}$sont les fermés bornés.Cette propriété permet une démonstration simple et rapide duthéorème des bornes.En particulier lessegmentssont compacts. Démonstration dans l'articleThéorème de Borel-Lebesgueet variante dans l'articleCompacité séquentielle.
• Toute suite bornée de$\mathbb {R}$admet une sous-suite convergente.Démonstration dans l'articleThéorème de Bolzano-Weierstrass
• $\mathbb {R}$estconnexeetsimplement connexe.Démonstration dans les articlesConnexitéetConnexité simple.
• Les connexes de$\mathbb {R}$sont lesintervalles.Cette propriété permet une démonstration simple et rapide duthéorème des valeurs intermédiaires.Démonstration dans l'articleConnexité.
• Théorème des compacts emboités.L'intersection de toute suite décroissante de compacts non vides est non vide. Démonstration dans l'articleCompacité (mathématiques)et variante dans l'articleCompacité séquentielle.

Cardinalité

Combien y a-t-il de nombres réels? Uneinfinité,mais laquelle? Deux ensembles ont mêmecardinal(intuitivement: même « nombre d'éléments ») s'ils sontéquipotents.Par exemple les ensembles$\mathbb {N}$(entiers naturels),$\mathbb {Z}$(entiers relatifs),$\mathbb {Q}$(rationnels) ouℚ(algébriques),bien qu'emboîtés et contenant même chacun plusieurs « copies » du précédent, ont même « taille »: c'est le cardinal desensembles dénombrables,notéℵ₀.Georg Cantora montré qu'il existe des cardinaux infinis strictement plus grands en fournissant, par son argument diagonal, une preuve que$\mathbb {R}$n'est pas dénombrable: voir l'articleArgument de la diagonale de Cantor.En voici une autre.

Autre preuve de la non-dénombrabilité de$\mathbb {R}$^{[réf. nécessaire]}

Montrons que l'intervalle [0, 1] n'est pas dénombrable, en montrant qu'une suite$(u_{i})$dans [0, 1] n'est jamaissurjective.Il suffit de trouver un point$l$dans [0, 1] qui n'est pas dans l'ensemble imagede la suite. Pour cela,définissons par récurrencedeux suites$(a_{i})$,$(b_{i})$telles que:

$(1)\quad \forall i<n,\;u_{i}\;\not \in \;\left[a_{n},b_{n}\right].$

Initialisons nos deux suites en posant:

$a_{0}=0\quad {\mbox{ et }}\quad b_{0}=1\;$

Il est évident que la propriété (1) est vraie sinest égal à 0. Définissons alors nos suites pour le rangn+ 1.

$a_{n+1}=\left\{{\begin{matrix}(a_{n}+2b_{n})/3,&{\mbox{si }}u_{n}\in \left[a_{n},(a_{n}+b_{n})/2\right]\\a_{n},&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.$

$b_{n+1}=\left\{{\begin{matrix}b_{n},&{\mbox{si }}u_{n}\in \left[a_{n},(a_{n}+b_{n})/2\right]\\(2a_{n}+b_{n})/3,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.\;$

L'intervalle$[a_{n+1},b_{n+1}]$étant inclus dans l'intervalle$[a_{n},b_{n}]$,il ne peut contenir d'élément de la suite$(u_{i})$d'ordre strictement inférieur àn,par hypothèse de récurrence.Par construction, il ne peut pas non plus contenir$u_{n}$et la propriété (1) est vérifiée.

Les deux suites$(a_{n}),(b_{n})$étantadjacentes($b_{n}-a_{n}=1/3^{n}$), leurlimitecommune$l$appartient, pour toutn,à l'intervalle$[a_{n},b_{n}]$,donc est différente desnpremières valeurs de la suite$(u_{i})$.Commenest quelconque, la proposition est démontrée.

Le cardinal de l'ensemble des nombres réels est appelé lapuissance du continuet parfois notéc.Il est aussi noté2^ℵ₀car$\mathbb {R}$est en fait équipotent à l'ensemble des partiesde$\mathbb {N}$— ce qui, par un autrethéorème de Cantor,fournit une preuve plus précise de sa non-dénombrabilité:

ℵ₀ = card($\mathbb {N}$) < card(P($\mathbb {N}$)) = card($\mathbb {R}$) =c.

Cantor s'est posé la question de l'existence d'un cardinal strictement compris entre ℵ₀ etc.Son hypothèse, appeléehypothèse du continu,est qu'un tel cardinal n'existe pas. La question des cardinaux a été englobée par Cantor dans une théorie plus vaste, lathéorie des ensembles,qui sert maintenant de fondement à la majeure partie des mathématiques. Il a fallu attendre la deuxième moitié duXX^esiècle pour trouver la réponse à la question de l'hypothèse du continu: elle estindécidabledans la théorie des ensembles usuelle (ZFC). Cela signifie qu'il est impossible de démontrer aussi bien l'existence que la non-existence d'un tel cardinal si l'on ne modifie pas la base axiomatique utilisée.

Espace vectoriel sur ℚ

L'ensemble des réels muni de l'addition usuelle et de la multiplication par desrationnelsest unespace vectorielsur ℚ (ensemble des rationnels). En 1905, lors de la recherche de solutions noncontinuesà l'équation fonctionnelle de Cauchy,Georg Hamelexhibe unebasede ℝ considéré comme espace vectoriel sur$\scriptstyle \mathbb {Q}$.L'existence d'une telle base est assurée si l'on suppose l'axiome du choix.Une base de Hamel de ℝ est non dénombrable.

Voir aussi

Articles connexes

• Axiomatisation de Tarski des nombres réels
• Construction des nombres réels
• Relation d'ordre
• Suite de Cauchy
• Espace complet

Liens externes

• Histoire des nombres
• Chronomath
• Construction des nombres réels
• [PDF]Une histoire des mathématiques
• J.J. O'ConnoretE.F. Robertson,School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews.
  • (en)Histoire des nombres réels, première partie : dePythagoreàStevin;
  • (en)Histoire des nombres réels, seconde partie : deStevinàHilbert.
  • (en)Étude plus approfondie.
• (histoire des sciences)L'article de 1874 de Cantor sur la non-dénombrabilité des réels en ligne et commenté sur le siteBibNum.

Bibliographie

Histoire des mathématiques

• Richard Mankiewicz, Christian Jeanmougin et Denis Guedj,Une histoire des mathématiques,Seuil
• Denis Guedj,L'Empire des nombres,Gallimard, coll. «Découvertes Gallimard/ Sciences et techniques » (n^o300)
• Jean Dhombreset al.,Mathématiques au fil des âges[détail des éditions]
• Nicolas Bourbaki,Éléments d'histoire des mathématiques,Masson

Livres historiques de mathématiques

• Euclide,Les ÉlémentsVol 4 Livre XI à XIII,Puf
• Isaac Newton,préface deVoltaireet traduction d'Émilie du Châtelet,Philosophiae naturalis principia mathematica(« Principes mathématiques de la philosophie naturelle »), Dunod

Références sur les nombres réels et l'analyse élémentaire

• N.Bourbaki,Éléments de mathématique, livre III: Topologie générale[détail des éditions]
• N. Bourbaki,Éléments de mathématique, Livre IV - Fonctions d'une variable réelle
• Roger Godement,Analyse mathématique
• Hassan Boualem et Robert Brouzet,La Planète R: Voyage au pays des nombres réels,248 pages, éditionDunod,2002,(ISBN978-2100059409)