Relation d'ordre

Unerelation d'ordredans unensembleest unerelation binairedans cet ensemble qui permet de comparer ses éléments de manière cohérente. Un ensemble muni d'une relation d'ordre est un ensemble ordonné. On dit aussi que la relation définit sur cet ensemble unestructured'ordre ou tout simplement un ordre.

Définitions et exemples

Relation d'ordre

Une relation d'ordre est unerelation binaire réflexive,antisymétriqueettransitive: soitEun ensemble; unerelation interne≤ surEest une relation d'ordre si pour tousx,yetzéléments deE:

x≤x(réflexivité)
(x≤yety≤x) ⇒x=y(antisymétrie)
(x≤yety≤z) ⇒x≤z(transitivité)

La forme même de ces axiomes permet d'affirmer que ces derniers sont également vérifiés par larelation binaire réciproque≥, définie par

y≥xsi et seulement six≤y.

À toute relation d'ordre est donc associée une relation d'ordre opposée sur le même ensemble; les formulesx≤yety≥xse lisent indifféremment: «xest inférieur ày», ou «xest plus petit quey», ou «yest supérieur àx», ou «yest plus grand quex» (ou parfois «xest au plus égal ày», ou «yest au moins égal àx»)^[1].

On associe également à toute relation d'ordre ≤, une relation dite d’ordre strictnotée alors < (qui n'est pas une relation d'ordre au sens défini précédemment puisque la réflexivité n'est pas satisfaite), qui est la restriction de la relation d'ordre aux couples d'éléments distincts:

x<ysi et seulement six≤yetx≠y.

La formulex<ys'écrit aussiy>x,et se lit: «xest strictement inférieur ày», ou «xest strictement plus petit quey», «yest strictement supérieur àx», ou «yest strictement plus grand quex»^[2].

Pour éviter toute confusion, une relation d'ordre au sens de la définition générale (réflexive et antisymétrique) est parfois qualifiée d’ordrelarge.

Certaines relations d'ordre sont desrelationstotales,c'est-à-dire que deux éléments deEsont toujourscomparables:pour tousx,ydeE:

x≤youy≤x.

On dit alors que ≤ est une relation d'ordre total,et que l'ensembleEesttotalement ordonnépar cette relation. Une relation d'ordre surEest ditepartiellesi elle n'est pas totale, etEest alorspartiellement ordonné.Il est à noter qu'en anglais, on désigne parordre partielun ordre quelconque, qui peut donc être total. Cette terminologie est parfois également utilisée en français.

Ensemble ordonné

Un ensemble ordonné est un ensemble muni d'une relation d'ordre. Si un ensemble ordonné est fini, il peut être représenté graphiquement sous la forme d'undiagramme de Hasse,de façon similaire à la représentation habituelle d'ungraphesur papier, ce qui peut permettre de travailler plus aisément dessus. S'il est infini, on peut dessiner une partie de son diagramme de Hasse.

Exemples et contre-exemples

La relation « est inférieur (ou égal) à » est une relation d'ordre total sur l'ensemble des entiers (naturelsourelatifs), sur l'ensemble desrationnelsou l'ensemble desréels.
Étant donné un ensemble ordonné (E,≤), l'ordre lexicographiquesur l'ensemble desn-upletsd'éléments deEest l'« ordre du dictionnaire », plus simple à définir parson ordre strict associé:(x₁,…,x_n) < (y₁,…,y_n) six_i= y_ipour tous les indicesijusqu'à un certaink<netx_k+1<y_k+1.
La relation d'inclusion, « est unsous-ensemblede » ou « est contenu dans », est une relation d'ordre sur l'ensembleEdes parties d'un ensembleX.SiXest fini,Eest fini (plus précisément siXcontientnéléments,Een contient 2ⁿ). La figure 1 représente lediagramme de Hassede (E,⊂) pourn= 3.
Toute restriction à une partieFdeEd'un ordre surEest un ordre surF.En particulier (d'après le point précédent): sur n'importe quel ensembleFde parties d'un ensembleX,l'inclusion est une relation d'ordre — cet « exemple » est en fait générique: tout ordre estisomorpheà un ordre de cette forme^[3];
La relation dedivisibilité est une relation d'ordre partiel sur les entiers naturels.La figure 2 représente le diagramme de Hasse de sa restriction aux entiers de 0 à 9.
L'ordre d'inclusion (cf. ci-dessus), sur l'ensemble des parties d'unproduit cartésienU×V,est lafinesse relative des relations binairesdeUdansV.PourV=U,cette relation permet par exemple (par restriction, cf. ci-dessus) de comparer entre elles:
- lesrelations d'équivalencesurU(ou, ce qui revient au même: lespartitionsdeU);
- les relations d'ordre surU.
Étant donné unefamille(E_i)_i∈Id'ensembles ordonnés, l'ordre naturel sur l'ensemble produit∏_i∈IE_iest l'ordre produit,défini par:(x_i)_i∈I≤ (y_i)_i∈Isi et seulement si pour tout indicei,x_i≤y_i.Par exemple sur l'ensembleE^Ides fonctions deIdans un ensemble ordonnéE,l'ordre produit est donné par:f≤gsi pour touti∈I,f(i) ≤g(i). Pour l'ordre produit surℝ^ℝ,une fonction est plus petite qu'une autre si sa courbe est toujours en dessous de l'autre courbe.
On peut généraliser l'ordre lexicographique (mentionné en début de liste) de la façon suivante^[4]:siIestbien ordonné,on définit un ordre sur ∏_i∈IE_ipar:(x_i)_i∈I< (y_i)_i∈Isi et seulement s'il existe des indicesipour lesquelsx_i≠y_iet si, pour le plus petit d'entre eux, on ax_i<y_i.Si les ordres sur lesE_isont totaux, l'ordre lexicographique sur ∏_i∈IE_il'est aussi (mais pas en général l'ordre produit).
Unerelation de préordren'est pas une relation d'ordre en général car il manque la propriété d'antisymétrie. Mais toutquotientd'un préordre par larelation d'équivalenceassociée est un ordre.
Unerelation d'ordre strictsur un ensemble non vide n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas réflexive. Mais si < est un ordre strict surE,la relation «x<youx = y» est un ordre surE.
Unerelation d'ordre cycliquen'est pas une relation d'ordre car c'est unerelation ternaire.Mais les relations binaires obtenues en fixant l'un de ses trois arguments sont des relations d'ordre strict.
Unarbre enracinéest un graphe orienté acyclique associé à une relation d'ordre partiel particulière, importante en informatique.

Notions associées

Applications monotones

Article détaillé:Fonction monotone.

Si $(E,\leq)$ et $(F,≼)$ sont deux ensembles ordonnés, une application $f$ de $E$ dans $F$ est ditecroissante(ou parfois croissante au sens large, ou isotone^[5]) quand elle conserve l'ordre,décroissante(au sens large), ou antitone^[5]quand elle inverse celui-ci, c'est-à-dire que:

f

est croissante quand pour tous

x

et

y

de

E

,

x \leq y \Rightarrow f (x) ≼ f (y)

;

f

est décroissante quand pour tous

x

et

y

de

E

,

x \leq y \Rightarrow f (x) ≽ f (y)

.

Elle est ditestrictement croissantequand elle conserve l'ordre strict: pour tous $x$ et $y$ de $E$ , $x < y \Rightarrow f (x) ≺ f (y)$ ,

etstrictement décroissantequand elle l'inverse: pour tous $x$ et $y$ de $E$ , $x < y \Rightarrow f (x) ≻ f (y)$ .

À noter que si une application croissante de $(E,\leq)$ dans $(F,≼)$ estinjectivealors elle est strictement croissante, mais que laréciproqueest fausse en général (elle est vraie cependant si l'ordre sur $E$ est total)^[6].

Une applicationmonotoneou monotone au sens large (resp. strictement monotone) est une application croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante).

Labijection réciproqued'unebijectioncroissante $f :(E,\leq) \to (F,≼)$ n'est pas nécessairement croissante (prendre par exemple^[7]l'application identité,de $E$ = ℝ muni de l'ordre d'égalitédans $F$ = ℝ muni de l'ordre usuel). Elle l'est cependant si ≤ est total (si $f -1 (y 1) \geq f -1 (y 2)$ alors, par croissance de $f$ , $y 1 ≽ y 2$ .Donc parcontraposée:si $y 1 ≺ y 2$ et si ≤ est total alors $f -1 (y 1) < f -1 (y 2)$ ).

Unisomorphisme entre deux ensembles ordonnés $(E,\leq)$ et $(F,≼)$ est une bijection $f$ de $E$ dans $F$ qui est croissante et dont la réciproque est croissante, ce qui revient à dire que $f$ est bijective et vérifie pour tous $x$ et $y$ de $E$ :

x \leq y \Leftrightarrow f (x) ≼ f (y)

^[8].

Unplongementd'ensembles ordonnés de $(E,\leq)$ dans $(F,≼)$ est une application $f$ de $E$ dans $F$ vérifiant pour tous $x$ et $y$ de $E$ :

x \leq y \Leftrightarrow f (x) ≼ f (y)

(une telle application est forcémentinjective). Les isomorphismes d'ordres sont donc les plongementssurjectifs^[8].

Dans lacatégoriedes ensembles ordonnés, lesmorphismessont par définition les applications croissantes^[9],et lesisomorphismessont, par conséquent, ceux introduits ci-dessus.

Plus grand élément et élément maximal

Dans un ensemble ordonnéE,il n'existe pas forcément deplus grand élément.SiEest fini, il contiendra (au moins) unélément maximal.SiEest unensemble inductifinfini, lelemme de Zorngarantit encore l'existence d'un élément maximal.

Relation d'ordre strict

On a vu qu'à une relation d'ordre ≤ sur un ensembleE,on associait naturellement une relation < surE,qui est alors unerelation d'ordre strict,c'est-à-direantiréflexive(x<xn'est vrai pour aucun élémentxdeE) et transitive.

Or toute relation d'ordre strict estantisymétriqueet mêmeasymétrique(ce qui équivaut à: antisymétrique et antiréflexive), c'est-à-dire que pour tousxety:

x<y⇒ non (y<x).

Par conséquent, réciproquement, à toute relation d'ordre strict < surE,on peut associer une relation d'ordre ≤ surEen posant:

x≤ysi et seulement six<youx=y.

On vérifie facilement qu'en mettant bout à bout ces deux constructions, à partir d'un ordre ou d'un ordre strict, on retrouve la relation de départ. Choisir l'une ou l'autre des axiomatisations n'a donc pas d'importance en soi.

Pour un ordre strict, la totalité s'exprime ainsi:

∀x,y∈E(x<youx=youy<x).

et l'on dit alors que c'est unerelation d'ordre strict total^[10].Il n'y a pas de confusion possible avec la notion derelation totale,car les relations d'ordre strict sont antiréflexives, tandis que les relations totales sont réflexives.

Pour un ordre strict total, les trois possibilités —x<y,x=yety<x— sont exclusives, et l'on parle parfois, à la suite deCantor,depropriété detrichotomie.

Relation acyclique

Laclôture réflexive transitived'une relationRest une relation d'ordre — ou encore: laclôture transitivedeRest antisymétrique — si et seulement siRestacyclique.

La clôture transitive deRest un ordre strict si et seulement siRest strictement acyclique, c'est-à-dire si songraphe est acyclique.

Négation (ou complémentaire) d'une relation d'ordre

La négation d'une relation binaire $R$ définie sur un ensemble $A$ est la relation de graphe lecomplémentairede celui de $R$ dans $A\times A$ .On la note $\not \!R$ . Dit autrement, deux éléments sont en relation par $\not \!R$ si et seulement s'ils ne le sont pas par $R$ .

Dire qu'un ordre est total, c'est dire que sa négation est l'ordre strict inverse. C’est-à-dire qu'il y a équivalence pour un ordre $\leqslant$ entre:

$\leqslant$ est total;
$x\not \leqslant y\iff y<x$ .

Par contre, dès qu'il existe deux éléments distincts non comparables par un ordre, sa négation ne peut être un ordre (strict ou large), car elle n'est pas antisymétrique. La négation d'un ordre non total n'est donc jamais un ordre.

Par exemple, la négation de l'inclusion ⊄ sur l'ensemble des parties d'un ensemble d'au moins deux éléments n'est pas un ordre, car, sia≠b,on a toujours {a}≠{b} avec cependant {a}⊄{b} et {b}⊄{a}.

Ordre dual

L'ordre dual(ouordre opposé^[11]) d'un ensemble ordonnéP= (E,≤) est l'ensemble ordonnéP^op= (E,≤^op), où ≤^opest larelation d'ordre opposée de ≤, c'est-à-dire la relation ≥(on utilise parfois * au lieu de^op)^[11]^,^[12].

Le bidual (P^op)^opdePest égal àP.

Préordre

Article détaillé:Préordre.

Unpréordreest une relation binaireréflexiveettransitive.

Tout préordre ℛ sur un ensemble $E$ induit une relation d'ordre sur l'ensemble $E$ quotientépar larelation d'équivalence~ définie par « $x ~ y si et seulement si (x ℛ y et y ℛ x)$ ».

Pour plus de précisions et des exemples, voir l'article détaillé.

Propriétés complémentaires

Compatibilité

La compatibilité d'une relation d'ordre avec unestructure algébriquene se définit qu'au cas par cas^[13].

Un ordre ≤ sur undemi-groupe(G,+) est dit compatible si, pour tousx,yetzdansGtels quex≤y,on ax + z≤y + zetz + x≤z + y.
Lorsque (G,+) est ungroupe,on dit alors que (G,+, ≤) est ungroupe ordonné,et qu'un élément estpositifs'il est supérieur à l'élément neutre.
Tout groupe totalement ordonnéarchimédienestabélienet seplongedans (ℝ,+, ≤).
Unanneauou uncorps(A,+, ×) est ditordonnés'il est muni d'un ordre ≤ tel que (A,+, ≤) soit un groupe ordonné et que le produit de deux éléments positifs soit positif.
Toutcorps totalement ordonnéarchimédien se plonge dans (ℝ, +, ×, ≤).
Dans un corps totalement ordonné, –1 n'est jamais uncarréni même une somme de carrés.
Unespace vectoriel ordonnéest unespace vectorielréel (E,+, ∙) muni d'un ordre ≤ tel que (E,+, ≤) soit un groupe ordonné et que tout vecteur produit d'un réel positif par un vecteur positif soit positif.

Ensemble bien ordonné

Un ensemble ordonné est ditbien ordonnési toutsous-ensemblenonvidede cet ensemble pos sắc de unplus petit élément.

Treillis

Un ensemble est appelétreilliss'il est ordonné et si tout couple d'éléments pos sắc deune borne supérieure et une borne inférieure.

Applications

Topologie de l'ordre

Un ensemble ordonné peut être muni deplusieurs topologies issues de l'ordre:la topologie de l'ordre, la topologie de l'ordre à droite et la topologie de l'ordre à gauche.

Liens avec les complexes simpliciaux

Une classe importante decomplexes simpliciauxprovient d'ensembles ordonnés finis. On définit le complexe d'ordre D(P) d'un ensemble ordonné fini P comme étant l'ensemble deschaînesde P. Le complexe d'ordre esttrivialementun complexe simplicial.

L'étude de l'ensemble ordonné en lui-même donne des informations sur son complexe d'ordre, et il est donc intéressant d'étudier un complexe simplicial comme le complexe d'ordre d'un ensemble ordonné.

Notes et références

↑N.Bourbaki,Éléments de mathématique:Théorie des ensembles[détail des éditions],p.III.4.
↑Bourbaki,p.III.5.
↑(en)A. G. Kurosh,Lectures in General Algebra,Pergamon Press,1965(lire en ligne),p.11.
↑Bourbaki,p.III.22-23.
↑^aetbNathalie Caspard, Bruno Leclerc et Bernard Monjardet,Ensembles ordonnés finis: concepts, résultats et usages,Springer,2007(lire en ligne),p.73.
↑Bourbaki,p.III.7 et III.14.
↑Gustave Choquet,Cours d'analyse,1966,p.23.
↑^aetb(en)Steven Roman,Lattices and Ordered Sets,Springer,2008,305p.(ISBN 978-0-387-78900-2,lire en ligne),p.13.
↑Roman 2008,p.284.
↑Par exempleJ.Riguet,«Relations binaires, fermetures, correspondances de Galois»,Bull. Soc. Math. Fr.,vol.76,‎1948,p.114-155(lire en ligne).
↑^aetb(en)George Bergman,An invitation to general algebra and universal constructions,Cham,Springer,2015,2^eéd.(1^reéd.1988), 572p.(ISBN 978-3-319-11478-1,lire en ligne),p.113.
↑Bourbaki,p.III.4 et III.77.
↑Jean-Pierre Ramis,André Warusfeletal.,Mathématiques Tout-en-un pour la Licence: Niveau L1,Dunod,2013,2^eéd.(lire en ligne),p.37.

Voir aussi

Articles connexes

Antichaîne
Corps ordonné
Correspondance de Galois
Idéal (théorie des ordres)
Order,revue mathématiques traitant de la théorie des ordres
Ordre bien fondé
Ordre cyclique
Ordre partiel complet
Section commençante
Théorème d'extension de Szpilrajn
Type d'ordre

Bibliographie

(en)Richard P.Stanley,Enumerative Combinatorics,vol.1[détail des éditions](présentation en ligne)
(en)Efe A. Ok,Order Theory and its Applications(lire en ligne)

Portail des mathématiques

[1] N.Bourbaki,Éléments de mathématique:Théorie des ensembles[détail des éditions],p.III.4.

[2] Bourbaki,p.III.5.

[3] (en)A. G. Kurosh,Lectures in General Algebra,Pergamon Press,1965(lire en ligne),p.11.

[4] Bourbaki,p.III.22-23.

[Caspard73-5] tbNathalie Caspard, Bruno Leclerc et Bernard Monjardet,Ensembles ordonnés finis: concepts, résultats et usages,Springer,2007(lire en ligne),p.73.

[6] Bourbaki,p.III.7 et III.14.

[7] Gustave Choquet,Cours d'analyse,1966,p.23.

[Roman13-8] tb(en)Steven Roman,Lattices and Ordered Sets,Springer,2008,305p.(ISBN 978-0-387-78900-2,lire en ligne),p.13.

[9] Roman 2008,p.284.

[10] Par exempleJ.Riguet,«Relations binaires, fermetures, correspondances de Galois»,Bull. Soc. Math. Fr.,vol.76,‎1948,p.114-155(lire en ligne).

[Bergman-11] tb(en)George Bergman,An invitation to general algebra and universal constructions,Cham,Springer,2015,2^eéd.(1^reéd.1988), 572p.(ISBN 978-3-319-11478-1,lire en ligne),p.113.

[12] Bourbaki,p.III.4 et III.77.

[13] Jean-Pierre Ramis,André Warusfeletal.,Mathématiques Tout-en-un pour la Licence: Niveau L1,Dunod,2013,2^eéd.(lire en ligne),p.37.

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