Smash-produit

Enmathématiqueset plus précisément entopologie algébrique,lesmash-produitX∧Yde deuxespaces topologiquespointés(X,x₀) et (Y,y₀) est lequotientduproduitX×Ypar lesidentifications(x,y₀) ∼ (x₀,y),pour toutx∈Xet touty∈Y.Cet espace dépend du pointage (sauf siXetYsonthomogènes).

Les espacesXetYsontplongésdansX×Ypar identification auxsous-espacesX× {y₀} et {x₀} ×Y,qui s'intersectent en un seul point: (x₀,y₀), le point base deX×Y.La réunion de ces deux sous-espaces est donchoméomorpheauwedgeX∨Y,ce qui permet d'écrire le smash-produit comme le quotient suivant:

$X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).$

Le smash-produit a d'importantes applications en théorie de l'homotopie,où l'on travaille souvent avec dessous-catégoriesde lacatégorie des espaces topologiques,ce qui conduit à modifier légèrement la définition. Par exemple dans la sous-catégorie desCW-complexeson remplace, dans la définition, le produit d'espaces topologiques par le produit de CW-complexes.

Exemples

Le smash-produit de tout espace pointéXavec unen-sphèreesthoméomorpheà lasuspension réduitedeXitéréenfois:

$X\wedge S^{n}=\Sigma ^{n}X.$

Par exemple:X∧S⁰=X,X∧S¹= ΣXetS^m∧Sⁿ= ΣⁿS^m= S^{m + n},en particulierS¹∧S¹= ΣS¹=S²est un quotient dutoreT².

Interprétation comme produit monoïdal symétrique

Pour tous espaces pointésX,YetZd'une sous-catégorie « appropriée », comme celle desespaces compactement engendrés,on a des homéomorphismes naturels (préservant le point base):

$X\wedge Y\simeq Y\wedge X\quad {\text{et}}\quad (X\wedge Y)\wedge Z\simeq X\wedge (Y\wedge Z),$

qui font d'une telle sous-catégorie unecatégorie monoïdale symétrique,avec le smash-produit comme produit monoïdal et la 0-sphère pointée (l'espace discretà deux éléments) commeobjet unité.

La catégorie naïve des espaces pointés, qui n'est pascartésienne fermée,n'est pas monoïdale:(ℚ∧ℚ)∧ℕ ≄ ℚ∧(ℚ∧ℕ).

Situation d'adjonction

Le smash-produit joue, dans la catégorie des espaces pointés, le même rôle que leproduit tensorieldans la catégorie desmodulessur unanneau commutatif.En particulier siAestlocalement compact,lefoncteur(–∧A) estadjoint à gauchedufoncteur Hom(A,–):

$\mathrm {Hom} (X\wedge A,Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)),$

où Hom(A,Y) est l'espace des morphismes d'espaces pointés, muni de latopologie compacte-ouverte.

En prenant pourAlecercle unitéS¹,on obtient que le foncteur suspension réduite Σ est adjoint à gauche du foncteurespace des lacetsΩ:

$\mathrm {Hom} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\Omega Y).$

Notes et références

• (en)AllenHatcher,Algebraic Topology,New York,CUP,2001,544p.(ISBN978-0-521-79540-1,lire en ligne)

• (en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«Smash product»(voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Bouquet (mathématiques)
• Joint (mathématiques)
• Théorème de suspension de Freudenthal