Spin

Lespin(/spin/) est, enphysique quantique,une des propriétés internes desparticules,au même titre que lamasseou lacharge électrique.Comme d'autresobservablesquantiques, sa mesure donne desvaleurs discrèteset est soumise auprincipe d'incertitude.C'est la seule observable quantique qui ne présente pas d'équivalent classique,contrairement, par exemple, à laposition,l'impulsion ou l'énergied'une particule.

Il est toutefois souvent assimilé aumoment cinétique(voirLe moment cinétique de spinetPrécession de Thomas). Enfin, lemoment cinétique intrin sắc que(de spin) et lemoment magnétique intrin sắc que(de spin) sont tous deux confondus sous le terme de « spin ».

Le spin a d'importantes implications théoriques et pratiques, il influence pratiquement tout le monde physique. Il est responsable dumoment magnétique de spinet donc de l'effet Zeemananomal(parfois incorrectement appeléanormal) qui en découle.

Les particules sont classées selon la valeur de leurnombre quantiquede spin (aussi appelé communément lespin): lesbosons,qui ont un spin entier (0, 1, 2...), et lesfermions,pour lesquels le spin estdemi-entier(1/2, 3/2, 5/2...). Fermions et bosons se comportent différemment dans des systèmes comprenant plusieursparticules identiques;le fait que l'électron soit un fermion est la cause duprincipe d'exclusion de Pauliainsi que des irrégularités de latable périodique des éléments.L'interaction spin-orbiteconduit à lastructure fineduspectre atomique.Le spin de l'électron joue un rôle important dans lemagnétisme.La manipulation des courants de spins dans des nano-circuits conduit à un nouveau champ de recherche: laspintronique.La manipulation des spins nucléaires par des champs radiofréquences conduit au phénomène derésonance magnétique nucléaireutilisé dans la spectroscopieRMNet l'imagerie médicale (IRM). Le spin du photon — ou plus exactement sonhélicité— est associé à lapolarisationde la lumière.

Historique

La genèse du concept de spin fut l'une des plus difficiles de l'histoire de la physique quantique aux alentours des années 1920. L'effet Zeemananomal, lastructure hyperfinedesraies spectralesobservées, ou encore l'expérience de Stern et Gerlach(1922) po sắc rent à cette époque de grosses difficultés d'interprétation.

La notion théorique de spin a été introduite parPauliendécembre 1924pour le noyau et pas pour l'électron, afin d'expliquer un résultat expérimental qui restait incompréhensible dans le cadre naissant de lamécanique quantiquenon relativiste: l'effet Zeemananomal. L'approche développée par Pauli consistait à introduire de façonad hocle spin.

La découverte, enseptembre 1925,du concept de spin de l'électron (au sens d'un moment cinétique intrin sắc que d'une particule élémentaire) parSamuel GoudsmitetGeorge Uhlenbeck,fut révolutionnaire. Immédiatement après la publication, un problème de facteur 2 dans la structure fine du spectre de l'hydrogène, identifié parHeisenberg,fut résolu par les deux physiciens et publié endécembre 1925.

Le spin a d'abord été interprété comme un degré de liberté supplémentaire, s'ajoutant aux trois degrés de liberté de translation de l'électron: sonmoment cinétiqueintrin sắc que (oupropre). En d'autres termes, l'électronponctuelétait vu comme tournant sur lui-même — d'où le nom de «spin» (de l'anglais«to spin»: faire tourner). Mais il est vite apparu que cette « rotation » devait être considérée comme purement quantique: elle n'a pas d'équivalent enmécanique classique.La représentation du spin en termes de simple rotation a donc été abandonnée.Wolfgang Pauliavait déjà noté en 1924 que, compte tenu des dimensions estimées de l'électron, une rotation de l'électron nécessiterait une vitesse tangentielle de rotation à son équateur qui serait supérieure à lavitesse de la lumière,vitesse par principe infranchissable selon la théorie de larelativité restreinte.

En 1927, Wolfgang Pauli proposa la modélisation du spin en termes dematrice,ce qui correspond à une écriture en termes d'opérateurssur lafonction d'ondeintervenant dans l'équation de Schrödinger:l'équation de Pauli.En 1928, à partir de l'équation de Klein-Gordon,Paul Diracdémontra qu'une particule ayant un spin non nul vérifie une équationrelativiste,appelée aujourd'huiéquation de Dirac.

Enfin, c'est enthéorie quantique des champsque le spin montre son caractère le plus fondamental. L'analyse dugroupe de Poincaréeffectuée parWigneren 1939 montra en effet qu'une particule est associée à un champ quantique, opérateur qui se transforme comme unereprésentation irréductibledu groupe de Poincaré. Ces représentations irréductibles se classent par deux nombres réels positifs: lamasseet le spin.

Le spin du photon a été mis en évidence expérimentalement parRâmanet Bhagavantam en 1931.

Le moment cinétique de spin

Le spin est le moment cinétique intrin sắc que des particules quantiques. Il est donc soumis aux mêmes lois générales qui régissent tout autremoment cinétique quantique,tel que, par exemple, lemoment cinétique orbital.

Le spin est donc unopérateurvectorielhermitien${\hat {S}}$comportant trois composantes, notées usuellement${\hat {S}}_{x},\,{\hat {S}}_{y}$et${\hat {S}}_{z}$par référence aux trois axes de coordonnées cartésiennes utilisables dans l'espace physique. Ces composantes sont desobservablesvérifiant les relations de commutations caractéristiques d'unmoment cinétique:

$\left[\,{\hat {S}}_{i}\,,\ {\hat {S}}_{j}\,\right]\ =\ i\ \hbar \ \epsilon _{ijk}\ {\hat {S}}_{k}$

où$\epsilon _{ijk}$est lesymbole de Levi-Civitaet

$\left[{\hat {S}}^{2},{\hat {S}}_{i}\right]=0$.

Ces relations de commutations sont analogues à celles découvertes ennovembre 1925par Born, Heisenberg et Jordan^{[réf.souhaitée]}pour les composantes dumoment cinétique orbital.Ces relations de commutations impliquent que leprincipe d'incertitudes'applique aux mesures du spin faites dans les différentes directions de l'espace: on peut en effet mesurer très exactement la norme du vecteur et une projection sur un axe de coordonnées, mais les deux autres projections sur les deux autres axes orthogonaux ne sont plus alors mesurables précisément.

Par analogie avec les résultats obtenus pour le moment cinétique orbital (ou plus généralement pour unmoment cinétique quantique), il existe pour l'opérateur spin une base de vecteurs propres notés$|s,m_{s}\rangle$,où$s$est entier ou demi-entier, et$m_{s}$est un entier ou demi-entier prenant l'une des$2s+1$valeurs$-\,s\leq m_{s}\leq s$,tels que:

${\hat {S}}^{2}\ |s,m_{s}\rangle \ =\ s(s+1)\,\hbar ^{2}\ |s,m_{s}\rangle \qquad (1)$

${\hat {S}}_{z}\ |s,m_{s}\rangle \ =\ m_{s}\,\hbar \ |s,m_{s}\rangle \qquad (2)$.

Le nombre$s$est unnombre quantique,qui est aussi appelé lespin(de manière impropre toutefois).

Les valeurs propres des opérateurs${\hat {S}}^{2}$et${\hat {S}}_{z}$représentent l'ensemble des mesures possibles pour les deux observables, c'est-à-dire respectivement le carré de la norme, et la projection sur un axe$z$arbitraire dans l'espace.

Spin des particules élémentaires et composites

Toutes les particules connues ou d'existence fortement suspectée ont un nombre quantique de spin compris entre 0 et 2, en particulier les particules élémentaires:

• spin 0: leboson de Higgs;
• spin 1/2: l'électron,lepositron,lesneutrinos,lesquarks,etc.;
• spin 1: lephoton,legluon(vecteur de l'interaction forte), les bosonsW^±etZ⁰(vecteurs de l'interaction faible);
• spin 2: legraviton,particule hypothétique, qui serait vecteur de lagravitation.

Il n'existe pas de particule élémentaire connue de spin 3/2, mais la théorie de lasupersymétrieen prédit une, legravitino.

Le spin (à l'état fondamental) desparticules composéesde plusieurs particules élémentaires, comme leproton,leneutron,toutnoyau atomiqueou encore toutatome,est constitué des spins des particules élémentaires qui les composent, auxquels s'ajoute le moment cinétique orbital de ces différentes particules élémentaires:

• spin 0: noyaux atomiques tels que¹²C,¹⁶O,²⁸Si… et de manière générale les noyaux composés d'un nombre pair de protons et de neutrons;
• spin 1/2: leproton,leneutronet certains noyaux atomiques, par exemple:¹³C,²⁹Si,etc.;
• spin > 1/2: les noyaux de 75 % des isotopes stables, par exemple¹⁴N spin 1,³⁵Cl spin 3/2,²⁰⁹Bi spin 9/2.

Il n'est pas toujours facile de déduire le spin d'une particule à partir de principes simples; par exemple, même s'il est connu que leprotona un spin 1/2, la façon dont les particules élémentaires qui le composent sont disposées et arrangées est toujours un sujet actif de recherche (voir structure deSpin des nucléons).

Comme le montre lethéorème spin-statistique,la valeur entière ou demi-entière du spin détermine une propriété cruciale de la particule:

• si son spin est entier, elle suit lastatistique de Bose-Einstein,et c'est unboson;
• si son spin est demi-entier, en raison duprincipe d'exclusion de Pauli,elle suit lastatistique de Fermi-Dirac,et c'est unfermion.

Aux hautes températures, ces statistiques tendent toutes les deux vers lastatistique de Maxwell-Boltzmann.Aux basses températures, la différence explique que seuls les bosons puissent former uncondensat de Bose-Einstein.

Spin 1/2 - matrices de Pauli

Pour une particule de nombre quantique de spin$s=1/2$comme l'électron, le proton ou le neutron, donc$2s+1=2$:il existe seulementdeux étatsde spin distincts, caractérisés par$m_{s}=\pm 1/2$.

On note souvent les deux états propres correspondants:$|+\rangle$et$|-\rangle$,ou encore:$|\uparrow \rangle$et$|\downarrow \rangle$.

Paulia introduit troismatrices2 × 2,notées${\hat {\sigma }}_{i},\ i=x,y,z$telles que l'opérateur de spin s'écrive:

${\hat {S}}_{i}\ =\ {\frac {\hbar }{2}}\ {\hat {\sigma }}_{i}$.

Ces trois matrices de Pauli s'écrivent explicitement:

${\hat {\sigma }}_{x}\ =\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\quad {\hat {\sigma }}_{y}\ =\ {\begin{pmatrix}0&-\ \mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}};\quad {\hat {\sigma }}_{z}\ =\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-\ 1\end{pmatrix}}$.

Elles satisfont les relations de commutation:

$\left[\,{\hat {\sigma }}_{i}\,,\ {\hat {\sigma }}_{j}\,\right]\ =\ 2\ \mathrm {i} \ \epsilon _{ijk}\ {\hat {\sigma }}_{k}$.

Il a été remarqué^{[Par qui?]}qu'il s'agit là des relations entrequaternionsdécouvertes parWilliam Rowan Hamilton,ce qui donne une représentation plus compacte des opérateurs de spin^{[réf.souhaitée]}.

Les nombres quantiques de spin sont définis aussi pour les systèmes de spins couplés, tels que les atomes de plus qu'un électron. Les symboles majuscules sont employés ːSpour le spin électronique total, etm_SouM_Spour la composante sur l'axez.Une paire d'électrons dans unétat singuletde spin pos sắc de la valeurS= 0, tandis qu'une paire dans unétat tripletaS= 1, avecm_S= −1, 0, ou +1. Les nombres quantiques de spin nucléaire sont écritsIpour le spin, etm_IouM_Ipour la composante sur l'axe-z.

Orientation du spin

Composantes du spin et multiplicité de spin

En mécanique classique, le moment angulaire d'une particule pos sắc de non seulement une magnitude (vitesse de rotation de la particule), mais également une direction (direction de l'axe de rotationde la particule).

En mécanique quantique, le moment angulaire de spin (spin) contient également ces informations, mais dans une forme plus subtile. La mécanique quantique montre en effet, par l'intermédiaire des équations (1) et (2) ci-dessus (voir#Le moment cinétique de spin), que si l'état du moment angulaire de spin est l'un des états propres de${\hat {S}}^{2}$,la composante du spin mesurée selon une direction quelconque, c'est-à-dire sa projection sur un axe quelconque (par exemple l'axez), ne peut prendre que les valeurs quantifiées suivantes:

$S_{z}=\langle s,m_{s}\vert {\hat {S}}_{z}\vert s,m_{s}\rangle =m_{s}\hbar,\qquad m_{s}=-s,-s+1,\cdots,s-1,s$

oùsest le nombre quantique de spin de la particule. On peut constater qu'il existe 2s+1 valeurs possibles de$m_{s}$.Le nombre 2s+1 est appelé lamultiplicité de spin.Par exemple, il n'y a que deux valeurs possibles pour une particule de spin 1/2:$m_{s}=\pm 1/2$.Cela correspond à deuxétats quantiques,notés symboliquement$\vert \uparrow \rangle$et$\vert \downarrow \rangle$,pour lesquels la projection du spin pointe respectivement dans la direction+zou-z.La valeur de la projection dans les autres directions de l'espace,xouypar exemple, est par contre indéterminée, du fait des relations de non-commutation (ou d'« incertitude ») entre les trois composantes du spin. En d'autres termes, si on ne s'intéresse qu'à un spin individuel, il n'est pas possible de déterminer avec précision sa direction dans l'espace (c'est en quelque sorte l'équivalent duprincipe d'incertitude de Heisenbergen ce qui concerne la vitesse et la position d'une particule, qui ne peuvent pas être déterminées simultanément).

Représentation géométrique du spin par une sphère de Riemann

Représentation géométrique d'un état de spin 1/2 par une sphère de Riemann.

Unétat quantiquequelconque d'une particule isolée de spins= 1/2peut s'exprimer sous la forme générale:

$|\nearrow \rangle =a|\uparrow \rangle +b|\downarrow \rangle$

oùaetbsont deuxnombres complexes.Cette formule exprime unesuperpositiondes deux états propres.

Penrosemontre que l'état de spin 1/2 peut être caractérisé par le rapport des deux nombres complexes$u=b/a$.Si cette valeur est projetée sur unesphère de Riemann,qui permet de représenter l'ensemble des nombres complexes, il est possible d'établir une correspondance entre un état de spin et une direction dans l'espace ordinaire.

Selon cette représentation, tout état quantique$|\nearrow \rangle$d'un spins= 1/2correspond à un point sur la sphère dont laprojection stéréographiquesur le plan complexe (le plan équatorial de la sphère) est ce rapportu.Ce point définit un vecteur correspondant à l'orientation de la polarisation d'un ensemble de spins placés dans le même état$|\nearrow \rangle$(voir#Signification physique du vecteur d'orientation du spin).

Représentation sur une sphère de Bloch

Représentation de la direction moyenne (ou « polarisation ») du moment angulaire d'un spins= 1/2par rapport à un axezchoisi arbitrairement comme axe de quantification

Une autre représentation est possible, celle de lasphère de Bloch.

Dans cette représentation, les coefficientsaetbsont définis en utilisant descoordonnées angulaires sphériques:

$a=\cos(\theta /2)$

$b=\sin(\theta /2)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$

Le vecteur représentant l'état$\vert \nearrow \rangle$est alors représenté comme sur la figure ci-contre. Cette représentation est bien entendu parfaitement équivalente à la représentation précédente sur une sphère de Riemann, pour laquelle le rapport u vaut:

$u=b/a=\tan(\theta /2)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$

Signification physique du vecteur d'orientation du spin

Les représentations précédentes n'indiquent pas explicitement la direction proprement dite du spin (laquelle est indéterminée, comme il a été dit plus haut), mais plus exactement la direction moyenne d'un spin préparé expérimentalement dans un état particulier$|\nearrow \rangle$,sur lequel un grand nombre de mesures seraient réalisées, ou bien encore peut représenter celle d'un ensemble statistiquement significatif de particules placées dans le même état, sur lequel un nombre réduit de mesures (voire une seule) seraient faites. Ces deux types de protocoles de mesures donnent le même résultat, d'après leprincipe ergodiquedeGibbs.

Pour un système préparé dans unétat quantiquede spin quelconque, il n'est possible de décrire les trois projections d'un moment angulaire spin sur trois axes orthogonaux que par desvaleurs moyennes:

$\langle S_{i}\rangle =\langle \nearrow |{\hat {S}}_{i}|\nearrow \rangle \qquad i=x,y,z$

Le vecteur${\vec {S}}$défini par les trois projections${\big (}\langle S_{x}\rangle,\langle S_{y}\rangle,\langle S_{z}\rangle {\big )}$décrit une « direction » vers laquelle pointe la direction moyenne du moment angulaire du spin, et qu'il est judicieux d'appelerpolarisation.C'est exactement l'orientation de ce vecteur qui a été représentée précédemment sur la sphère de Riemann ou de Bloch. Il s'avère que ce vecteur de polarisation du spin a une signification physique pratique, notamment en spectroscopie derésonance magnétique nucléaire(RMN). Dans cette technique, les spins des protons (ou de tout autre noyau atomique possédant un spin non nul) peuvent être préparés dans n'importe quel état donné. Par exemple, si le système de spin est placé dans un champ magnétique homogène, la polarisation moyenne à l'équilibre thermodynamique correspond à l'état$|\uparrow \rangle$.L'application d'impulsions radiofréquence choisies permet ensuite de polariser les spins dans n'importe quelle autre direction de l'espace.Le signal RMN maximum est obtenu lorsque la bobine de détection est orientée selon la direction de cette polarisation.

Dans le cas de l'électron, la spectroscopie derésonance paramagnétique électronique(RPE) est fondée sur les mêmes principes et sert à étudier lesradicaux libres,c'est-à-dire les espèces qui pos sắc dent unélectron non apparié.

L'expérience de Stern et Gerlach

Différence entre le spin 1/2 de l'électron et un aimant classique, à travers l'expérience de Stern et Gerlach.

L'existence du moment cinétique de spin électronique était déduite de l'expérience de Stern et Gerlachfaite en 1922. Stern et Gerlach ont démontré que les atomes d'argent pos sắc dent deux états discrets possibles du moment cinétique, bien qu'un atome d'argent ne pos sắc de aucun moment cinétique orbital.

Le moment magnétique de spin

Facteur de Landé

Au moment cinétique orbital d'une particule de charge$q$et de masse$m$est associé unmoment magnétiqueorbital:

${\vec {\mu }}_{L}\ =\ {\frac {q}{2m}}\ {\vec {L}}$

Le facteur$q/2m$est appelérapport gyromagnétique.De même, on associe à une particule de charge$q$,de masse$m$,et de spin donné unmoment magnétique de spin:

${\vec {\mu }}_{S}\ =\ g\ {\frac {q}{2m}}\ {\vec {S}}$

où$g$est unnombre sans dimension,appeléfacteur de Landé(1921). Ce nombre varie selon la nature de la particule: on a approximativement$g=2$pour l'électron,$g=5,586$pour leproton,et$g=-\,3,826$pour leneutron.On trouve aussi des valeurs moitié pour le proton et le neutron qui correspondraient à unmoment magnétique anomal.

Magnéton de Bohr

Pour l'électron, on a les valeurs suivantes:$s=1/2$et$g=2,002$;on introduit alors le « quantum magnétique » suivant, appelémagnéton de Bohr:

$\mu _{\mathrm {B} }={\frac {e\hbar }{2m_{e}}}$

Moment magnétique anomal de l'électron

L'équation de Dirac prédit pour l'électron un facteur de Landé exactement égal à$g=2$.Or, la valeur expérimentale admise en 2005 vaut:

$g\ \simeq \ 2,002\ 319\ 304\ 373\ 7$

Il existe donc un écart, décelé pour la première fois en 1947 dans la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium:on parle alors dumoment magnétique anomalde l'électron. Lathéorie quantique des champsdumodèle standardpermet de rendre compte de cette anomalie avec une très grande précision.

Spin et représentation de groupes

L'analyse du comportement des objets sous l'effet des rotations nécessite de prendre en compte la structure mathématique degroupeformé par celles-ci. À un objet se transformant sous les rotations est alors associée unereprésentation de groupe.Deux objets ayant des propriétés de symétrie similaires seront donc associés à des représentationséquivalentesdu groupe des rotations. De ce point de vue, le spin n'est rien d'autre qu'un nombre qui permet declassifierles différentesreprésentations irréductiblesnon équivalentes du groupe des rotations.

Le spin dans l'art

FatheretMotherde la sérieSpin Family(2009), par le physicien et sculpteurJulian Voss-Andreae.Les deux objets représentés illustrent la géométrie d’un objet de spin 5/2 (le « mâle » bleu à gauche) et d’un objet de spin 2 (la « femelle » rose à droite). L’œuvreSpin Family,présentée dans l’exposition « Quantum Objects », compare avec humour les fermions au sexe masculin et les bosons au sexe féminin. Les objets de spin 1/2, 1, 3/2, 2 et 5/2 constituent alors une famille de 5 personnes.

Voir aussi

Bibliographie

• Wolfgang Pauli; Zeitschrift fur Physik 31 (1925) 373.
• George E. Uhlenbeck et Samuel Goudsmit; Naturwissenschaften 13 (1925) 953.
• Samuel Goudsmit et George E. Uhlenbeck; Nature 117 (1926) 264.
• Sin-Itiro Tomonaga;The story of spin,The university of Chicago press (1997),(ISBN0-226-80794-0).Traduction anglaise d'un ouvrage paru en japonais en 1974.
• Marc Knecht;The anomalous magnetic moments of the electron and the muon,séminaire Poincaré (Paris,12 octobre 2002), publié dans: Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (Eds.);Poincaré Seminar 2002,Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003),(ISBN3-7643-0579-7).

Articles connexes

• Principe d'exclusion de Pauli
• Physique des particules
• Mécanique quantique
• Symétrie (physique)
• Principe d'incertitude
• Théorie quantique des champs
• Moment cinétique quantique
• Moment cinétique orbital
• Moment magnétique de spin
• Moment magnétique anomal
• Spintronique
• Spineur

Liens externes

• Animation, applications et recherches liées au spin