Test de Jarque-Bera

Test de Jarque Bera

Type	Test de normalité
Nommé en référence à	Carlos Jarque Uribe,Anil K. Bera(en)

Letest de Jarque-Beraest untest d'hypothèsequi cherche à déterminer si des données suivent uneloi normale.

Présentation

Comme pour chaque test d'hypothèse, il faut poser unehypothèse nulleà valider:

• $H_{0}$:les données suivent une loi normale.
• $H_{1}$:les données ne suivent pas une loi normale.

La variable de Jarque-Bera s'écrit

${\mathit {JB}}={\frac {n-k}{6}}\left(S^{2}+{\frac {(K-3)^{2}}{4}}\right)$

avec:

• n,le nombre d'observations
• k,le nombre de variables explicatives si les données proviennent des résidus d'une régression linéaire. Sinon,kreste nul.
• S,lecoefficient d'asymétriede l'échantillon testé.
• K,lakurtosisde l'échantillon testé.

Mathématiquement,SetKsont définis par:

${\begin{aligned}&S={\frac {{\hat {\mu }}_{3}}{{\hat {\sigma }}^{3}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\\&K={\frac {{\hat {\mu }}_{4}}{{\hat {\sigma }}^{4}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}},\end{aligned}}$

avec${\hat {\mu }}_{3}$et${\hat {\mu }}_{4}$les estimateurs du troisième et quatrième moments,${\bar {x}}$est lamoyennede l'échantillon et${\hat {\sigma }}^{2}$est lavariancede l'échantillon.

La statistiqueJBsuit asymptotiquement uneloi du χ²à deux degrés de liberté.

Ce test est fréquemment utilisé pour déterminer si les résidus d'unerégression linéairesuivent une distribution normale. Certains auteursproposent de corriger par le nombrekde régresseurs, tandis que d'autresne le mentionnent pas.

Une loi normale a un coefficient d'asymétrie de 0 et une kurtosis de 3. On saisit alors que si les données suivent une loi normale, le test s'approche alors de 0 et on accepte (ne rejette pas)H₀au seuilα.

Approche plus formelle

Le test de Jarque-Bera ne teste pas à proprement parler si les données suivent une loi normale, mais plutôt si lekurtosiset lecoefficient d'asymétriedes données sont les mêmes que ceux d'une loi normale de mêmeespéranceetvariance.

On a donc:

$H_{0}:S=0{\mbox{ et }}K=3\,$

$H_{1}:S\neq 0{\mbox{ ou }}K\neq 3\,$

Il s'agit d'un test du type multiplicateur de Lagrange.

Logiciels pour le calcul du test de Jarque-Bera

Avec lelogiciel libre de statistiques R,il est possible de calculer le test de Jarque-Bera à partir du paquettseries,ainsi qu'avec le paquetmoments.

Un autre paquet,normtest,propose plusieurs autrestest de normalité.

Pour calculer le test de Jarque-Bera dans un environnement basé sur le langage Python, le paquet "scipy.stats" propose une fonction dédiée nommée "jarque_bera".

Références

Jarque, Carlos M. & Anil K. Bera (1980). Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals.Economics Letters6 (3): 255–259.

Bera, Anil K., Carlos M. Jarque (1981). Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence.Economics Letters7 (4): 313–318

Jarque, C. M. & Bera, A. K. (1987), A test for normality of observations and regression residuals,International Statistical Review55, 163–172.

Voir aussi

• Test d'hypothèse
• Test du χ²,sectionTest d'adéquation
• Loi normale,sectionTests de normalité

Liens externes

Ricco Rakotomalala,Tests de Normalité,Techniques empiriques et Tests statistiques

Raymond Sneyers,Sur les tests de normalité,Revue de Statistique Appliquée,2(22), 29-36, 1974.