Théorème de Borel-Cantelli

Lethéorème de Borel-Cantellioulemmede Borel-Cantelli,nommé d'après les mathématiciensÉmile BoreletFrancesco Paolo Cantelli,est un résultat dethéorie de la mesuretrès utilisé enthéorie des probabilités,par exemple il peut être utilisé pour démontrer laloi forte des grands nombres.

Introduction

En théorie des probabilités, ce théorème concerne une suite d'événementset énonce que:

Lemme de Borel-Cantelli—Si la somme des probabilités d'une suite$(A_{n})_{n\geq 0}$d'événements d'unespace probabilisé$\left(\Omega,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$est finie, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se réalisent simultanément est nulle.

L'indépendancedes événements n'est pas nécessaire. Par exemple, considérons une suite$(X_{n})_{n\geq 1}$devariables aléatoires,telle que, pour tout$n\geq 1,$

$\mathbb {P} (X_{n}=0)={\frac {1}{n^{2}}}.$

La somme des$\mathbb {P} (X_{n}=0)$est finie,donc d'après le lemme de Borel-Cantelli la probabilité que$X_{n}=0$se produise pour une infinité d'indices$n$est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1,$X_{n}$est non nul à partir d'un certain rang (aléatoire)$n_{0}.$On a donc appliqué le lemme de Borel-Cantelli à la suite d'événements$(A_{n})_{n\geq 0}$définie par

$A_{n}=\{X_{n+1}=0\}=\{\ Omega \in \Omega \ |\ X_{n+1}(\ Omega )=0\}$.

Limite supérieure d'ensembles

Définition—Lalimite supérieure d'une suite (A_n)_n≥0de partiesd'un ensemble$\Omega$est l'ensemble$\textstyle \limsup _{n}\,A_{n}$des éléments$\ Omega$de$\Omega$tels que l'assertion$\{\ Omega \in A_{k}\}$soit vérifiée pour une infinité d'indices$k\geq 0$.

En d'autres termes, on peut dire que$\textstyle \ Omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$si et seulement si l'ensemble$\{k\geq 0\ \vert \ \ Omega \in A_{k}\}$estinfini,ou biennon borné.Une formulation équivalente est la suivante: pour tout$n\geq 0$,on peut trouver$k\geq n$tel que$\ Omega \in A_{k}$.Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles:

$\limsup _{n}A_{n}=\bigcap _{n\geq 0}\,\left(\bigcup _{k\geq n}A_{k}\right).$

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que$\textstyle \ Omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$si et seulement si$\{\ Omega \in A_{k}\}$«infiniment souvent» ou bien «infinitely often», d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages:

$\mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(A_{n}\quad {\text{i.o.}}\right).$

Finalement, remarquons que la définition «$\ Omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$si et seulement si$\ Omega$appartient à une infinité de$A_{k}$» peut induire en erreur: si par exemple toutes les parties$A_{k}$sont égales, il se peut que$\ Omega$appartienne à$A_{k}$pour une infinité d'indices$k$,et il se peut donc que$\ Omega$appartienne à$\textstyle \limsup _{n}\,A_{n},$sans pour autant qu'$\ Omega$appartienne à une infinité de$A_{k}$(puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul$A_{k}$).

Théorème de Borel-Cantelli (théorie de la mesure)

Pour unespace mesurégénéral$(X,{\mathcal {A}},\mu )$,le lemme de Borel-Cantelli prend la forme suivante:

Théorème de Borel-Cantelli—Soit$(A_{n})_{n\geq 0}$une suite dans${\mathcal {A}}$.Si

$\sum _{n\geq 0}\mu (A_{n})<+\infty,$

alors

$\mu (\limsup _{n}A_{n})=0.$

Démonstration

Quitte à remplacerXpar la réunion desA_n,on peut supposersans perte de généralitéque lamesureμestfinie. Posons

$B_{n}=\bigcup _{k\geq n}A_{k},$

et remarquons queB_nest une suite décroissante (pour l'inclusion) d'éléments de${\mathcal {A}},$car$B_{n}=A_{n}\cup B_{n+1}$donc (par finitude deμ)

$\mu \left(\bigcap _{n\geq 0}B_{n}\right)=\lim _{n}\ \mu (B_{n}).$

De plusμ(B_n)est majorée par

$r_{n}=\sum _{k\geq n}\mu (A_{k}),$

qui est le reste d'unesérie convergente,donc

$\lim _{n}\ \mu (B_{n})=0.$

Comme

$\limsup _{n}A_{n}=\bigcap _{n\geq 0}B_{n},$

on conclut que

$\mu \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=0.$

Lemme de Borel-Cantelli (probabilités)

Unespace probabilisé$\left(\Omega,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$est un cas particulier d'espace mesuré, en ce qu'on suppose, de plus, que$\mathbb {P} \left(\Omega \right)=1$,alors que dans le théorème général, la mesure (positive)μn'est pas supposée finiea priori.En particulier, le lemme de Borel-Cantelli donné en introduction est une forme affaiblie du théorème de Borel-Cantelli donné à la section précédente. Peut-être le lemme de Borel-Cantelli est-il plus populaire en probabilités, où il est crucial dans la démonstration, parKolmogorov,de laloi forte des grands nombres(s'il ne faut donner qu'un seul exemple). Dans le cadre probabiliste, une formulation plus formelle du lemme donné en langage intuitif dans l'introduction pourrait donc s'écrire:

Lemme de Borel-Cantelli—Dans un espace probabilisé$\left(\Omega,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),$considérons une suite$(A_{n})_{n\geq 0}$d'éléments de${\mathcal {A}}$.Si

$\sum _{n\geq 0}\mathbb {P} (A_{n})<+\infty,$

alors

$\mathbb {P} (\limsup _{n}A_{n})=0.$

Loi du zéro-un de Borel

Le lemme de Borel-Cantelli ne doit pas être confondu avec laloi du zéro-un de Borel,parfois appeléesecond lemme de Borel-Cantelli:

Loi du zéro-un de Borel—Si les événements$A_{n}$sontindépendants,alors$\textstyle \mathbb {P} (\limsup _{n}A_{n})$vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général$\mathbb {P} (A_{n})$est convergente ou divergente.

La loi du zéro-un de Borelmontre en particulier que l'hypothèse$\textstyle \sum _{n\geq 0}\mathbb {P} (A_{n})<+\infty$du lemme de Borel-Cantelli ne peut en aucun cas être affaiblie en$\textstyle \lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})=0$.En effet, on peut avoir simultanément d'une part$\textstyle \lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})=0$et d'autre part (indépendance des$A_{n}$et$\textstyle \sum _{n\geq 0}\mathbb {P} (A_{n})=+\infty$), donc on peut avoir simultanément:

$\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})=0\qquad {\text{et}}\qquad \mathbb {P} (\limsup _{n}A_{n})=1.$

Voir aussi

• Loi du zéro un de Kolmogorov