Variable aléatoire

La valeur d’un dé après un lancer est une variable aléatoire comprise entre 1 et 6.

Enthéorie des probabilités,unevariable aléatoireest une formalisation mathématique d'une quantité aléatoire, i.e. qui dépend du hasard (définition exacte). En voici des exemples: la valeur d’un dé entre 1 et 6; le côté de la pièce dans unpile ou face;le nombre de voitures en attente dans la 2^efile d’un télépéage autoroutier; le jour de semaine de naissance de la prochaine personne que vous rencontrez; le temps d’attente dans la queue du cinéma; le poids de la part de tomme que le fromager coupe quand vous lui en demandez un quart; etc. Les situations réalistes présentées ici ne sont pas nécessairement celles de la réalité^[Quoi?],le point important étant qu’elles sont ici placées dans le cadre de la théorie des probabilités.

Le terme « variable aléatoire » est trompeur car mathématiquement une variable aléatoire n'est ni une variable ni un objet aléatoire. Formellement, une variable aléatoire est une application (i.e. une fonction) définie sur l’ensemble des éventualités, c’est-à-dire l’ensemble des résultats possibles d’uneexpérience aléatoire.Elle associe pour chaque éventualité une valeur.

Ce furent les jeux dehasardqui amenèrent à concevoir lesvariables aléatoires,en associant à une éventualité (résultat du lancer d’un ou plusieurs dés, d’un tirage à pile ou face, d’une roulette,etc.) un gain. Cette association éventualité-gain a donné lieu par la suite à la conception d’une fonction de portée plus générale. Le développement des variables aléatoires est associé à lathéorie de la mesure.

Introduction

Les valeurs possibles d'une variable aléatoire pourraient représenter les résultats possibles d'une expérience, dont la valeur déjà existante est incertaine. Ils peuvent aussi représenter conceptuellement soit les résultats d'un processus aléatoire « objectif » (comme lancer un dé) ou le caractère aléatoire « subjectif » qui résulte de la connaissance incomplète d'une quantité (comme la température qu'il fera dans 5 jours). La signification des probabilités attribuées aux valeurs possibles d'une variable aléatoire ne fait pas partie de lathéorie des probabilités,mais est plutôt liée à des arguments philosophiques sur l'interprétation de la probabilité. Lesmathématiquesfonctionnent de la même manière quelle que soit l'interprétation.

La fonction mathématique décrivant les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leur probabilité est connue sous le nom deloi de probabilitéou de distribution de probabilité. Lesvariables aléatoirespeuvent être de trois natures:discrètes,continuesou un mélange des deux. Elles sont discrètes quand elles peuvent prendre toutes les valeurs d'une liste finie ou dénombrable de valeurs spécifiées, et elles sont alors dotées d'unefonction de masse,caractéristique d'unedistribution de probabilités.Elles sont continues quand elles peuvent prendre une valeur numérique quelconque d'un intervalle ou d'une famille d'intervalles, par l'intermédiaire d'unefonction de densité de probabilitécaractéristique de ladistribution de probabilités.Les réalisations d'une variable aléatoire, c'est-à-dire, les résultats des valeurs choisies au hasard en fonction de la loi de probabilité de la variable, sont appelées desvariations aléatoires.

Définitions

Une variable aléatoire est une fonction mesurable d'un espace inconnu (l'universΩ) vers un espace d'étatE,connu. À chaque élément mesurableBdeE,on associe son image réciproque dansΩ.La mesure$\mathbb {P} _{X}$(loi de probabilité deX) surEse déduit donc de la mesure$\mathbb {P}$surΩ.

Une variable aléatoire$X$est une fonction$X:\Omega \rightarrow E$,c'est-à-dire une fonction qui à toute éventualité$\ Omega$dans l'univers$\Omega$des éventualités associe une valeur$x$dans un ensemble$E$.La définition est plus subtile et repose sur la théorie de la mesure. En particulier, on considère un espace probabilisé$(\Omega,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$où$\Omega$est l'univers,${\mathcal {F}}$est une collection d'événements et forme une tribu sur$\Omega$et$\mathbb {P}$est une mesure de probabilité. Pour les valeurs, on considère un espace mesurable$(E,{\mathcal {E}})$où$E$est un ensemble et${\mathcal {E}}$une tribu sur$E$.

Définition—Soit$(\Omega,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$unespace probabiliséet$(E,{\mathcal {E}})$unespace mesurable.On appelle variable aléatoire deΩversE,toutefonction mesurableXdeΩversE.

Pour tout sous-ensembleBde latribu${\mathcal {E}}$,l'image réciproque$X^{-1}(B)$parXdeBest l'ensemble$\left\{\ Omega \in \Omega:X(\ Omega )\in B\right\}$,c'est-à-dire l'ensemble des éventualités$\ Omega$où la valeur prise$X(\ Omega )$est dansB.La condition de mesurabilité de la fonctionXassure que l'image réciproque$X^{-1}(B)$pos sắc de une probabilité. Ainsi, elle permet de définir une mesure de probabilité$\mathbb {P} _{X}$sur$(E,{\mathcal {E}})$définie par:

$\mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} \left(X^{-1}(B)\right)$

La mesure$\mathbb {P} _{X}$est l'image, par l'applicationX,de la probabilité$\mathbb {P}$définie sur$(\Omega,{\mathcal {F}})$.La quantité$\mathbb {P} _{X}(B)$est notée plus simplement$\mathbb {P} \left(X\in B\right)$.

Définition—La probabilité$\mathbb {P} _{X}$est appeléeloi de probabilitéde la variable aléatoireX.

Dans la suite,${\mathcal {B}}(E)$désigne latribu boréliennede l'espace topologiqueE.

Cas standard

Lorsque l'imageest finie ouinfini dénombrable,cette variable aléatoire est alors appelée unevariable aléatoire discrète,et sa distribution peut être décrite par unefonction de masse de probabilitéqui assigne une probabilité de chaque valeur à l'image deX.Si l'image est indénombrablement infinie, alors on appelleraXunevariable aléatoire continue.Dans le cas où sa continuité estabsolue,sa distribution peut être décrite par unefonction de densité de probabilité,qui affecte des probabilités aux intervalles; en particulier, chaque point individuel doit nécessairement avoir une probabilité nulle pour une variable aléatoire absolument continue. Toutes les variables aléatoires continues ne sont pas absolument continues,par exemple unedistribution de mélange.De telles variables aléatoires ne peuvent pas être décrites par une densité de probabilité ou une fonction de masse de probabilité.

Toute variable aléatoire peut être décrite par safonction de répartition cumulative,qui donne la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à une certaine valeur.

Extensions

Le terme « variable aléatoire » en statistiques est traditionnellement limité au cas de lavaleur réelle($E=\mathbb {R}$). Ceci assure qu'il est possible de définir des quantités telles que lavaleur attendueet lavarianced'une variable aléatoire, safonction de répartition cumulative,et lesmomentsde la distribution.

Toutefois, la définition ci-dessus est valable pour n'importe quelespace mesurableEde valeurs. Ainsi, on peut tenir compte deséléments aléatoiresd'autres ensembles, commevaleurs booléennesaléatoires, lesvariables catégorielles,lesnombres complexes,desvecteurs,desmatrices,desséquences,desarbres,des ensembles, des formes, et desfonctions.On peut alors se référer spécifiquement à unevariable aléatoire detypeE,ou d'unevariable aléatoire évaluéeE.

Ce concept plus général d'unélément aléatoireest particulièrement utile dans des disciplines telles que lathéorie des graphes,l'apprentissage machine,letraitement du langage naturel,et d'autres domaines enmathématiques discrètesetinformatique,où l'on est souvent intéressé à la modélisation de la variation aléatoire dedonnées structurellesnon-numérique. Dans certains cas, il est cependant meilleur de représenter chaque élémentEen utilisant un ou plusieursnombres réels.Dans ce cas, un élément aléatoire peut éventuellement être représenté sous la forme d'unvecteur de variables aléatoires à valeurs réelles(toutes définies sur le même espace de probabilitéΩsous-jacent, ce qui permet aux différentes variables aléatoires decovarier). Par exemple:

• Un mot aléatoire peut être représenté comme un nombre aléatoire qui sert d'index dans le vocabulaire des mots possibles. Dit autrement, il peut être représenté comme un vecteur aléatoire d'indicateur dont la longueur est égale à la taille du vocabulaire, où les seules valeurs de probabilité positive sont (1 0 0 0,...), (0 1 0 0,...), (0 0 1 0...) et la position du 1 indique la parole.
• Une phrase aléatoire de longueurNdonnée peut être représentée comme un vecteur deNmots aléatoires.
• Ungraphe aléatoiresur les sommetsNdonnés peut être représenté comme une matrice de variables aléatoiresN×Ndont les valeurs spécifient lamatrice d'adjacencedu graphe aléatoire.
• Unefonction aléatoireFpeut être représentée par un ensemble de variables aléatoiresF(x),ce qui donne les valeurs de la fonction aux différents pointsxdans le domaine de la fonction.F(x)sont des variables aléatoires à valeurs réelles ordinaires, à condition que la fonction soit à valeurs réelles. Par exemple, unprocessus stochastiqueest une fonction aléatoire de temps, un vecteur aléatoire est une fonction aléatoire de certains ensembles d'indices tels que1,2,…,n,et unchamp aléatoireest une fonction aléatoire sur un ensemble (généralement le temps, l'espace, ou un ensemble discret).

Moments

La distribution de probabilité d'une variable aléatoire est souvent caractérisée par un nombre réduit de paramètres, qui ont également une interprétation pratique. Par exemple, il est souvent suffisant de savoir quelle est la valeur moyenne. Ceci est possible grâce au concept mathématique de lavaleur attendued'une variable aléatoire, noté$\mathbb {E} [X]$et aussi appelé lepremiermoment.En général,$\mathbb {E} [f(X)]$n'est pas égal à$f(\mathbb {E} [X])$.Une fois que la valeur moyenne est connue, on pourrait alors se demander à quelle distance de cette valeur moyenne sont en général les valeurs deE,question à laquelle répondent les notions devarianceet d'écart-typed'une variable aléatoire.$\mathbb {E} [X]$peut être considérée comme une moyenne obtenue à partir d'une population infinie, dont les membres sont des évaluations particulières deE.

Mathématiquement, cela est connu sous le nom duproblème des moments:pour une classe donnée de variables aléatoiresE,trouver une collection {f_i} de fonctions telles que l'attente des valeurs$\mathbb {E} [f_{i}(X)]$caractérise la répartition de la variable aléatoireE.

Les moments ne peuvent pas être définis pour des fonctions à valeurs réelles de variables aléatoires (ou de valeur complexe,etc.). Si la variable aléatoire est une valeur réelle, alors les moments de la variable elle-même peuvent être pris, ce qui est équivalent aux moments de la fonctionf(X)=Xde la variable aléatoire. Cependant, même pour des variables aléatoires aux valeurs non-réelles, des moments peuvent être pris aux fonctions réelles de ces variables. Par exemple, pour une variable aléatoirecatégorielleEqui peut prendre desvaleurs nominales« rouge », « bleu » ou « vert », la fonction de valeur réelle[X= vert]peut être construite; ce processus utilise lecrochet de Iverson,et pos sắc de la valeur 1 siEa la valeur « verte », il possédera la valeur 0 dans un cas différent. Ainsi, lavaleur attendueet d'autres moments de cette fonction peuvent être déterminés.

Exemples

Unevariable aléatoireest souvent à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie) et on parle alors devariable aléatoire réelle:$X\colon \ Omega \mapsto X(\ Omega )\in \mathbb {R}$.

Lavariable aléatoirepeut aussi associer à chaque éventualité un vecteur de$\mathbb {R} ^{n}$ou$\mathbb {C} ^{n}$,et on parle alors devecteur aléatoire:

$X\colon \ Omega \mapsto X(\ Omega )\in \mathbb {R} ^{n}$ou$X\colon \ Omega \mapsto X(\ Omega )\in \mathbb {C} ^{n}$.

Lavariable aléatoirepeut encore associer à chaque éventualité une valeur qualitative (couleurs, Pile ou Face), ou même une fonction (par exemple une fonction de${\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{d})$), et on parlera alors deprocessus stochastique.

Plus rigoureusement:

• Lorsque$(E,{\mathcal {E}}):=(\mathbb {R},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$,on dit que$X$est unevariable aléatoire réelle.
• Lorsque, pour un entierd≥ 1,$(E,{\mathcal {E}}):=(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d}))$,on dit que$X$est unvecteur aléatoire.
• Lorsqu'il existe unensemble finiou dénombrableS⊂Etel que$\mathbb {P} (X\in S)=1$,on dit que$X$est une variable discrète. Par exemple, le choix$(S,E):=(\mathbb {N},\mathbb {R} )$permet de voir les variables aléatoires suivant laloi de Poissonou laloi binomialecomme desvariables aléatoires réelles.
• Lemouvement brownien$B:=(B(t))_{t\geqslant 0}$,qui modélise la trajectoire de certaines particules dans l'espace, peut être vu comme une variable aléatoireBà valeurs dans l'espace$E:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{3})$des fonctions continues de$\mathbb {R} _{+}$dans$\mathbb {R} ^{3}$muni de la topologie de laconvergence uniformesur tout compact, et de latribu boréliennecorrespondante. Pour chaquet≥ 0,B(t),qui représente la position de la particule à l'instantt,est unevariable aléatoire réelledont la loi estgaussienne.Ainsi,Bpeut aussi être vu comme unefamilledevariables aléatoires réelles.

Notes et références

• (en)Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé«random variable»(voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Vecteur aléatoire
• Indépendancede variables aléatoires
• Suite aléatoire
• Nombrepseudo-aléatoire