Número enteiro

Osenteiros,ounúmeros enteiros,inclúen osnúmeros naturais(1,2,3,...), os seus opostos (números enteiros negativos -1, -2, -3,...) e máis o número0.

Tamén se pode definir o conxunto dosnúmeros enteiroscomo o subconxunto dosnúmeros reaisnos que aparte fraccionariavalecero.

Oconxuntode todos os enteiros represéntase comoZ(máis apropiadamente,$\mathbb {Z}$), que ven deZahlen(doalemán,"número" ).

Os números enteiros poden adicionarse ou subtraerse, multiplicarse e mais compararse. A principal razón da existencia dos números negativos é que fai posíbel resolver todas asecuacións de primeiro grao(coa formaax + b = 0). Para a incógnitax;nos números naturais apenas algunhas destas ecuacións eran resolúbeis.

Os matemáticos expresan o feito de que todas as leis usuais da aritmética son válidas nos enteiros dicindo que (Z,+, *) é unanelconmutativo.

A orde deZdáse por... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 <... e fai deZunhaordenación totalsen límite superior ou inferior. Chámaselle a un enteiropositivose é maior quecero;o propio cero non se considera un positivo. A orde é compatíbel coas operacións alxébricas no seguinte sentido:

1. sea<bec<d,entóna+c<b+d
2. sea<be 0 <c,entónac<bc

Como os números naturais, os enteiros forman un conxuntoinfinito contábel.

Os enteiros non forman uncorpoxa que, por exemplo, non existe un enteiroxtal que 2x= 1. O menor corpo que contén os enteiros son osnúmeros racionais.

Unha importante propiedade dos enteiros é adivisión con resto:dados dous enteirosaebconb≠0, podemos sempre achar enteirosqertales que:a=bq+re tal que 0 ≤r< |b| (vexamóduloouvalor absoluto).qchámase ococienteerorestoda división deaporb.Os númerosqerson unicamente determinados poraeb.Esta división torna posíbel oAlgoritmo Euclidianopara calcular omáximo divisor común,que tamén mostra que o máximo divisor común de dous enteiros pode ser escrito como a suma de múltiplos destes dous enteiros.

Todo isto pode ser resumido dicindo queZé unDominio Euclidiano.Isto implica queZé undominio de ideal principale que todo número enteiro pode ser escrito como produto denúmeros primosde forma única (desde que o 1 non sexa considerado primo), que é oTeorema Fundamental da Aritmética.

O ramo damatemáticaque estuda os enteiros chámase deteoría dos números.

Un enteiro é frecuentemente un tipo primitivo enlinguaxe de programaciónnormalmente con 1, 2, 4, ou 8bytesde lonxitude (8, 16, 32, ou 64bits). Porén, un computador pode apenas representar un subconxunto dos enteiros con estes tipos, xa que os enteiros son infinitos e unha cantidade de bits fixa limita a representación a un máximo de 2 á potencia do número de bits (2^8 para bytes, 2^32 para arquitecturas de 32-bit etc).