Álxebra abstracta

Aálxebra abstractaé a rama damatemáticaque se ocupa principalmente do estudo dasestruturas alxébricas,comogrupo,anel,espazo vectorialoucorpo,e das súas relacións.

O termo álxebra abstracta é utilizado ás veces en contraposición ao deálxebra elemental,que ensina as regras de manipulación das fórmulas e das expresións alxébricas nas que se empregannúmeros reaisoucomplexos.De tódolos xeitos hoxe en día a maior parte dos autores prefiren empregar directamente o termoálxebrano lugar do de álxebra abstracta, considerando aálxebra elementalcomo unha iniciación informal a estruturas importantes coma a doscorposdosnúmeros reaisecomplexosou a dasálxebras conmutativas.

A álxebra abstracta é empregada intensivamente na matemática moderna, así como nafísica matemática;por exemplo, afísica teóricarecorre ásálxebras de Lie.Ateoría alxébrica de números,atopoloxía alxébricaou axeometría alxébricason exemplos de campos que emerxen do emprego dos métodos da álxebra abstracta noutras áreas damatemáticacomo ateoría de números,atopoloxíaou axeometría.

Dous campos damatemáticaque estudan as estruturas coma un todo son aálxebra universale ateoría de categorías.En matemáticas unhacategoríaven a ser un obxecto que contén todas as estruturas dun determinado tipo xunto cos seushomomorfismos(por exemplo acategoría de gruposestá composta polosgruposxunto coshomomorfismos de grupos). Ateoría de categoríasvén sendo unha poderosa abstracción útil para estudar e comparar diferentesestruturas alxébricas.

Historia e exemplos

Así como noutras ramas damatemática,os problemas concretos e os exemplos xogaron un papel importante na evolución daálxebra.Contra finais doséculo XIXmoitos, quizais a maioría destes problemas gardaban dalgún xeito relación coateoría de ecuacións alxébricas.Entre os máis importantes poderíanse citar:

• a resolución desistemasdeecuaciónslineais,o que conduciu ao desenvolvemento da teoría dematrices,determinantese en xeral daálxebra lineal;
• as tentativas de atopar fórmulas que deran as solucións dasecuacións polinómicasde graos altos, que posibilitaron o descubrimento dosgruposcomo manifestación abstracta dasimetría;
• e as investigacións de tipoaritméticoao redor dasformas cadráticase de graos altos e dasecuacións diofantianas,especialmente aquelas encamiñadas a probar oúltimo teorema de Fermat,das que saíron directamente ás nocións deaneleideal.

Numerosos libros de iniciación á álxebra abstracta principian coa definición axiomática de variasestruturas alxébricase despois proceden a establecer as súas propiedades, xerando a falsa impresión de que na álxebra primeiro creáronse os axiomas e despois estes valeron de motivación e base para as investigacións posteriores. Mais a verdadeira orde no desenvolvemento dos feitos foi en realidade a contraria. A maior parte das teorías que hoxe en día recoñecemos como partes daálxebracomezaron coma coleccións de feitos dispares provenientes de diferentes ramas damatemática,logo acadaron un punto en común que serviu de núcleo ao redor do cal agrupáronse varios resultados, e finalmente unificáronse nunha base común de conceptos. Un exemplo arquetípico desta evolución pódese apreciar no desenvolvemento dateoría de grupos.

Comezos dateoría de grupos

Nos comezos dateoría de gruposhoubo varias liñas de expansión, que na linguaxe actual viríanse a corresponder dun xeito aproximado coateoría de números,ateoría de ecuacións,e axeometría,das cales concentrarémonos nas dúas primeiras.

XaLeonhard Eulerrealizaba operacións aritméticas módulo unenteiro(aritmética modular), probandoa súa xeneralizacióndoPequeno teorema de Fermat.As súas investigacións foron retomadas en profundidade porCarl Friedrich Gauss,quen considerou a estrutura degrupomultiplicativo dasclasesderestosprimosmódulo unenteiron, e estableceu varias propiedades dosgrupos cíclicose en xeral doutrosgrupos abelianosque xurdían deste xeito. Nas súas investigacións sobre a composición deformas cadráticasbinarias, Gauss expresa explicitamente apropiedade asociativapara a composición de formas, mais do mesmo xeito ca Euler, semella estar máis interesado en resultados concretos que no desenvolvemento dunha teoría xeral. En1870,Leopold Kroneckerdefiniugrupo abelianono contexto dosgrupos das clases de ideaisduncorpo de números alxébricos,unha xeneralización de longo alcance do traballo de Gauss. Kronecker non vincula a súa definición cos traballos previos sobre grupos, en concreto cosgrupos de permutacións.En1882,considerando a mesma cuestión,Heinrich Weberestableceu dita ligazón e deu unha definición parella que involucraba apropiedade de cancelaciónmais non requiría a existencia doelemento inverso,o cal lle chegaba de tódolos xeitos na súa investigación no seu contexto dosgrupos finitos.

Aspermutaciónsforon estudadas porJoseph-Louis de Lagrangeno seu traballo de1770Réflexions sur la résolution algébrique des équations,dedicado ao estudo das solucións dasecuacións alxébricas,no que introduce aresolvente de Lagrange.O obxectivo de Lagrange era o de comprender por que as ecuacións deterceiroecuartograo admiten fórmulas para as súas solucións, identificando o estudo das permutacións das súas raíces como a chave da cuestión. Unha novidade importante foi o feito de que neste traballo Lagrange considera as raíces dunha ecuación dun xeito abstracto, isto é como símbolos e non como números. Aínda así non considerou a composición de permutacións. Afortunadamente apareceu no mesmo ano a primeira edición doMeditationes AlgebraicaedeEdward Waring(unha versión expandida foi publicada no1782). Waring demostra oteorema fundamental dos polinomios simétricos,e estudo especialmente a relación entre as raíces dunha ecuación cuártica coa súa cúbica resolvente. En1771Alexandre-Théophile Vandermondeanaliza enMémoire sur la résolution des équationsa teoría de funcións simétricas dende un ángulo lixeiramente diferente, pero do mesmo xeito ca Lagrange, co obxectivo de botar luz sobre a resolución dasecuacións alxébricas.

Kronecker reivindica en1888que o estudo da álxebra moderna comezara con este primeiro traballo de Vandermonde. Cauchy establece con claridade a precedencia de Vandermonde sobre Lagrange por esta idea sobresaínte que finalmente conduciu ao estudo da teoría de grupos.

Paolo Ruffinifoi a primeira persoa en desenvolver a teoría dosgrupos de permutacións,e coma os seus predecesores, tamén o fixo no contexto da resolución deecuacións alxébricas.O seu obxectivo foi o de establecer a inexistencia dunha expresión xeral con radicais para as solucións dasecuacións alxébricasde grao maior ca catro. No transcurso da súa investigación introduciu as nocións deorde dun elementodun grupo, conxugación, grupo primitivo e imprimitivo así como a descomposición dunha permutación en produto de ciclos, e probou algúns teoremas importantes enlazando estes conceptos, como

se G é un subgrupo de S₅de orde divisible por 5 entón G contén algún elemento de orde 5.

É de sinalar que para chegar a resultados coma este, arranxouse sen nin sequera ter formalizado o concepto de grupo, ou o de grupo de permutacións.

O paso seguinte deunoÉvariste Galoisen1832(se ben o seu traballo permaneceu sen publicar ata o1846), cando considerou por vez primeira o que hoxe chamaríamospropiedade de clausuradun grupo de permutacións, que el expresou como

... se nun grupo deste tipo téñense as substitucións S e T, entón tamén se ten a substitución ST.

A teoría de grupos de permutacións acadou un grande alcance e fondura coas achegas deAugustin Louis CauchyeCamille Jordan,tanto pola introdución de novos conceptos coma, ante todo, pola riqueza en resultados sobre clases especiais de grupos de permutacións, chegando a establecer incluso algúns teoremas máis xerais. Entre outras cousas, Jordan definiu a noción deisomorfismo,aínda que aínda no contexto dos grupos de permutacións, e foi el quen puxo de moda o termogrupo.

A noción abstracta de grupo apareceu por vez primeira en1854nos traballos deArthur Cayley.Cayley decatouse de que un grupo non tiña por que ser de permutacións (ou inclusofinito), podendo estar constituído pormatrices,cuxas propiedades alxébricas, tales como a da súa multiplicación ou inversa, investigou en anos sucesivos. Moito máis tarde Cayley volvería á cuestión de se os grupos abstractos eran realmente máis xerais que os grupos de permutacións, establecendo que, de feito, calquera grupo é isomorfo a un subgrupo dun grupo de permutacións, resultado coñecido comoteorema de Cayley.

Álxebra moderna

Entre finais doséculo XIXe comezos doXXhoubo un enorme cambio de metodoloxía nas matemáticas. Os matemáticos deixaron de contentarse co establecemento de propiedades de obxectos concretos, e comezaron a dirixir os seus esforzos cara a confección de teorías xerais. Por exemplo, algúns resultados sobre grupos de permutacións víronse coma casos particulares de teoremas que empregaban a noción máis ampla degrupo abstracto,e en xeral puxéronse de moda os estudos da estrutura e clasificación de varios obxectos matemáticos. Este proceso aconteceu en todas as ramas da matemática, pero fíxose especialmente pronunciado na álxebra. Para moitas estruturas alxébricas básicas coma as degrupo,anel,ecorpo,propuxéronse definicións formais a partir de axiomas que involucraban as súas operacións. As investigacións acerca de corpos xerais deErnst Steinitze deaneis conmutativose despois de aneis xerais porDavid Hilbert,Emil ArtineEmmy Noether,baseadas no traballo deErnst Kummer,Leopold KroneckereRichard Dedekind,que consideraronideaissobre aneis conmutativos, e deFerdinand Georg FrobeniuseIssai Schursobre ateoría de representación de grupos,son a base da redefinición posterior da álxebra. Estes desenvolvementos do último cuarto doséculo XIXe primeiro cuarto doXXforon sistematizados no libroModerne algebradeBartel Leendert van der Waerden,unha monografía de dous volumes publicada en1930que supuxo para o mundo matemático o troco de significado da palabraálxebra,que pasou de denotar ateoría de ecuaciónsa significarteoría de estruturas alxébricas.

Véxase tamén

Bibliografía

• B.A. Sethuraman (1997).Rings, Fields, and Vector Spaces: An Introduction to Abstract Algebra via Geometric Constructibility.Springer.ISBN 0-387-94848-1.
• Jimmie Gilbert, Linda Gilbert (2005).Elements of Modern Algebra.Thomson Brooks/Cole.ISBN 0-534-40264-X.
• R.B.J.T. Allenby (1991).Rings, Fields and Groups: An introduction to abstract algebra.Butterworth-Heinemann.ISBN 0-340-54440-6.
• Carol Whitehead (2003).Guide to Abstract Algebra.Palgrave Macmillan.ISBN 0-333-79447-8.
• Stanley N. Burris e H.P. Sankappanavar (1981).A Course in Universal Algebra.Springer-Verlag.ISBN 3-540-90578-2.

Ligazóns externas

• John A. Beachy."Abstract Algebra On Line".Arquivado dendeo orixinalo 28 de decembro de 2020.Consultado o 15 de maio de 2007.Arquivado28 de decembro de 2020 enWayback Machine.(Relación exhaustiva de definicións e teoremas da álxebra abstracta, en inglés).
• Joseph Mileti."Abstract Algebra".Mathematics Museum.Arquivado dendeo orixinalo 08 de xuño de 2007.Consultado o 15 de maio de 2007.Arquivado08 de xuño de 2007 enWayback Machine.(unha sinxela introdución á materia, en inglés).