Análise real

Aanálise realouteoría das funcións de variable realé a rama daanálise matemáticaque ten que ver co conxunto dosnúmeros reais.En particular, estuda as propiedades analíticas dasfunciónsesucesiónsde números reais; o seulímite,continuidadee ocálculodos números reais.

Estudo

A análise real é unha área daanálise matemáticaque estuda os conceptos desucesión,límite,continuidade,diferenciacióneintegración.Dada a súa natureza, a análise real está limitada aosnúmeros reaiscomo ferramentas de traballo.

Resultados importantes inclúen entre outros oteorema de Bolzano-Weierstrass,oteorema de Heine-Borel,oteorema do valor medioe oteorema fundamental do cálculo.

Conceptos básicos

Os textos de cálculo avanzado normalmente comezan cunha introdución ásdemostracións matemáticase áteoría de conxuntos.Tras isto defínense osnúmeros reais axiomaticamente,ou se se constrúen consucesións de Cauchyou comocortes de Dedekinddenúmeros racionais.Despois, fan unha investigación das propiedades dos números reais, sendo unha das máis importantes adesigualdade triangular.

Sucesións e series

Tras definir os números reais, investíganse assucesiónsde números reais e a súaconverxencia,un concepto central na análise, a través dos límites de sucesións oupuntos de acumulaciónde conxuntos. Posteriormente estúdanse asseries,como asseries alternadase asseries de potencias.

Estúdase, para comezar a desenvolver conceptostopolóxicoselementais, varios tipos de subconxuntos dos números reais:conxuntos abertos,conxuntos pechados,espazos compactos,conxuntos conexosetc. A partir de aí estúdanse oteorema de Bolzano-Weierstrasse o deHeine-Borel.

Funcións continuas

A continuación estúdanse asfuncións de variable reale defínese o concepto defunción continuaa partir da definición épsilon-delta dolímite dunha función.Entre as propiedades dunha función continua definida nunintervalodestacan os teoremas coñecidos como oteorema de Bolzano,oteorema do valor intermedioe oteorema de Weierstrass.

Derivación ou diferenciación

Neste momento pódese definir aderivadadunha función como un límite, e pódense demostrar rigorosamente os teoremas importantes sobre aderivacióncomo oteorema de Rolleou oteorema do valor medio.Constrúense asseries de Taylore calcúlanse asseries de Maclaurindas funciónsexponenciale dasfuncións trigonométricas.

É importante destacar que tamén se estudan as funcións de varias variables así como as súas derivadas que son asderivadas parciais.É moi importante estudar oteorema da función inversae oteorema da función implícita,tanto como asfuncións de Morse.

Integración

Aintegración definida,que se pode definir sen precisión como "a área debaixo dagráfica dunha función"vai naturalmente despois da derivación, da que aintegración indefinidaé a operación inversa. Comézase coaintegral de Riemann,que consiste en dividir ointervaloensubintervalos(cunhapartición), estender os subintervalos cara a arriba ata omínimoda función no subintervalo (no caso que se chamasuma inferior), e aomáximono subintervalo (no que se chamasuma superior). Tamén existe outro tipo de integral, que pode integrar máis funcións, chamada aintegral de Lebesgue,que emprega amedidae o concepto de “en case todas as partes”.

Coa teoría da integración pódense demostrar varios teoremas, no caso da integración de Riemann ou de Lebesgue, como oteorema de Fubini,pero dun modo máis importante oteorema fundamental do cálculo.

Regreso aos conceptos básicos

Tras facer isto, é útil regresar aos conceptos de continuidade e converxencia, e estudalos nun contexto máis abstracto, en preparación para estudar os espazos de funcións, naanálise funcionalou en campos máis especializados como aanálise complexa.

Véxase tamén

Bibliografía

Abbott, Stephen (2001).Understanding Analysis.Undergradutate Texts in Mathematics. Nova York: Springer-Verlag.ISBN 0-387-95060-5.
Aliprantis, Charalambos D.;Burkinshaw, Owen (1998).Principles of real analysis(3rd ed.). Academic.ISBN 0-12-050257-7.
Bartle, Robert G.;Sherbert, Donald R. (2011).Introduction to Real Analysis(4th ed.). Nova York: John Wiley and Sons.ISBN 978-0-471-43331-6.
Bressoud, David(2007).A Radical Approach to Real Analysis.MAA.ISBN 0-88385-747-2.
Browder, Andrew (1996).Mathematical Analysis: An Introduction.Undergraduate Texts in Mathematics.Nova York: Springer-Verlag.ISBN 0-387-94614-4.
Carothers, Neal L. (2000).Real Analysis(PDF).Cambridge: Cambridge University Press.ISBN 978-0521497565.
Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999).Introductory Real Analysis.Brooks Cole.ISBN 978-0-395-95933-6.
Kolmogorov, A. N.;Fomin, S. V.(1975).Introductory Real Analysis.Translated by Richard A. Silverman. Dover Publications.ISBN 0486612260.Consultado o2 April2013.
Rudin, Walter(1976).Principles of Mathematical Analysis(PDF).Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd ed.). Nova York: McGraw–Hill.ISBN 978-0-07-054235-8.
Rudin, Walter (1987).Real and Complex Analysis(PDF)(3rd ed.). Nova York: McGraw-Hill.ISBN 978-0-07-054234-1.
Spivak, Michael(1994).Calculus(3rd ed.).Houston,Texas: Publish or Perish, Inc.ISBN 091409890X.

Outros artigos

Ligazóns externas

Real analysisen MathWorld