Arco (xeometría)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase:Arco.

Naxeometría,arcoé calqueracurvacontinua que une douspuntos.^[1]Existen arco decircunferencia,deelipse,deparábolae outras figuras xeométricas.

O arcocircunferenciafica definido por tres puntos, ou dous puntos extremos e oraioou acordada circunferencia. A corda une os dous extremos do arco, estando afrechaunindo os puntos medios.

Cálculo da lonxitude dun arco (rectificación dunha curva)

Métodos históricos

Antigüidade

No longo da historia das matemáticas moitos grandes pensadores consideraron imposible calcular a lonxitude dun arco irregular.Arquimedesideou un método por aproximación de rectángulos para calcular a área dun polígono curvilíneo mediante ométodo de exhaustión,aínda que poucos creron que era posible que unha curva tivese unha lonxitude medible como as da liñas rectas.

As primeiras medicións fixéronse a través de métodos de aproximación. Os matemáticos da época empezaron a trazarpolígonosdentro da curva, e calculando a lonxitude dos lados destes, obtendo así a lonxitude aproximada da curva. Cantos máis segmentos se usasen, máis diminuía a lonxitude de cada segmento, e obtíñase unha aproximación cada vez mellor.

Século XVII

Nesta época, o método de esgotamento levou á rectificación por métodos xeométricos de moitas curvas transcendentais: aespiral logarítmicaporTorricellien1645(algúns pensan que foiJohn Wallisen1650); ocicloideporChristopher Wrenen1658,e acatenariaporGottfried Leibnizen1691.

Determinar a lonxitude dun arco dun segmento irregular, facer a rectificación dunha curva, historicamente foi difícil. Aínda que foron utilizados varios métodos para curvas específicas, a chegada docálculotrouxo consigo fórmulas xerais que daban solucións concretas para algúns casos.

A lonxitude dun arco de circunferencia de radioreánguloθ (medido enradiáns), con centro na orixe, é igual a θr.Para un ángulo α, medido en graos, a lonxitude en radiáns é α/180° × π, sendo a lonxitude de arco igual a (α/180°)πr.

Métodos modernos

Ao considerar unhafunción $f\left(x\right)$ e a súa respectiva derivada $f'\left(x\right)$ ,que son continuas nun intervalo[a, b],a lonxitude do arco delimitado poraebvén dada pola fórmula:

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[f'\left(x\right)\right]^{2}}}\,dx$

Se a función está definida parametricamente, onde $x=f\left(t\right)$ e $y=g\left(t\right)$ :

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[f'\left(t\right)\right]^{2}+\left[g'\left(t\right)\right]^{2}}}\,dt$

Se a función está encoordenadas polares,onde a coordenada radial e o ángulo están relacionados $r=f(\theta )$ ,a lonxitude dunha curva redúcese a:

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left[{\frac {dr}{d\theta \ }}\right]^{2}}}\,d\theta \$

Na maioría dos casos non hai unha solución dispoñible e será necesario usar métodos de integración. Por exemplo, aplicar esta fórmula a unha elipse levaría a unha integral elíptica de segunda orde.

Entre as curvas con solucións coñecidas están a circunferencia, catenaria, cicloide, espiral logarítmica e parábola.

Lonxitude de arco

Alonxitude de arcoé unha medida da lonxitude dun arco dunha curva calquera, se vén dada en coordenadas cartesianas, a lonxitude de arco pode calcularse como:

$L_{a}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\ dx$

Se a curva vén especificada en coordenadas polares, a lonxitude entre o ángulo $\phi _{1}$ e $\phi _{2}$ vén dada por:

$L_{a}=\int _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}{\sqrt {\rho '(\phi )^{2}+\rho (\phi )^{2}}}\ d\phi$

Desta última dedúcese que para unha circunferencia, dado que $\scriptstyle \rho (\phi )=R$ e $\scriptstyle \rho '(\phi )=0$ ,a lonxitude de arco pode expresarse simplemente como: