Coclase

Enmatemáticas,especificamentena teoría de grupos,pódese usar unsubgrupo $H$ dungrupo $G$ para descompoñer oconxuntosubxacente de $G$ ensubconxuntos disxuntose de igual tamaño chamadoscoclases (oucosetsen inglés).Hai coclases esquerdasedereitas.As coclases (tanto á esquerda como á dereita) teñen o mesmo número de elementos (cardinalidade) que $H$ .A maiores, o propio $H$ é tanto un grupo esquerdo como un grupo dereito. O número de coclases esquerdas de $H$ en $G$ é igual ao número de coclases dereitas de $H$ en $G$ .Este valor común chámaseíndicede $H$ en $G$ e normalmente denótase por $[G : H]$ .

As coclases son unha ferramenta básica no estudo dos grupos; por exemplo, desempeñan un papel central noteorema de Lagrangeque afirma que para calqueragrupo finito $G$ ,o número de elementos de cada subgrupo $H$ de $G$ divide o número de elementos de $G$ .As coclases dosubgrupo normalpódense usar como elementos doutro grupo chamadogrupo cociente.As coclases tamén aparecen noutras áreas das matemáticas como osespazos vectoriaise os códigos de corrección de erros.

Definición

Sexa $H$ un subgrupo do grupo $G$ cuxa operación escríbese multiplicativamente (a xustaposición denota a operación do grupo). Dado un elemento $g$ de $G$ ,ascoclases esquerdasde $H$ en $G$ son os conxuntos obtidos multiplicando cada elemento de $H$ por un elemento fixo $g$ de $G$ (onde $g$ é o factor esquerdo). En símbolos estas son,

gH=\{gh:h{\text{ un elemento de H}}\}{\text{ para }}g\in G

.

Ascoclases dereitasdefínense de xeito similar, agás que o elemento $g$ agora é un factor pola dereita, é dicir,

Hg=\{hg:h{\text{ un elemento de H}}\}{\text{ para }}g\in G

.

Dúas coclases esquerdas calquera (respectivamente dereitas) son disxuntas ou son idénticas como conxuntos.^[1]

Se a operación do grupo é aditiva, como adoita suceder cando o grupo éabeliano,a notación utilizada muda a $g + H$ ou $H + g$ ,respectivamente.

O símboloG/Hás veces úsase para o conxunto de coclases (esquerdas) {gH:gun elemento deG} (ver embaixo para unha extensión a coclases dereitas e duplas). No entanto, algúns autores (incluíndo Dummit & Foote e Rotman) reservan esta notación especificamente para representar ogrupo cocienteformado a partir das coclases secundarias no caso de queHsexa un subgruponormaldeG.

Primeiro exemplo

Sexa $G$ ogrupo diédrico de orde seis.Os seus elementos pódense representar por ${I, a, a 2, b, ab, a 2 b}$ .Neste grupo, $a 3 = b 2 = I$ e $ba = a 2 b$ .Esta é información abonda para cubrir toda atáboa de Cayley:

∗	$I$	$a$	$a 2$	$b$	$ab$	$a 2 b$
$I$	$I$	$a$	$a 2$	$b$	$ab$	$a 2 b$
$a$	$a$	$a 2$	$I$	$ab$	$a 2 b$	$b$
$a 2$	$a 2$	$I$	$a$	$a 2 b$	$b$	$ab$
$b$	$b$	$a 2 b$	$ab$	$I$	$a 2$	$a$
$ab$	$ab$	$b$	$a 2 b$	$a$	$I$	$a 2$
$a 2 b$	$a 2 b$	$ab$	$b$	$a 2$	$a$	$I$

Sexa $T$ o subgrupo ${I, b}$ .As coclases secundarias (distintas) de $T$ son:

$IT = T = {I, b}$ .
$aT = {a, ab}$ .
$a 2 T = {a 2, a 2 b}$ .

Dado que agora todos os elementos de $G$ apareceron nunha destas coclases, xerar máis non pode dar novas coclases; calquera coclase nova tería que ter un elemento en común cunha destas e, polo tanto, sería idéntica a unha destas coclases. Por exemplo, $abT = {ab, a} = aT$ .

As clases dereitas de $T$ son:

$TI = T = {I, b}.$ ,
$Ta = {a, ba} = {a, a 2 b}$ .
$Ta 2 = {a 2, ba 2} = {a 2, ab}$ .

Neste exemplo, menos para $T$ ,ningunha coclase esquerda é tamén unha coclase dereita.

Sexa $H$ o subgrupo ${I, a, a 2}$ .As coclases esquerdas de $H$ son $IH = H$ e $bH = {b, ba, ba 2}$ .As coclases dereitas $H$ son $HI = H$ e $Hb = {b, ab, a 2 b} = {b, ba 2, ba}$ .Neste caso, cada coclase esquerda de $H$ tamén é unha coclase dereita de $H$ .^[2]

Sexa $H$ un subgrupo do grupo $G$ e supoña que $g 1$ , $g 2 \in G$ .As seguintes sentenzas son equivalentes:^[3]

$g 1 H = g 2 H$
$Hg 1 -1 = Hg 2 -1$
$g 1 H \subset g 2 H$
$g 2 \in g 1 H$
$g 1 -1 g 2 \in H$

Propiedades

Todo elemento de $G$ pertence exactamente a unha coclase esquerda do subgrupo $H$ ,^[1]e $H$ é en si mesmo unha coclase esquerda (e o que contén a identidade).^[2]

Dous elementos que están na mesma coclase esquerda tamén proporcionan unharelación de equivalencianatural. Defina dous elementos de $G$ , $x$ e $y$ ,para que sexan equivalentes en relación ao subgrupo $H$ se $xH = yH$ (ou de forma equivalente se $x -1 y$ pertence a $H$ ). Asclases de equivalenciadesta relación son as coclases esquerdas de $H$ .^[4]Como con calquera conxunto de clases de equivalencia, forman unhaparticióndo conxunto subxacente. Unrepresentante de claseé unrepresentanteno sentido da clase de equivalencia. Un conxunto de representantes de todos os grupos de clase chámasetransversal.Existen outros tipos de relacións de equivalencia nun grupo, como a conxugación, que forman diferentes clases que non teñen as propiedades aquí comentadas.

Declaracións semellantes aplícanse ás coclases dereitas.

Se $G$ é ungrupo abeliano,entón $g + H = H + g$ para todo subgrupo $H$ de $G$ e cada elemento $g$ de $G$ .Para grupos en xeral, dado un elemento $g$ e un subgrupo $H$ dun grupo $G$ ,a coclase dereita de $H$ con relación a $g$ é tamén a coclase esquerda dosubgrupo conxugado $g -1 Hg$ con relación a $g$ ,é dicir, $Hg = g (g -1 Hg)$ .

Subgrupos normais

Un subgrupo $N$ dun grupo $G$ é unsubgrupo normalde $G$ se e só se para todos os elementos $g$ de $G$ as coclases dereitas e esquerdas correspondentes son iguais, é dicir, $gN = Ng$ .Este é o caso do subgrupo $H$ no primeiro exemplo anterior. A maiores, as clases de $N$ en $G$ forman un grupo chamadogrupo cociente ou grupo de factores $G$ / $N$ .

Se $H$ non é normal en $G$ ,entón as súas coclases esquerdas son diferentes das súas coclases dereitas. É dicir, hai un $a$ en $G$ tal que ningún elemento $b$ satisfai $aH = Hb$ .Isto significa que a partición de $G$ nas coclases esquerdas de $H$ é unha partición diferente que a partición de $G$ nas coclases dereitas de $H$ .Isto é ilustrado polo subgrupo $T$ no primeiro exemplo anterior. (Algunhasclases poden coincidir. Por exemplo, se $a$ está nocentrode $G$ ,entón $aH = Ha$ ).

Por outra banda, se o subgrupo $N$ é normal o conxunto de todas as coclases forman un grupo chamado grupo cociente $G$ / $N$ coa operación $*$ definida por $(aN) * (bN) = abN$ .Dado que toda coclase dereita é unha coclase esquerda, non hai necesidade de distinguir as "coclases esquerdas" das "coclases dereitas".

Índice dun subgrupo

Cada clase esquerda ou dereita de $H$ ten o mesmo número de elementos (oucardinalidadeno caso dun $H$ infinito) que o propio $H$ .A maiores, o número de clases esquerdas é igual ao número de clases dereitas e coñécese comoíndicede $H$ enG,escrito como $[G : H]$ .O teorema de Lagrange permítenos calcular o índice no caso de que $G$ e $H$ sexan finitos: $|G|=[G:H]|H|.$ Esta ecuación tamén vale no caso de que os grupos sexan infinitos, aínda que o significado pode ser menos claro.

Máis exemplos

Números enteiros

Sexa $G$ ogrupo aditivodos enteiros, $Z = ({..., -2, -1, 0, 1, 2,...}, +)$ e $H$ o subgrupo $(3 Z,+) = ({..., -6, -3, 0, 3, 6,...}, +)$ .Daquela as coclases de $H$ en $G$ son os tres conxuntos $3 Z$ , $3 Z + 1$ e $3 Z + 2$ ,onde $3 Z + a = {..., -6 + a,-3 + a, a,3 + a,6 + a,...}$ .Estes tres conxuntos particionan o conxunto $Z$ ,polo que non hai outras clases dereitas de $H$ .Debido áconmutividadeda suma $H + 1 = 1 + H$ e $H + 2 = 2 + H$ .É dicir, cada coclase esquerda de $H$ tamén é unha coclase dereita, polo que $H$ é un subgrupo normal.^[5](O mesmo argumento mostra que cada subgrupo dun grupo abeliano é normal^[6]).

Vectores

Outro exemplo de coclase provén da teoría dosespazos vectoriais.Os elementos (vectores) dun espazo vectorial forman ungrupo abelianobaixoa suma de vectores.Ossubespazosdo espazo vectorial sonsubgruposdeste grupo. Para un espazo vectorial $V$ ,un subespazo $W$ e un vector fixo $a$ en $V$ ,os conxuntos $\{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w},\mathbf {w} \in W\}$ chámansesubespazos afínse son clases secundarias (tanto á esquerda como á dereita, xa que o grupo é abeliano). En termos de vectoresxeométricostridimensionais, estes subespazos afíns son todas as "liñas" ou "planos"paralelosao subespazo, que é unha liña ou plano que pasa pola orixe. Por exemplo, considere oplano $R 2$ .Se $m$ é unha liña que pasa pola orixe $O$ ,entón $m$ é un subgrupo do grupo abeliano $R 2$ .Se $P$ está en $R 2$ ,entón o conxunto $P + m$ é unha recta $m'$ paralela a $m$ e que pasa por $P$ .^[7]

Matrices

Sexa $G$ o grupo multiplicativo de matrices,^[8] $G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R},a\neq 0\right\},$ e o subgrupo $H$ de $G$ , $H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.$ Para un elemento fixo de $G$ considere a coclase esquerda ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}$ É dicir, as coclases esquerdas consisten en todas as matrices de $G$ que teñen a mesma entrada superior esquerda. Este subgrupo $H$ é normal en $G$ ,mais o subgrupo $T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}$ non é normal en $G$ .

Como órbitas dunha acción de grupo

Un subgrupo $H$ dun grupo $G$ pódese usar para definir unhaacciónde $H$ sobre $G$ de dúas formas naturais. Unhaacción pola dereita, $G \times H \to G$ dada por $(g, h) \to gh$ ou unhaacción pola esquerda, $H \times G \to G$ dada por $(h, g) \to hg$ .Aórbitade $g$ baixo a acción pola dereita é a coclase esquerda $gH$ ,mentres que a órbita baixo a acción pola esquerda é a coclase dereita $Hg$ .^[9]

Coclases duplas

Dados dous subgrupos, $H$ e $K$ (que non precisan ser distintos) dun grupo $G$ ,ascoclases duplasde $H$ e $K$ en $G$ son os conxuntos da forma $HgK = {hgk : h un elemento de H, k un elemento de K}$ .Estas son as coclases esquerdas de $K$ e as dereitas de $H$ cando $H = 1$ e $K = 1$ respectivamente.^[10]

Dúas cclases duplas $HxK$ e $HyK$ son disxuntas ou idénticas.^[11]O conxunto de todas as clases duplas para $H$ e $K$ fixos forman unha partición de $G$ .

Unha coclase dupla $HxK$ contén as coclases dereitas completas de $H$ (en $G$ ) da forma $Hxk$ ,con $k$ un elemento de $K$ e as coclases esquerdas completas de $K$ (en $G$ ) da forma $hxK$ ,con $h$ en $H$ .^[11]

Notas

↑^1,0^1,1Rotman 2006
↑^2,0^2,1Dean 1990
↑"AATA Cosets".Arquivado dendeo orixinalo 2022-01-22.Consultado o2020-12-09.
↑Rotman 2006
↑Fraleigh 1994
↑Fraleigh 1994
↑Rotman 2006
↑Burton 1988
↑Jacobson 2009
↑Scott 1987
↑^11,0^11,1Hall 1959

Véxase tamén

Bibliografía

Burton, David M. (1988).Abstract Algebra.Wm. C. Brown Publishers.ISBN 0-697-06761-0.
Dean, Richard A. (1990).Classical Abstract Algebra.Harper and Row.ISBN 0-06-041601-7.
Fraleigh, John B. (1994).A First Course in Abstract Algebra(5th ed.). Addison-Wesley.ISBN 978-0-201-53467-2.
Hall, Jr., Marshall (1959).The Theory of Groups.The Macmillan Company.
Jacobson, Nathan (2009) [1985].Basic Algebra I(2nd ed.). Dover.ISBN 978-0-486-47189-1.
Joshi, K. D. (1989). "§5.2 Cosets of Subgroups".Foundations of Discrete Mathematics.New Age International. pp. 322 ff.ISBN 81-224-0120-1.
Miller, G. A. (2012) [1916].Theory and Applications of Finite Groups.Applewood Books.ISBN 9781458500700.
Rotman, Joseph J. (2006).A First Course in Abstract Algebra with Applications(3rd ed.). Prentice-Hall.ISBN 978-0-13-186267-8.
Scott, W.R. (1987). "§1.7 Cosets and index".Group Theory.Courier Dover Publications. pp. 19 ff.ISBN 0-486-65377-3.

Outros artigos

Ligazóns externas

Nicolas Bray."Coset".MathWorld.
Weisstein, Eric W."Left Coset".MathWorld.
Weisstein, Eric W."Right Coset".MathWorld.
Ivanova, O.A. (2001) [1994]."Coset in a group".Encyclopedia of Mathematics.EMS Press.
CosetatPlanetMath.
Illustrated examples
"Coset".groupprops.The Group Properties Wiki.

[Rotman2006-1] 1,0^1,1Rotman 2006

[Dean-2] 2,0^2,1Dean 1990

[3] "AATA Cosets".Arquivado dendeo orixinalo 2022-01-22.Consultado o2020-12-09.

[4] Rotman 2006

[5] Fraleigh 1994

[Fraleigh-6] Fraleigh 1994

[7] Rotman 2006

[8] Burton 1988

[Jacobson-9] Jacobson 2009

[10] Scott 1987

[Hall-11] 11,0^11,1Hall 1959

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]