Divisor

Enmatemáticas,undivisordun número enteiro$n,$tamén chamadofactorde$n,$é unnúmero enteiro$m$que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir$n.$Neste caso, tamén se di que$n$émúltiplode$m.$Un número enteiro$n$édivisiblepor outro número enteiro$m$se$m$é un divisor de$n$;isto implica que ao dividir$n$por$m$non temos un resto.

Definición

Unnúmero enteiro$n$é divisible por un número enteiro distinto de cero$m$se existe un número enteiro$k$tal que$n=km.$A nomenclatura habitual é

$m\mid n.$

En latex sería "m \mid n".

Isto pódese ler así$m$divide a$n,$$m$é un divisor de$n,$$m$é un factor de$n,$ou$n$é múltiplo de$m.$Se$m$non divide a$n,$daquela a notación é$m\not \mid n.$

Que en latex sería "m \not\mid n".

Xeral

Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).

1, -1,$n$e$-n$coñécense comodivisores triviaisde$n.$Un divisor de$n$que non é un divisor trivial coñécese como undivisor non trivial(ou divisor estrito). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese comonúmero composto,mentres que as unidades −1 e 1 eos números primosnon teñen divisores non triviais.

Osdivisores propiosson todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios.

Existenregras de divisibilidadeque permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.

Exemplos

• 7 é un divisor de 42 porque$7\times 6=42,$así podemos dicir$7\mid 42.$Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
• Os divisores non triviais de 6 son 2, − 2, 3, − 3.
• Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
• Oconxuntode todos os divisores positivos de 60,$A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},$parcialmente ordenadopola divisibilidade, ten odiagrama de Hasse:

Outras nocións e feitos

Algunhas regras elementais:

• Se$a\mid b$e$b\mid c,$entón$a\mid c,$é dicir, a divisibilidade é unharelación transitiva.
• Se$a\mid b$e$b\mid a,$entón$a=b$ou$a=-b.$
• Se$a\mid b$e$a\mid c,$entón cúmprese que$a\mid (b+c)$,igual para a resta$a\mid (b-c).$

Se$a\mid bc,$e$\gcd(a,b)=1,$entón$a\mid c.$Isto denómínaselema de Euclides.

Se$p$é un número primo e$p\mid ab$entón$p\mid a$ou$p\mid b.$

Un número enteiro$n>1$cuxo único divisor propio é 1 chámasenúmero primo.

Calquera divisor positivo de$n$é un produto dedivisores primosde$n$elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia doteorema fundamental da aritmética.

Un número$n$dise que éperfectose é igual á suma dos seus divisores propios,deficientese a suma dos seus divisores propios é menor que$n,$eabundantese esta suma supera$n.$

O número total de divisores positivos de$n$é unhafunción multiplicativa$d(n),$no caso de$m$e$n$serenrelativamente primos,entón$d(mn)=d(m)\times d(n).$Por exemplo,$d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)$;Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma$\sigma _{0}(n)$

A suma dos divisores positivos de$n$é outra función multiplicativa$\sigma _{1}(n)$(p. ex$\sigma _{1}(42)=96=3\times 4\times 8=\sigma _{1}(2)\times \sigma _{1}(3)\times \sigma _{1}(7)=1+2+3+6+7+14+21+42$). Esta última coñécese comofunción divisore cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso$d(n)=\sigma _{0}(n)$,pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.

Se a factorización de$n$está dada polos primos

$n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}$

daquela o número de divisores positivos de$n$é

$d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),$

e cada un dos divisores ten a forma

$p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}$

onde$0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}$para cada$1\leq i\leq k.$

Para cada número natural$n,$temos$d(n)<2{\sqrt {n}}.$

En álxebra abstracta

Teoría de aneis

Artigo principal:Divisibilidade (anel).

Retícula de división

Artigo principal:Retícula de división.

Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto$\mathbb {N}$de enteiros non negativos nunconxunto parcialmente ordenadoque é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro∧ven dada polomáximo común divisore a operación de unión∨polomínimo común múltiplo.Esta retícula é isomorfa ao dual daretícula de subgruposdogrupo cíclicoinfinito Z.

Véxase tamén

Bibliografía

• Durbin, John R. (2009).Modern Algebra: An Introduction(6th ed.). New York: Wiley.ISBN978-0470-38443-5.
• Guy, Richard K.(2004).Unsolved Problems in Number Theory(3rd ed.).Springer Verlag.ISBN0-387-20860-7.;section B
• Hardy, G. H.;Wright, E. M. (1960).An Introduction to the Theory of Numbers(4th ed.). Oxford University Press.
• Herstein, I. N. (1986).Abstract Algebra.New York: Macmillan Publishing Company.ISBN0-02-353820-1.
• Niven, Ivan;Zuckerman, Herbert S.;Montgomery, Hugh L.(1991).An Introduction to the Theory of Numbers(5th ed.).John Wiley & Sons.ISBN0-471-62546-9.
• Øystein Ore,Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
• Sims, Charles C. (1984).Abstract Algebra: A Computational Approach.New York: John Wiley & Sons.ISBN0-471-09846-9.
• Tanton, James (2005).Encyclopedia of mathematics.New York: Facts on File.ISBN0-8160-5124-0.OCLC56057904.

Outros artigos

• Funcións aritméticas
• Algoritmo euclidiano
• Fracción (matemáticas)
• Factorización de enteiros
• Táboa de factores primos– unha táboa de factores primos de 1 a 1000
• Divisor unitario
• Regras de Divisibilidade