Divisor
Enmatemáticas,undivisordun número enteirotamén chamadofactordeé unnúmero enteiroque se pode multiplicar por algún número enteiro para producir[1]Neste caso, tamén se di queémúltiplodeUn número enteiroédivisiblepor outro número enteiroseé un divisor de;isto implica que ao dividirpornon temos un resto.
Definición
[editar|editar a fonte]Unnúmero enteiroé divisible por un número enteiro distinto de cerose existe un número enteirotal queA nomenclatura habitual é
En latex sería "m \mid n".
Isto pódese ler asídivide aé un divisor deé un factor deoué múltiplo deSenon divide adaquela a notación é[2][3]
Que en latex sería "m \not\mid n".
Xeral
[editar|editar a fonte]Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).
1, -1,ecoñécense comodivisores triviaisdeUn divisor deque non é un divisor trivial coñécese como undivisor non trivial(ou divisor estrito[4]). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese comonúmero composto,mentres que as unidades −1 e 1 eos números primosnon teñen divisores non triviais.
Osdivisores propiosson todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios.
Existenregras de divisibilidadeque permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.
Exemplos
[editar|editar a fonte]- 7 é un divisor de 42 porqueasí podemos dicirTamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
- Os divisores non triviais de 6 son 2, − 2, 3, − 3.
- Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
- Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
- Oconxuntode todos os divisores positivos de 60,parcialmente ordenadopola divisibilidade, ten odiagrama de Hasse:
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Lattice_of_the_divisibility_of_60%3B_factors.svg/350px-Lattice_of_the_divisibility_of_60%3B_factors.svg.png)
Outras nocións e feitos
[editar|editar a fonte]Algunhas regras elementais:
- Seeentóné dicir, a divisibilidade é unharelación transitiva.
- Seeentónou
- Seeentón cúmprese que,igual para a resta
Seeentón[a]Isto denómínaselema de Euclides.
Seé un número primo eentónou
Un número enteirocuxo único divisor propio é 1 chámasenúmero primo.
Calquera divisor positivo deé un produto dedivisores primosdeelevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia doteorema fundamental da aritmética.
Un númerodise que éperfectose é igual á suma dos seus divisores propios,deficientese a suma dos seus divisores propios é menor queeabundantese esta suma supera
O número total de divisores positivos deé unhafunción multiplicativano caso deeserenrelativamente primos,entónPor exemplo,;Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma
A suma dos divisores positivos deé outra función multiplicativa(p. ex). Esta última coñécese comofunción divisore cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso,pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.
Se a factorización deestá dada polos primos
daquela o número de divisores positivos deé
e cada un dos divisores ten a forma
ondepara cada
Para cada número naturaltemos
En álxebra abstracta
[editar|editar a fonte]Teoría de aneis
[editar|editar a fonte]- Artigo principal:Divisibilidade (anel).
Retícula de división
[editar|editar a fonte]- Artigo principal:Retícula de división.
Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxuntode enteiros non negativos nunconxunto parcialmente ordenadoque é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro∧ven dada polomáximo común divisore a operación de unión∨polomínimo común múltiplo.Esta retícula é isomorfa ao dual daretícula de subgruposdogrupo cíclicoinfinito Z.
Notas
[editar|editar a fonte]- ↑refírese aomáximo común divisor,siglas en inglés.
Véxase tamén
[editar|editar a fonte]Bibliografía
[editar|editar a fonte]- Durbin, John R. (2009).Modern Algebra: An Introduction(6th ed.). New York: Wiley.ISBN978-0470-38443-5.
- Guy, Richard K.(2004).Unsolved Problems in Number Theory(3rd ed.).Springer Verlag.ISBN0-387-20860-7.;section B
- Hardy, G. H.;Wright, E. M. (1960).An Introduction to the Theory of Numbers(4th ed.). Oxford University Press.
- Herstein, I. N. (1986).Abstract Algebra.New York: Macmillan Publishing Company.ISBN0-02-353820-1.
- Niven, Ivan;Zuckerman, Herbert S.;Montgomery, Hugh L.(1991).An Introduction to the Theory of Numbers(5th ed.).John Wiley & Sons.ISBN0-471-62546-9.
- Øystein Ore,Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
- Sims, Charles C. (1984).Abstract Algebra: A Computational Approach.New York: John Wiley & Sons.ISBN0-471-09846-9.
- Tanton, James (2005).Encyclopedia of mathematics.New York: Facts on File.ISBN0-8160-5124-0.OCLC56057904.
Outros artigos
[editar|editar a fonte]- Funcións aritméticas
- Algoritmo euclidiano
- Fracción (matemáticas)
- Factorización de enteiros
- Táboa de factores primos– unha táboa de factores primos de 1 a 1000
- Divisor unitario
- Regras de Divisibilidade