Grupo (matemáticas)

As posibles manipulacións docubo de Rubikforman un grupo.

Enálxebra abstracta,ungrupoé unhaestrutura alxébricaque consta dunconxuntocunhaoperaciónque combina calquera par dos seus elementos para formar un terceiro elemento. Para que se poida cualificar como un grupo o conxunto e a operación deben satisfacer osaxiomasde grupo: ter apropiedade asociativa,elemento neutroeelemento inverso.

Ateoría de gruposestuda os grupos en si.

Historia

O concepto de grupo xurdiu do estudo dasecuacións polinómicascomezado porÉvariste Galoisdurante a década de 1830. Despois de contribucións desde outros campos como ateoría dos númerose axeometría,a noción xeneralizouse e estableceuse fortemente en torno a 1870.

A definición formal de grupo (G, *) foi formulada porFerdinand Georg Frobeniusen 1887, advertindo que os teoremas que demostraba dependían unicamente dos axiomas propostos e non tiña que acudir ao grupo das permutacións que empregaban os seus antecesoresCauchy,JordaneSylow.

Unha teoría especialmente rica foi desenvolvida para grupos finitos, culminada coteorema de clasificación de grupos simples,completado en 1983. Así mesmo, desde mediados da década de 1980 ateoría de grupos xeométricos,que estuda os grupos de xeración finita como obxectos xeométricos, converteuse nunha área particularmente activa na teoría dos grupos.

Definición

Un grupo é unconxunto,G,cunhaoperación binaria«•» que compón dous elementos calqueraaebdeGpara formar outro elemento denotado comoa • boab.Para poder cualificar como un grupo a (G, •), deben satisfacer catro propiedades:

Operación interna

Para todoa,bdeG,o resultado da operacióna • btamén pertence aG.

$\forall a,b\in G\quad:\quad a\cdot b\in G$

Asociatividade

Para todos osa,becdeG,cúmprese que(a • b) • c = a • (b • c).

Elemento neutro

Existe un elementoedeG,tal que para todos os elementosadeGse cumpre quee • a = a • e = a.O elemento neutro dun grupoGescríbese en ocasións como 1 ou 1_G,notación herdada da identidade multiplicativa.

$\exists e\,\,\forall a\in G\quad:\quad a\cdot e=e\cdot a=a$

Elemento inverso

Para todoadeG,existe un elementobdeGtal quea • b = b • a = e.

$\forall a\in G\,\,\exists a^{-1}\,:\,{a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a}=e$

A orde na que se realiza a operación do grupo pode ser significativa, é dicir, o resultado de operar o elementoaco elementobnon é necesariamente igual que o resultado debcona;a expresión

a • b = b • a

pode non ser certa. Os grupos nos que si se cumpre chámansegrupos abelianos,en honor aNiels Henrik Abel.

Notación e terminoloxía

Formalmente, un grupo é unpar ordenadodun conxunto e unha operación binaria neste conxunto que satisfai os axiomas do grupo. O conxunto chámaseconxunto subxacentedo grupo, e a operación chámaseoperación de grupooulei de grupo.

Un grupo e o seu conxunto subxacente son, polo tanto, dous obxectos matemáticos diferentes. Para evitar a notación engorrosa, é común abusar da notación ao usar o mesmo símbolo para indicar ambos os dous. Isto reflicte tamén unha forma informal de pensar: que o grupo é o mesmo que o conxunto, salvo que se enriqueceu coa estrutura adicional proporcionada pola operación.

Por exemplo, considere o conxunto dosnúmeros reais$\mathbb {R}$,que ten as operacións de suma$a+b$emultiplicación$ab$.Formalmente,$\mathbb {R}$é un conxunto,$(\mathbb {R},+)$é un grupo e$(\mathbb {R},+,\cdot )$é uncorpo.Mais é común escribir$\mathbb {R}$para indicar calquera destes tres obxectos.

Ogrupo aditivodo corpo$\mathbb {R}$é o grupo cuxo conxunto subxacente é$\mathbb {R}$e cuxa operación é a suma. Ogrupo multiplicativodo corpo$\mathbb {R}$é o grupo$\mathbb {R} ^{\times }$cuxo conxunto subxacente é o conxunto de números reais distintos de cero$\ R\smallsetminus \{0\}$e cuxa operación é a multiplicación.

De forma máis xeral, fálase dungrupo aditivosempre que a operación do grupo se denota como adición; neste caso, a identidade denotase normalmente$0$,e a inversa dun elemento$x$denotase$-x$.Do mesmo xeito, fálase dungrupo multiplicativosempre que a operación do grupo se denota como multiplicación; neste caso, a identidade adoita denotarse$1$,e a inversa dun elemento$x$denotase$x^{-1}$.Nun grupo multiplicativo, o símbolo da operación adoita omitirse por completo, de xeito que a operación se denota mediante xustaposición,$ab$en lugar de$a\cdot b$.

Exemplos

• O conxunto dosnúmeros enteirosZ coa suma teñen estrutura de grupo abeliano, xa que:

1. Para calquera par de enteirosaeb,a sumaa + btamén é enteiro.
2. Para todos os enteirosa,bec,(a + b) + c = a + (b + c).
3. Para calquera enteiroa,0 + a = a + 0 = a.
4. Para cada enteiroa,existe un enteirobtal quea + b = b + a = 0.O enteirobdenomínaseelemento inversodeae denótase como-a.

• Assimetrías(rotacións e reflexións) dun cadrado forma un grupo chamadodiédrico,que se expresa como D₄.
• O produto define unha estrutura de grupo conmutativo nosnúmeros racionaisnon nulos Q*.
• Asmatricescadradas de n columnas con elementos reais e determinante distinto de cero forman un grupo co produto de matrices.
• O grupo de movementos no espazo ougrupo de isometríadoespazo euclidiano.
• Ogrupo de Galileoestá formado polas transformacións do espazo e o tempo que conservan os sistemas de referencia inercais.

Grupos cíclicos

Artigo principal:Grupo cíclico.

As raíces sextas complexas da unidade forman un grupo cíclico.$z$é un elemento xerador, mais$z^{2}$non o é, porque as potencias impares de$z$non son unha potencia de$z^{2}$.

Ungrupo cíclicoé un grupo cuxos elementos sonpotenciasdun elemento particular$a$.En notación multiplicativa, os elementos do grupo son $$\dots,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots,$$ onde$a^{2}$significa$a\cdot a$,$a^{-3}$significa$a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}$,etc.Tal elemento$a$chámasexeradorou elemento primitivo do grupo. En notación aditiva, o requisito para que un elemento sexa xerador é que cada elemento do grupo se poida escribir como $$\dots,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots.$$

Nosgrupos modulares$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z},+)$,o elemento$1$é xerador, polo que estes grupos son cíclicos. De feito, todo elemento é expresábel como unha suma con todos os seus termos$1$.Calquera grupo cíclico con$n$elementos é isomorfo a este grupo. Un segundo exemplo de grupos cíclicos é o grupo das$n$-ésimasraíces complexas da unidade,dado porlosnúmeros complexos$z$satisfacendo$z^{n}=1$.Estes números pódense visualizar como osvérticesdun$n$-gon regular, como se mostra en azul na imaxe para$n=6$.A operación de grupo é a multiplicación de números complexos. Na imaxe, multiplicar con$z$correspóndese cunha rotaciónno sentido horariode 60°.Dateoría de corpossábese que o grupo$\mathbb {F} _{p}^{\times }$é cíclico para$p$primo: por exemplo, se$p=5$,$3$é un xerador xa que$3^{1}=3$,$3^{2}=9\equiv 4$,$3^{3}\equiv 2$e$3^{4}\equiv 1$.

Algúns grupos cíclicos teñen un número infinito de elementos. Nestes grupos, para cada elemento$a$distinto de cero, todas as potencias de$a$son distintas; a pesar do nome de "grupo cíclico", as potencias dos elementos non resultan nun ciclo. Un grupo cíclico infinito é isomorfo a$(\mathbb {Z},+)$,o grupo de números enteiros baixo a suma introducido anteriormente.Como estes dous modelos son ambos os dous abelianos, tamén o son todos os grupos cíclicos.

O estudo dos grupos abelianos finitamente xerados está bastante estudado, incluíndo oteorema fundamental dos grupos abelianos finitamente xerados;e reflectindo este estado de cousas, moitas nocións relacionadas co grupo, comocentroeconmutador,describen ata que punto un determinado grupo non é abeliano.

Grupo linear xeral

Artigo principal:Grupo linear xeral.

Osgrupos de matricesconsisten enmatricesxunto coamultiplicación de matrices.Ogrupo linear xeral$\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$consta de todas asmatrices invertíbeis$n\times n$con coeficientes reais.Os seus subgrupos denomínansegrupos de matricesougrupos lineares.O exemplo de grupo diédrico mencionado anteriormente pódese ver como un grupo matricial (moi pequeno). Outro grupo matricial importante é ogrupo ortogonal especial$\mathrm {SO} (n)$.Describe todas as rotacións posíbeis en$n$dimensións. Asmatrices de rotacióndeste grupo utilízanse extensamente nosgráficos por ordenador.

Conceptos básicos

As seguintes seccións usan símbolos matemáticos como$X=\{x,y,z\}$para indicar unconxunto$X$que conténelementos$x$,$y$e$z$ou$x\in X$para indicar que$x$é un elemento de$X$.A notación$f:X\to Y$significa que$f$é unhafunciónque asocia a cada elemento de$X$un elemento de$Y$.

Cando se estudan conxuntos, utilízanse conceptos comosubconxunto,función econxunto cocientepor unharelación de equivalencia.Cando se estudan grupos, utilízanse no seu lugarsubgrupos,homomorfismosegrupos cociente.Estes son os análogos que teñen en conta a estrutura do grupo.

Homomorfismos de grupo

Artigo principal:Homomorfismo de grupos.

Os homomorfismos de gruposson funcións que respectan a estrutura do grupo; poden utilizarse para relacionar dous grupos. Unhomomorfismodun grupo$(G,\cdot )$cara a un grupo$(H,*)$é unha función$\varphi:G\to H$tal que

$\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)$para todos os elementos$a$e$b$en$G$.

Sería natural esixir tamén que$\varphi$respectase as identidades,$\varphi (1_{G})=1_{H}$,e as inversas,$\varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}$para todas as$a$en$G$.No entanto, estes requisitos adicionais non precisan incluírse na definición de homomorfismos, porque xa están implicados pola esixencia de respectar a operación de grupo.

Ohomomorfismo identidadedun grupo$G$é o homomorfismo$\iota _{G}:G\to G$que asigna cada elemento de$G$a si mesmo. Unhomomorfismo inversodun homomorfismo$\varphi:G\to H$é un homomorfismo$\psi:H\to G$tal que$\psi \circ \varphi =\iota _{G}$e$\varphi \circ \psi =\iota _{H}$,é dicir, tal que$\psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g$para todas as$g$en$G$e tal que$\varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h$para todas as$h$en$H$.Unisomorfismoé un homomorfismo que ten un homomorfismo inverso; equivalentemente, é un homomorfismobixectivo.Os grupos$G$e$H$chámanseisomorfosse existe un isomorfismo$\varphi:G\to H$.Neste caso,$H$pódese obter de$G$simplemente renomeando os seus elementos segundo a función$\varphi$;entón calquera afirmación verdadeira para$G$tamén é verdadeira para$H$.

A colección de todos os grupos, xunto cos homomorfismos entre eles, forman unhacategoría,acategoría de grupos.

Un homomorfismoinxectiva$\phi:G'\to G$factoriza canonicamente como un isomorfismo seguido dunha inclusión,$G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G$para algún subgrupo$H$de$G$. Os homomorfismos inxectivos son osmonomorfismosda categoría de grupos.

Subgrupos

Artigo principal:Subgrupo.

Informalmente, unsubgrupoé un grupo$H$contido dentro dun máis grande,$G$:ten un subconxunto dos elementos de$G$,coa mesma operación.Concretamente, isto significa que o elemento identidade de$G$debe estar contido en$H$,e sempre que$h_{1}$e$h_{2}$estean ambos os dous en$H$,entón tamén o son$h_{1}\cdot h_{2}$e$h_{1}^{-1}$,polo que os elementos de$H$,equipados coa operación de grupo en$G$restrinxidos a$H$,de feito forman un grupo. Neste caso, o mapa de inclusión$H\to G$é un homomorfismo.

Coclases

Artigo principal:Coclase.

En moitas situacións é desexábel considerar dous elementos do grupo iguais se se diferencian por un elemento dun subgrupo dado. Por exemplo, no grupo de simetría dun cadrado, unha vez que se realiza calquera reflexión, as rotacións por si soas non poden devolver o cadrado á súa posición orixinal, polo que se pode pensar que as posicións reflectidas do cadrado son todas equivalentes entre si e como non nequivalentes das posicións non reflexivas; as operacións de rotación son irrelevantes para a cuestión de se se realizou unha reflexión. As coclases utilízanse para formalizar esta visión: un subgrupo$H$determina as coclases pola esquerda e pola dereita, que se poden considerar como as translacións de$H$por un elemento arbitrario do grupo$g$.En termos simbólicos, as coclasesesquerdaedereitade$H$,que conteñen un elemento$g$,son

$gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}$e$Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}$,respectivamente.

As coclases pola esquerda de calquera subgrupo$H$forman unhaparticiónde$G$;é dicir, auniónde todas as coclases pola esquerda é igual a$G$e dúas coclases pola esquerda ou son iguais ou teñen unhaintersecciónbaleira.O primeiro caso$g_{1}H=g_{2}H$ocorreprecisamente cando$g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H$,é dicir, cando os dous elementos difiren por un elemento de$H$.Consideracións similares aplícanse ás clases pola dereita de$H$.Os grupos pola esquerda de$H$poden ser ou non os mesmos que os de pola dereita. Se o son (é dicir, se todos os$g$en$G$satisfán$gH=Hg$), entón dise que$H$é unsubgrupo normal.

En$\mathrm {D} _{4}$,o grupo de simetrías dun cadrado, co seu subgrupo$R$de rotacións, as coclases pola esquerda$gR$son igual a$R$,se$g$é un elemento da propia$R$,ou igual a$U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}$(resaltado en verde na táboa de Cayley de$\mathrm {D} _{4}$). O subgrupo$R$é normal, porque$f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }$e de xeito similar para os demais elementos do grupo. (De feito, no caso de$\mathrm {D} _{4}$,as coclases xeradas polas reflexións son todas iguais:$f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R$.)

Táboa de Cayleyde$\mathrm {D} _{4}$

$\circ$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {c} }$
$\mathrm {id}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {c} }$
$r_{1}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {h} }$
$r_{2}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {d} }$
$r_{3}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {v} }$
$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$\mathrm {id}$	$r_{2}$	$r_{1}$	$r_{3}$
$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$r_{2}$	$\mathrm {id}$	$r_{3}$	$r_{1}$
$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$r_{3}$	$r_{1}$	$\mathrm {id}$	$r_{2}$
$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$r_{1}$	$r_{3}$	$r_{2}$	$\mathrm {id}$
Os elementos$\mathrm {id}$,$r_{1}$,$r_{2}$,ae$r_{3}$forman unsubgrupocuxa táboa de Cayley está en vermello(rexión superior dereita). Unhacoclasepola esquerda deste subgrupo está enverde (na última fila na esquerda) e a coclase pola dereita estáen amarelo (última columna). O resultado da composición$f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}$,a simetría$f_{\mathrm {d} }$,está enazul (máis ou menos no centro da táboa).

Grupos cociente

Artigo principal:Grupo cociente.

Supoña que$N$é un subgrupo normal dun grupo$G$,e

$G/N=\{gN\mid g\in G\}$

denota o seu conxunto de coclases. Entón hai unha lei de grupo única en$G/N$para a cal o mapa$G\to G/N$que envía cada elemento$g$a$gN$é un homomorfismo. Explicitamente, o produto de dúas coclases$gN$e$hN$é$(gh)N$,o grupo$eN=N$serve como a identidade de$G/N$,e a inversa de$gN$no grupo cociente é$(gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N$. O grupo$G/N$,lese como "$G$módulo$N$",chámasegrupo cocienteougrupo de factores. O grupo cociente pode ser caracterizado alternativamente por unhapropiedade universal.

Táboa de Cayley do grupo cociente$\mathrm {D} _{4}/R$

$\cdot$	$R$	$U$
$R$	$R$	$U$
$U$	$U$	$R$

Os elementos do grupo cociente$\mathrm {D} _{4}/R$son$R$e$U=f_{\mathrm {v} }R$.A operación do grupo sobre o cociente móstrase na táboa. Por exemplo,$U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} {v}})R=R$.Tanto o subgrupo$R=\{\mathrm {id},r_{1},r_{2},r_{3}\}$como o cociente$\mathrm {D} _{4}/R$son abelianos, mais$\mathrm {D} _{4}$non o é.

Oteorema primeiro do isomorfismoimplica que calquera homomorfismosobrexectivo$\phi:G\to H$factoriza canonicamente como un homomorfismo cociente seguido dun isomorfismo:$G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H$. Os homomorfismos sobrectivos son osepimorfismosda categoría de grupos.

Presentacións

Artigo principal:Presentación dun grupo.

Cada grupo é isomorfo a un cociente dungrupo libre,de moitos xeitos.

Por exemplo, o grupo diédrico$\mathrm {D} _{4}$xérase pola rotación á dereita$r_{1}$e pola reflexión$f_{\mathrm {v} }$nunha liña vertical (cada elemento de$\mathrm {D} _{4}$é un produto finito de copias destes e os seus inversos). Polo tanto, hai un homomorfismo sobrexectivo$\phi$do grupo libre$\langle r,f\rangle$en dous xeradores cara a$\mathrm {D} _{4}$enviando$r$a$r_{1}$e$f$a$f_{1}$. Os elementos en$\ker \phi$chámanserelacións;algúns exemplos inclúen$r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}$. De feito, resulta que$\ker \phi$é o subgrupo normal máis pequeno de$\langle r,f\rangle$que contén estes tres elementos; noutras palabras, todas as relacións son consecuencias destas tres. O cociente do grupo libre por este subgrupo normal é$\langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle$. Isto chámasepresentaciónde$\mathrm {D} _{4}$que ben dada mediante xeradores e relacións, porque debido ao primeiro teorema de isomorfismo para$\phi$,este produce un isomorfismo$\langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}$.

Pódese usar unha presentación dun grupo para construír ungrafo de Cayley,que é unha representación gráfica dungrupo discreto.

Grupos con estrutura adicional

Unha definición equivalente de grupo consiste en substituír a parte "existe" dos axiomas de grupo por operacións cuxo resultado é o elemento que debe existir. Así, un grupo é un conxunto$G$equipado cunha operación binaria$G\times G\rightarrow G$(a operación de grupo), unhaoperación unaria$G\rightarrow G$(que proporciona a inversa) e unhaoperación nula,que non ten operando e dá como resultado o elemento identidade. En caso contrario, os axiomas do grupo son exactamente os mesmos. Esta variante da definición evita oscuantificadores existenciaise úsase na computación con grupos.

Esta forma de definir grupos préstase a xeneralizacións como a noción deobxecto de gruponunha categoría. Brevemente, este é un obxecto conmorfismosque imitan os axiomas de grupo.

Grupos topolóxicos

Acircunferencia unitarianoplano complexobaixo a multiplicación complexa é un grupo de Lie e, polo tanto, un grupo topolóxico. É topolóxico xa que a multiplicación e división complexas son continuas. É unha variedade e, polo tanto, un grupo de Lie, porque cadapequena peza,como o arco vermello da figura, aseméllase a unha parte darecta real(mostrada na parte inferior).

Artigo principal:Grupo topolóxico.

Algúnsespazos topolóxicospoden estar dotados dunha lei de grupo. Para que a lei de grupo e a topoloxía se entretezan ben, as operacións de grupo deben ser funcións continuas; informalmente,$g\cdot h$e$g^{-1}$non deben variar moito se$g$e$h$varían só un pouco. Eses grupos chámansegrupos topolóxicose son os obxectos de grupo nacategoría de espazos topolóxicos.Os exemplos máis básicos son o grupo de números reais baixo a suma e o grupo de números reais distintos de cero baixo multiplicación. Exemplos semellantes pódense formar a partir de calquera outrocorpo topolóxico,como o corpo dos números complexos ou o corpo dosnúmerosp-ádicos.Estes exemplos sonlocalmente compactos,polo que teñenmedida de Haare pódense estudar medianteanálise harmónica.Outros grupos topolóxicos localmente compactos inclúen o grupo de puntos dun grupo alxébrico sobre uncorpo localou unanel adélico;estes son básicos para a teoría de números.Os grupos de Galois de corpos alxébricos de extensións infinitas están equipados coatopoloxía de Krull,que xoga un papel noTeoría de Galois infinita.Unha xeneralización utilizada en xeometría alxébrica é ogrupo fundamental étale.

Grupos de Lie

Artigo principal:Grupo de Lie.

Ungrupo de Lieé un grupo que tamén ten a estrutura dunhavariedade diferenciábel;informalmente, isto significa que ose parece localmentea un espazo euclidiano dalgunha dimensión fixa.De novo, a definición require que a estrutura adicional, aquí a estrutura de variedades, sexa compatíbel: os mapas de multiplicación e inverso deben sersuaves.

Un exemplo estándar é o grupo linear xeral introducido anteriormente: é unsubconxunto abertodo espazo de todas as matrices$n\times n$,porque se dá pola identidade

$\det(A)\neq 0,$

onde$A$denota unha matriz$n\times n$. Os grupos de Lie son de importancia fundamental na física moderna: oTeorema de Noethervincula simetrías continuas acantidades conservadas.Arotación,así como as translación noespazoe otempo,son simetrías básicas das leis damecánica.

Véxase tamén

Bibliografía

• Artin, Michael(1991).Algebra.Prentice Hall.ISBN978-0-89871-510-1.,Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
• Devlin, Keith(2000).The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible.Owl Books.ISBN978-0-8050-7254-9.,Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
• Hall, G. G.(1967).Applied group theory.American Elsevier Publishing Co., Inc., New York.MR0219593.,an elementary introduction.
• Herstein, Israel Nathan(1996).Abstract algebra(3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc.ISBN978-0-13-374562-7.MR1375019..
• Herstein, Israel Nathan (1975).Topics in algebra(2nd ed.). Lexington, Mass.: Xerox College Publishing.MR0356988..
• Lang, Serge (2005).Undergraduate Algebra(3rd ed.). Berlin, New York:Springer-Verlag.ISBN978-0-387-22025-3..
• Ledermann, Walter (1953).Introduction to the theory of finite groups.Oliver and Boyd, Edinburgh and London.MR0054593..
• Ledermann, Walter (1973).Introduction to group theory.New York: Barnes and Noble.OCLC795613..
• Robinson, Derek John Scott (1996).A course in the theory of groups.Berlin, New York: Springer-Verlag.ISBN978-0-387-94461-6..

Outros artigos

• Clasificación dos grupos simples finitos