Homeomorfismo

Entopoloxía,unhomeomorfismo(do gregoὅμοιος(homoios) = mesma eμορφή(morphē) = forma)^[1]é unha función dunespazo topolóxiconoutro, que cumpre con ser unhafunciónun a un continua e cuxainversaé continua. Neste caso, os dous espazos topolóxicos chámanse homeomorfos. As propiedades destes espazos que se conservan baixo homeomorfismos denomínanse propiedades topolóxicas.

Nacategoría de espazos topolóxicos,osmorfismosson as funcións continuas e os isomorfismos son os homeomorfismos. Consecuentemente, a composición de dous homeomorfismos é de novo un homeomorfismo, e o conxunto de todos os homeomorfismosh:X→Xdun espazo en si mesmo forman un grupo chamadogrupo de homeomorfismosdeX,que adoita notarse como Homeo(X).

De modo intuitivo, o concepto de homeomorfismo reflicte como dous espazos topolóxicos son «os mesmos» vistos doutra maneira: permitindo estricar, dobrar ou cortar e pegar. Con todo, os criterios intuitivos de «estricar», «dobrar», «cortar e pegar» requiren de certa práctica para aplicalos correctamente. Deformar un segmento de liña até un punto non está permitido, por exemplo. Contraer de maneira continua un intervalo até un punto é outro proceso topolóxico de deformación chamadohomotopía.

Definición

A definición de homeomorfismo é a seguinte:

Sexan $X$ e $Y$ espazos topolóxicos,e $f$ unhafunciónde $X$ en $Y$ ;entón, $f$ é un homeomorfismo se se cumpre:
$f$ é unha bixección

$f$ écontinua

Ainversade $f$ é continua

Se $f:X\to Y$ é un homeomorfismo, dise que $X$ éhomeomorfoa $Y$ .Se dous espazos son homeomorfos entón teñen exactamente as mesmas propiedades topolóxicas. Dende o punto de vista dateoría de categorías,dous espazos que son homeomorfos son iguais topoloxicamente falando.

Exemplos

Dous espazos dotados da topoloxía discreta son homeomorfos se e só se teñen a mesma cardinalidade.
SeXé unespazo compactoeYé unespazo de Hausdorff,entón $f:X\to Y$ é un homeomorfismo se e só sefé unha bixección continua. Isto é, non é necesario verificar que a inversa defsexa continua. Esta propiedade é útil en moitas situacións.
Unha esferan-dimensional á que se lle quitou un punto, $\mathbb {S} ^{n}\setminus \{x\}$ ,é homeomorfa ao espazo euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ .O homeomorfismo pode ser construído a partir daproxección estereográfica.

Difeomorfismo

Undifeomorfismoé un homeomorfismo diferenciable entre variedades diferenciables cuxa inversa tamén é diferenciable; é dicir, é un isomorfismo devariedades diferenciables.Oscambios de coordenadasconstitúen un caso particular de difeomorfismo.

Un exemplo para distinguir entre homeomorfismo e difeomorfismo:

Unhacircunferenciae operímetrodun cadrado son homeomorfos, pero non difeomorfos.

Tamén:

Dúas curvas calquera, no espazo, son homeomorfas, no sentido que existe un homeomorfismo entre elas.

Dous volumes tipo «cunca de café con asa» e un «toro» son homeomorfos.^[2]

Un cambio de coordenadas regular pode representarse como un difeomorfismo entre os respectivos dominios das coordenadas.

Enfísicaos difeomorfismos son amplamente usados:

Namecánica hamiltonianao fluxo asociado á evolución temporal dun sistema mecánico é un difeomorfismo. Tamén calquera transformación canónica é un difeomorfismo.

Namecánica de medios continuosa deformación é un difeomorfismo desde unha configuración inicial á configuración final. O conxunto de todos estes difeomorfismos forma ungrupo de Liede dimensión infinita.

Narelatividade xerala evolución do espazo-tempo vén dada por un grupo uniparamétrico de difeomorfismos. Ogrupo de normada relatividade xeral é o grupo de difeomorfismos que ademais sonisometrías.

Notas

↑Gamelin, T. W., & Greene, R. E. (1999). Introduction to topology. Courier Corporation.[1]
↑Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995).Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems.Texts in Applied Mathematics18.Springer. p. 204.ISBN 978-0-387-94377-0.

Véxase tamén

Outros artigos

Ligazóns externas

Weisstein, Eric W.«Homeomorphism».

[1] Gamelin, T. W., & Greene, R. E. (1999). Introduction to topology. Courier Corporation.[1]

[2] Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995).Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems.Texts in Applied Mathematics18.Springer. p. 204.ISBN 978-0-387-94377-0.

[1]

[2]