Lóxica

Alóxica,termocon orixe no grego λογικήlogos,'razón', 'palabra', é a parte dafilosofíae dasmatemáticasque se ocupa dos razoamentos expresados lingüisticamente. Estuda a súa estrutura, a súa forma e a súa corrección e establece cando un razoamento está ben construído e podemos, polo tanto, asegurar a validez da súa conclusión.

Así como o obxecto de estudo tradicional daquímicaé amateria,e o dabioloxíaavida,o da lóxica é ainferencia.A inferencia é o proceso polo cal se derivan conclusións a partir de premisas.A lóxica investiga os principios polos cales algunhas inferencias son aceptables, e outras non. Cando unha inferencia é aceptable, éo pola súaestrutura lóxica,e non polo contido específico do argumento ou a linguaxe utilizada. Por esta razón a lóxica considérase unhaciencia formal,como a matemática, no canto dunhaciencia empírica.

A lóxica tradicionalmente foi considerada unha rama dafilosofía.Pero desde finais do século XIX, a súa formalización simbólica demostrou unha íntima relación coasmatemáticas,e deu lugar álóxica matemática.No século XX a lóxica pasou a ser principalmente a lóxica simbólica, uncálculodefinido porsímboloseregras de inferencia,o que permitiu a súa aplicación áinformática.Até o século XIX, alóxica aristotélicaeestoicamantiveron sempre unha relación cos argumentos formulados enlinguaxe natural.Por iso, aínda que eranformais,non eranformalistas.Hoxe esa relación trátase baixo un punto de vista completamente diferente. A formalización estrita mostrou as limitacións da lóxica tradicional ou aristotélica, que hoxe se interpreta como unha parte pequena dalóxica de clases.

A natureza da lóxica

Aristóteles,384–322 adC., un dos pais da filosofía.

O concepto central que estuda a lóxica é a relación deconsecuencia lóxica.Informalmente podémolo expresar de varias maneiras. Dado un conxunto de proposicións (as premisas) e unha proposición (a conclusión) podemos dicir que as premisas teñen como consecuencia lóxica a conclusión se estase seguedas premisas, ou se as premisas constitúen unhaboa xustificaciónpara a conclusión, ou o razoamento que empeza coas premisas e acaba coa conclusión éloxicamente válido.Esta relación explicouse de varias maneiras que, xeralmente, parten dunha mesma idea básica: entre unhas premisas e unha conclusión hai relación de consecuencia lóxica se, e só se, non é posible que as premisas sexan verdadeiras e en cambio a conclusión sexa falsa.

A forma tamén é unha noción central para a lóxica porque permite estudar a consecuencia lóxica. Recibiu varios tratamentos. En particular, alóxica simbólicafíxoo a través de linguaxes simbólicas, mentres que a lóxica tradicionalaristotèlica-medieval fíxoo a través dasiloxística.

• Alóxica informaloudialécticaestuda o razoamento feito enlinguaxe naturalsen facer unha formalización. Unha rama moi significativa é a que se dedica ásfalacias.Os diálogos dePlatónson un exemplo clásico.
• Alóxica formalestuda ainferenciaa través de sistemas formais que fan abstracción do contido das proposicións e fíxanse só na súa forma. As primeiras regras de lóxica formal foron descritas porAristóteles.A grandes liñas, podemos dicir que a todo sistema formal correspóndelle determinar unha linguaxe (natural ou artificial) en que se formulan as proposicións, uns enunciados que se consideran verdadeiros e que non hai que demostrar (os axiomas) e unhas regras de inferencia que permiten obter novos enunciados a partir de enunciados xa xustificados. Aqueles enunciados que se poden demostrar simplemente a partir dosaxiomase as regras de inferencia (é dicir, sen o uso de premisas suplementarias) son osteoremasdo sistema.
• Alóxica simbólicaé a parte da lóxica formal que opera só con linguaxes simbólicas artificiais especialmente deseñados para captar só os aspectos formais da inferencia.Normalmente a lóxica simbólica divídese en dúas ramas:lóxica proposicionalou sentencial elóxica de predicados.
• Alóxica matemáticaé a extensión da lóxica simbólica a áreas que, sexa porque teñen unha vontade de fundamentación ou sexa porque usan métodos e resultados, son de interese para (ou aínda pertencen a) asmatemáticasou ainformática,por exemplo ateoría de modelos,ateoría da proba,ateoría de conxuntose ateoría da computabilidade.

Consistencia, corrección e completitude

Algunhas das propiedades máis importantes que pode ter unsistema formalson as seguintes:

• Consistencia:o sistema é libre de contradicións, é dicir, as proposicións que permite xustificar son loxicamente compatibles entre si e non é posible derivar ningunha contradición.

• Corrección:o sistema só permite derivar proposicións que son consecuencia lóxica das premisas que se utilizaron na derivación, é dicir, non permite derivar unha proposición falsa a partir de premisas verdadeiras. Polo tanto, se un sistema é correcto e ten axiomas verdadeiros, entón todos os teoremas que permite demostrar son tamén verdadeiros, e todas as consecuencias que permite derivar de premisas verdadeiras tamén son verdadeiras. Deste xeito a relación de derivabilidade nun sistema formal correcto é unha relación de consecuencia lóxica.

• Completitude:dado calquera conxunto de premisas o sistema permite derivar todas as proposicións que son consecuencia lóxica.

Xusto é dicir que non todos os sistemas formais gozan destas tres propiedades. De feito, os soados traballos deKurt Gödelmostraron que non hai ningún sistema útil para aaritméticaque sexa ó tempo consistente e completo.

Razoamento dedutivo e indutivo

En todo o que dixemos até aquí facíamos referencia só aorazoamento dedutivo,é dicir, a aquel que estuda a relación de consecuencia lóxica entre un conxunto de premisas e unha conclusión. Aínda así, hai que ter en conta que tradicionalmente tamén se considerou outro tipo de razoamento, orazoamento indutivo,que tipicamente deriva xeneralizacións aceptables a partir de observacións empíricas. Este outro tipo de razoamento tamén foi obxecto de estudo pola lóxica. Polo tanto, hai que distinguir coidadosamente entre a validez dedutiva e a validez indutiva. Dixemos que unha inferencia é dedutivamente válida se, e só se, non é posible que as premisas sexan verdadeiras e a conclusión sexa falsa. Así, a inferencia dedutiva ouconsecuencia lóxicarecibe un tratamento puramente semántico. A validez indutiva, en cambio, require aclarar que é unha xeneralización aceptable a partir dun conxunto de observacións empíricas. Este concepto tentouse dilucidar desde varios puntos de vista, algúns máis formais que outros, e ás veces deron lugar a definicións que involucran modelos probabilísticos.

Concepcións diferentes da lóxica

Como vimos até agora, a lóxica xurdiu da preocupación pola corrección daargumentación.Os lóxicos modernos normalmente queren asegurarse que a lóxica estuda tan só aqueles argumentos que se desprenden de formas xerais apropiadas de inferencia. Así pois, por exemplo, aEnciclopedia Stanford de Filosofíadi da lóxica que noncobre, aínda así, a totalidade dos bos razoamentos. Esta é a tarefa daracionalidade.Máis ben, a lóxica trata con inferencias das que se pode determinar a orixe da súa validez nas características formais das representacións que están involucradas nesta inferencia, sexa esta lingüística, mental, ou doutro tipo.

Como contraste,Immanuel Kantargumentou que a lóxica tería que se concibir como ciencia do xuízo, unha idea recollida nas obras lóxicas e filosóficas deGottlob Frege,onde o pensamento (enalemán:gedanke) se substitúe polo xuízo (en alemán:urteil). Seguindo esta concepción, as inferencias lóxicas válidas seguiríanse das características estruturais do xuízo ou dos pensamentos.

Historia da lóxica

A lóxica como ciencia e como instrumento de coñecemento científico nace enGreciae foi fundada porAristóteles,que escribe moitos tratados sobre o razoamento dedutivo referíndose a unha modalidade deste razoamento que recibe o nome desiloxismo.A esta lóxica iniciada por este filósofo, e conservada practicamente na súa totalidade con algunhas achegas daIdade Mediae daIdade Moderna,dámoslle o nome de lóxica clásica ou tradicional. A partir doséculo XIXcomeza a contribución de matemáticos e lóxicos como Boole (XIX), Frege (XIX-XX) ou Rusell (XX), e con eles iniciase a chamada lóxica moderna ou simbólica. As principais diferenzas entre a lóxica clásica e moderna son as seguintes: Na lóxica tradicional só se substituían por símbolos as partes variables dos enunciados, é dicir, os nomes e os predicados, e os outros elementos permanecían nunca linguaxe natural. Coa lóxica simbólica tamén os elementos que sinalan relacións se substitúen. Outra diferenza é que a lóxica moderna ten unha linguaxe formal (por iso pode chamarse lóxica formal), pois non emprega unha linguaxe corrente senón as súas propias regras e signos. A pesar de todo a lóxica moderna non anula á anterior porque inclúe as contribucións fundamentais da súa predecesora. Por iso, a lóxica moderna é máis ampla.

Idade Antiga

A lóxica, como unha análise explícita dos métodos de razoamento, desenvolveuse orixinalmente en tres civilizacións dahistoria antiga:China,IndiaeGrecia,entre o século V e o século I a.C.

Na China non durou moito tempo: a tradución e a investigación escolar en lóxica foi reprimida poladinastía Qin,acorde coa filosofíalexista.Na India, a lóxica durou bastante máis: desenvolveuse (por exemplo coanyāya) ata que no mundo islámico apareceu a escola deAsharite,a cal suprimiu parte do traballo orixinal en lóxica. A pesar do anterior, houbo innovacións escolásticas indias até principios do século XIX, pero non sobreviviu moito dentro da India colonial. O tratamento sofisticado e formal da lóxica moderna aparentemente provén da tradición grega.

Considérase aAristóteleso fundador da lóxica comopropedéuticaou ferramenta básica para todas as ciencias. Aristóteles foi o primeiro enformalizaros razoamentos, utilizando letras para representar termos. Tamén foi o primeiro en empregar o termo «lóxica» para referirse ao estudo dosargumentosdentro da «linguaxe apofántica» como manifestador da verdade na ciencia. Sostivo que averdademaniféstase noxuízoverdadeiro e o argumentoválidonosiloxismo:«Siloxismo é un argumento no cal, establecidas certas cousas, resulta necesariamente delas, por ser o que son, outra cousa diferente».Referiuse en varios escritos do seuÓrganona cuestións tales comoconcepto,aproposición,definición,probaefalacia.Na súa principal obra lóxica, osPrimeiros analíticos,desenvolveu osiloxismo,un sistema lóxico de estrutura ríxida.Aristótelestamén formalizou ocadro de oposición dos xuízose categorizou as formas válidas do siloxismo. Ademais, Aristóteles recoñeceu e estudou os argumentos indutivos, base do que constitúe a ciencia experimental, cuxa lóxica está estreitamente ligada ómétodo científico.A influencia dos logros de Aristóteles foi tan grande, que no século XVIII,Immanuel Kantchegou a dicir que Aristóteles practicamente completara a ciencia da lóxica.

Os filósofosestoicosintroduciron osiloxismo hipotéticoe anunciaron alóxica proposicional,pero non tivo moito desenvolvemento.

Doutra banda, alóxica informalfoi cultivada polaretórica,aoratoriae afilosofía,entre outras ramas do coñecemento. Estes estudos centráronse principalmente na identificación defalaciaseparadoxos,así como na construción correcta dosdiscursos.

No período romano a lóxica tivo pouco desenvolvemento, máis ben fixéronse sumarios e comentarios ás obras recibidas, sendo os máis notables:Cicerón,PorfirioeBoecio.No períodobizantino,Filopón.

Idade Media

Averroes,un dos principais árabes en rescatar a lóxica aristotélica e regresala a Occidente.

Co nome deDialécticanaIdade Mediaa lóxica mantén a condición de cienciapropedéutica.Así se estuda na estrutura dos ensinos doTriviumcomo unha dasartes liberaispero sen especiais achegas na Alta Idade Media.

Na súa evolución cara áBaixa Idade Mediason importantes as achegas árabes deAl-Farabí;AvicenaeAverroes,pois foron os árabes quen reintroduciron os escritos de Aristóteles en Europa.

Na Baixa Idade Media o seu estudo era requisito para entrar en calquera universidade. Desde mediados do século XIII inclúense na lóxica tres corpos separados do texto. Nalogica vetuselogica novaé tradicional escritos lóxicos, especialmente oÓrganonde Aristóteles e os comentarios deBoecioePorfirio.Aparva logicaliapode ser considerada como representativa da lóxica medieval.

A evolución crítica que se vai desenvolvendo a partir das achegas deAbelardodinamizaron a problemática lóxica e epistemolóxica a partir do século XIII (Pedro Hispano,Raimundo Lulio,Lambert de AuxerreeGuillerme de Sherwood) que culminaron en toda a problemática do século XIV:Guillerme de Ockham,Jean BuridaneAlberte de Saxonia.

Aquí están tratados unha cantidade de novos problemas na fronteira da lóxica e dasemánticaque non foron tratados polos pensadores antigos. De especial relevancia é a problemática respecto da valoración dos termos da linguaxe en relación cosconceptos universais,así como o estatuto epistemolóxico e ontolóxico destes e o problema daindividuación.

Idade Moderna

Retrato de G.W.F. Hegel.

Artigo principal:Kant.

Artigo principal:Idealismo.

Artigo principal:Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

Un novo enfoque adquire esta lóxica nas interpretacións racionalistas dePort Royal,no século XVII, (Antoine Arnauld;Pierre Nicole) pero tampouco supuxeron un cambio radical no concepto da lóxica como ciencia.

Os filósofos racionalistas, con todo, achegaron a través do desenvolvemento daanálisee o seu desenvolvemento nas matemáticas (Descartes,PascaleLeibniz) os temas que van marcar o desenvolvemento posterior. Son de especial importancia a idea de Descartes dunhaMathesis universalise de Leibniz na procura dunhalinguaxe universal,especificado con precisión matemática sobre a base de que asintaxedaspalabrasdebería estar encorrespondenciacoasentidadesdesignadas comoindividuosou elementosmetafísicos,o que faría posible uncálculooucomputaciónmediantealgoritmosno descubrimento da verdade.

Aparecen os primeiros intentos e realizacións de máquinas de cálculo, (Pascal,Leibniz) e, aínda que o seu desenvolvemento non foi eficaz, con todo a idea dunhaMathesis Universalou «Característica Universal», é o antecedente inmediato do desenvolvemento da lóxica a partir do século XX.

Kantconsideraba que a lóxica por ser unha cienciaa prioriatopara o seu pleno desenvolvemento practicamente coa lóxica aristotélica, polo que apenas fora modificada desde entón.

Pero fai un uso novo da palabra «lóxica» comolóxica transcendental,no sentido de investigar osconceptos purosdoentendementooucategoríastranscendentais.

A lóxica dopensartranscendental acaba situándose nun procesodialécticocomoidealismo subxectivoenFichte;idealismo obxectivoenSchellinge, finalmente unidealismo absolutoenHegel.

Hegel considera a lóxica dentro doAbsolutocomo un procesodialécticodo Espírito Absolutoque produce as súas determinacións comoconceptoe a súarealidadecomoresultadono devir daIdeado Absoluto como Suxeitocuxa verdade se manifesta noresultadodo movemento mediante acontradiciónen tres momentos sucesivos,tese-antítese-síntese.Aepistemoloxíae aontoloxíavan unidas e expostas naFilosofíaentendida esta comoSistema Absoluto.

Século XIX

George Boole.

A partir da segunda metade do século XIX, a lóxica sería revolucionada profundamente. En 1847,George Boolepublicou un breve tratado tituladoA análise matemática da lóxica,e en 1854 outro máis importante tituladoAs leis do pensamento.A idea de Boole foi construír á lóxica como uncálculono que osvalores de verdaderepreséntanse mediante o 0 (falsidade) e o 1 (verdade), e ós que se lles aplicanoperacións matemáticascomo asumae amultiplicación.

Ó mesmo tempo,Augustus De Morganpublica en 1847 a súa obraLóxica formal,onde introduce asleis de De Morgane tenta xeneralizar a noción de siloxismo. Outro importante contribuínte inglés foiJohn Venn,quen en 1881 publicou o seu libroLóxica Simbólica,onde introduciu os famososdiagramas de Venn.

Charles Sanders PeirceeErnst Schrödertamén fixeron importantes contribucións.

Con todo, a verdadeira revolución da lóxica veu da man deGottlob Frege,quen frecuentemente é considerado como o lóxico máis importante da historia, xunto con Aristóteles. No seu traballo de 1879, aConceptografía,Frege ofrece por primeira vez un sistema completo delóxica de predicados.Tamén desenvolve a idea dunhalinguaxe formale define a noción deproba.Estas ideas constituíron unha base teórica fundamental para o desenvolvemento dascomputadorase asciencias da computación,entre outras cousas. A pesar disto, os contemporáneos de Frege pasaron por alto as súas contribucións, probablemente por mor da complicada notación que desenvolveu o autor. En 1893 e 1903, Frege publica en dous volumesAs leis da aritmética,onde tenta deducir toda amatemáticaa partir da lóxica, no que se coñece como oproxecto loxicista.O seu sistema, con todo, contiña unha contradición (oparadoxo de Russell).

Século XX

Bertrand Russell.

O século XX sería un de enormes desenvolvementos na lóxica. A partir do século XX, a lóxica pasou a estudarse polo seu interese intrínseco, e non só polas súas virtudes como propedéutica, polo que se estudou a niveis moito máis abstractos.

En 1910,Bertrand RusselleAlfred North WhiteheadpublicanPrincipia mathematica,un traballo monumental no que logran derivar gran parte da matemática a partir da lóxica, evitando caer nos paradoxos nas que caeu Frege. Os autores recoñecen o mérito de Frege no prefacio. En contraste co traballo de Frege,Principia mathematicativo un éxito rotundo, e chegou a considerarse un dos traballos de non ficción máis importantes e influentes de todo o século XX.Principia mathematicautiliza unha notación inspirada na deGiuseppe Peano,parte da cal aínda é moi utilizada hoxe en día.

Aínda que á luz dos sistemas contemporáneos alóxica aristotélicapode parecer equivocada e incompleta,Jan Łukasiewiczmostrou que, a pesar das súas grandes dificultades, a lóxica aristotélica era consistente, aínda que había que interpretarse comolóxica de clases,o cal non é pequena modificación. Por iso a siloxística practicamente non ten uso actualmente.

Ademais da lóxica proposicional e a lóxica de predicados, o século XX viu o desenvolvemento de moitos outros sistemas lóxicos; entre os que destacan as moitaslóxicas modais.

Tipos de lóxica

Lóxica siloxística

Organonfoi a principal obra sobre lóxica deAristóteles,e dentro deste, osPrimeiros analíticosfoi o primeiro traballo explícito en lóxica formal. Nesta obra introdúcese osiloxismolóxico. O siloxismo estuda as conclusións como proposicións que constan de dous termos, relacionados por un número fixo de relacións, e a expresión das inferencias por medio de siloxismos que consisten en dúas proposicións que comparten unha premisa común, e unha conclusión, que é unha proposición que involucra os dous termos non relacionados das premisas.

A obra de Aristóteles tivo unha grande importancia na época clásica e ó longo do período medieval, onde se estudou a fondo, especialmente desde a perspectivaescolástica.Fixéronse varias críticas áOrganon:por exemplo,Occamestudou a conveniencia de aceptar ou non oprincipio do terzo excluído,alicerce fundamental da lóxica aristotélica. Tamén se estudaron sistemas lóxicos complementarios: osestoicospropuxeron un sistema delóxica proposicional,que interesou a varios lóxicos medievais.

Hoxe en día, o sistema lóxico aristotélico, a pesar de ter unha grande importancia histórica, quedou obsoleto ante o desenvolvemento dalóxica proposicionale ocálculo de predicados.Con todo, aínda se utiliza en determinados aspectos dateoría da argumentación,para establecer preguntas críticas no funcionamento de esquemas de argumentación, por exemplo, no campolegalou deintelixencia artificial.

Lóxica proposicional

Artigo principal:Lóxica proposicional.

O cálculo proposicional (tamén chamado cálculo sentencial) é unsistema formalen que as fórmulas que representan proposicións pódense formar combinando proposicións atómicas usandoconectores lóxicos.Na lóxica proposicional, existe un sistema de regras de proba formal que permite que certas fórmulas se poidan establecer comoteoremas.

Lóxica de predicados

Gottlob Frege.

Alóxica de predicadosé o nome xenérico que reciben os sistemas simbólicos formais como alóxica de primeira orde,alóxica de segunda ordeou a lóxica infinitista.

Mentres que a lóxica siloxística aristotélica especificaba a forma dos xuízos involucrados nunha dedución, a lóxica de predicados permite que as sentenzas sexan analizadas como premisa e argumento de formas diferentes, solucionando así o problema de xeneralidade múltiple que preocupaba os lóxicos medievais.

O desenvolvemento da lóxica de predicados atribúese normalmente aGottlob Frege,a quen tamén se recoñece como un dos fundadores dafilosofía analítica,pero a formulación da lóxica de predicados máis utilizada hoxe en día é alóxica de primeira ordepresentada nosPrinciples of Mathematical LogicdeDavid HilberteWilhelm Ackermannen 1928. A xeneralización analítica da lóxica de predicados permitiu a formalización das matemáticas, e dirixiu a investigación enteoría de conxuntos,abrindo camiño para o tratamento dateoría de modelosdeAlfred Tarski.Non é unha esaxeración afirmar que representa os fundamentos dalóxica matemáticamoderna.

O sistema orixinal de lóxica de predicados de Frege non era de primeira, senón de segunda orde. Alóxica de segunda ordeestá defendida especialmente porGeorge BooloseStewart Shapiro,ante as críticas deWillard Van Orman Quinee outros.

Lóxica modal

Saul Kripke.

En xeral, o termomodalrefírese ó feito de que se pode modificar a semántica de certas partes dunha oración usando verbos ou complementos específicos. Por exemplo, non é o mesmo "Imos xogar" que "Teriamos que ir xogar", "Poderiamos ir xogar" ou mesmo "Iremos xogar". De forma máis abstracta, podemos afirmar que a modalidade ten que ver coas circunstancias en que damos por satisfeita unha afirmación. Pola súa natureza, este problema está moi emparentado coalóxica multi-avaliada,onde non se admite a bivalencia clásica (unha proposición ou ben é certa, ou ben é falsa), senón que se amplían os graos de verdade: certo, falso, descoñecido no caso deLukasiewicz,e recibe outros tratamentos por parte deKleene.

O estudo lóxico da modalidade remóntase atéAristóteles,que trata oparadoxolóxico dacontinxencia futura:por exemplo, oracións do tipo "Mañá haberá unha batalla naval, ou non haberá ningunha". Segundo oprincipio do terzo excluído,esta proposición sempre é certa, posto que efectivamente, sempre se dá unha das dúas posibilidades. Aínda así, esta forma de analizalo non resulta satisfactoria, posto que non sabemos do certo que cabe das dúas afirmacións ( "haberá unha batalla", ou ben "non haberá ningunha batalla" ) poida ser certa. Isto expón a posibilidade de introducir operadores modais que se refiran ao grao de certeza de cada proposición:é posibleque mañá haxa unha batalla, ou bené seguroque mañá haberá unha batalla. Con todo, Aristóteles non profunda nesta dirección.

Durante oIdade Media,habería algúns intentos de estudar como se modificaba a lóxica introducindo estes operadores: a idea responde o concepto medieval decontinxenciafronte ó denecesidade.William de Ockham, por exemplo, trataría de estudar este tipo de lóxica.Leibniz,e contemporáneamenteDeleuze,tratarían problemas similares.

Coa preocupación polos fundamentos das matemáticas de principios de século XX, este problema entroncaríase coas concepcións diferentes das matemáticas que xurdían: por exemplo, ointuicionismo,e daría varios froitos. Coas investigacións deClarence Irving Lewis,en 1918, a modalidade ampliaríase para incluír alóxica epistèmica.Co traballo deArthur Prior,tamén se puido tratar alóxica temporalcomo un tipo de lóxica modal.Saul Kripke,coa súa teoría, despois chamadasemántica de Kripke,revolucionou as ferramentas formais dispoñibles para os lóxicos, e proporcionaba unha forma de tratar a modalidade usandografosque tería numerosas aplicacións enlingüística computacionaleinformática,por exemplo alóxica dinámica.

Desenvolvementos posteriores da lóxica, por exemplo alóxica borrosaou alóxica cuántica,que incorporan nocións de vaguidade sobre o valor de verdade das proposicións, pódense ver como extensións máis complexas da idea fundacional da lóxica modal.