Saltar ao contido

Matemáticas

Editar as ligazóns
Este é un dos 1000 artigos que toda Wikipedia debería ter
Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
(Redirección desde «Matemática»)

Euclides,matemáticogregodoséculo III a.C.,tal como foi imaxinado porRafaelnun detalle dofrescode1509A escola de Atenas,que se conserva naStanza della Segnaturados Palacios Pontificios doVaticano.
Il Saggiatore, obra deGalileo Galileipublicada enRomaen1623na que se destaca a importancia das matemáticas para entender ouniverso.

Matemáticasoumatemática[1](dogregoμαθηματικός,mathēmatikós,'o que aprende', que á súa vez deriva de μάθημα,máthēma,'coñecemento', 'estudo', 'aprendizaxe') é o estudoabstractode cuestións que abranguen os conceptos decantidade[2][3],estrutura[4],espazo[3],cambio[5][6],e outras propiedades[7];se ben non hai unha definición xeralmente aceptada[8][9].Osmatemáticosbuscanpatróns[10][11]e formulan novasconxecturasdas que tratan de establecer a súa verdade ou falsidade mediante unhademostración matemática.Cando as estruturas matemáticas son bos modelos de fenómenos reais, o razoamento matemático pode axudar a comprender e facer predicións sobre a natureza.

Por medio da abstracción e do razoamentolóxico,as matemáticas desenvólvense a partir da acción de contar, ocálculo,amedida,e o estudo sistemático dasformase osmovementosdos obxectos físicos. A práctica das matemáticas ven sendo unha actividade humana polo menos desde que existen documentos escritos. A resolución dos problemas matemáticos pode levar séculos de investigación continuada. O razoamento rigoroso aparece por primeira vez namatemática grega,especialmente nosElementosde Euclides. Desde os traballos pioneiros a finais doséculo XIXdeGiuseppe Peano(1858–1932),David Hilbert(1862–1943) e outros acerca dossistemas axiomáticos,fíxose habitual ver a investigación matemática como a busca daverdademediante adeduciónrigorosa a partir deaxiomasedefiniciónselixidos axeitadamente. As matemáticas desenvolvéronse dun xeito relativamente lento ata oRenacemento,momento no que as innovacións matemáticas interactúan cos novos descubrimentoscientíficospara dar lugar a un rápido incremento do número de achados matemáticos que continúa no presente.

Sobre as matemáticasGalileo Galilei(1564–1642) dixo[12]:

A filosofía está escrita neste gran libro que está permanentemente aberto aos nosos ollos (o universo), pero este libro non pode ser entendido se primeiramente non se aprende a súa linguaxe e se coñecen as letras coas que está escrito. Está escrito na linguaxe das matemáticas e as súas letras son triángulos, círculos e outras figuras xeométricas, sen cuxos medios é humanamente imposíbel entender palabra ningunha; sen eles estaremos vagando nun labirinto escuro.
Il SaggiatoreGalileo Galilei(Roma,1623).

Carl Friedrich Gauss(1777–1855) referíase ás matemáticas coma "a raíña das ciencias"[13].Benjamin Peirce(1809–1880) chamaba ás matemáticas "a ciencia que obtén conclusións necesarias"[14].David Hilbert opinaba que "de ningunha maneira estamos a falar aquí de arbitrariedades. As matemáticas non son como un xogo no que as tarefas están determinadas por regras arbitrariamente estipuladas. Pola contra, é un sistema conceptual cunha necesidade interna de que só poida ser así e de ningún outro modo."[15].Albert Einstein(1879–1955) afirmou que "canto máis se refiren á realidade, as leis das matemáticas máis lonxe están da exactitude; e canto máis se achegan á exactitude, máis se afastan da realidade"[16].A matemática francesaClaire Voisinsinala que "hai un pulo creativo nas matemáticas, é todo acerca do movemento que intenta manifestarse"[17].

As matemáticas son unha ferramenta esencial en moitos campos do saber, incluídas asciencias naturais,aenxeñería,amedicinae asciencias sociais.Amatemática aplicada,a rama das matemáticas á que lle concirnen as aplicacións dos coñecementos matemáticos a outros campos, inspírase e fai uso dos novos descubrimentos matemáticos, os cales conducen ao desenvolvemento de novas disciplinas matemáticas, coma aestatísticae ateoría de xogos.Os matemáticos tamén se implican namatemática purasen teren en mente ningunha aplicación práctica, só polo pracer de facer matemáticas. Porén non hai unha liña clara de separación entre a matemática pura e a aplicada e con frecuencia descóbrense aplicacións prácticas a aquilo que comezou sendo matemática pura[18].

Etimoloxía

[editar|editar a fonte]
Pitágorasescribindomúsicano frescoA Escola de Atenasde Rafael.

A palabramatemáticasquere dicir "o que se aprende". Vén dogregoμαθηματικός,mathēmatikós,"o que aprende", palabra derivada de μάθημα,máthēma,"coñecemento, estudo, aprendizaxe"[19].OfilósofoneoplatónicoIámblico,na súa obraDe vita pythagorica,explica que na comunidade pitagórica había dúas clases de membros: os matemáticos,mathēmatikoi(coñecedores), cos quePitágorascompartía o coñecemento; e os acusmáticos,akousmatikoi(oidores), os membros da irmandade que tamén compartían os coñecementos pero dun xeito superficial, sen profundar nas súas razóns[20].

Ata arredor do ano1700,o vocábulomatemáticastiña como acepción máis común o de "astroloxía" (ou, ás veces, "astronomía" ); o significado foi cambiando gradualmente ata o actual entre aproximadamente1500e1800.Isto provocou erros nas traducións e interpretacións erróneas: é particularmente notoria a advertencia que faiAgostiño de Hiponaaoscristiánsprevíndoos dosmathematicico significado de astrólogos o cal, nalgunhas traducións, se interpreta como unha condena das matemáticas.

Definicións de matemáticas

[editar|editar a fonte]
Aristóteles,cuxa definición das matemáticas estivo vixente durante máis de 2.000 anos, e o seu mestrePlatón,representados no fresco de RafaelA Escola de Atenas.

A definición dada porAristótelesdas matemáticas como "a ciencia da cantidade" prevaleceu ata oséculo XVIII[21].A chegada doséculo XIXsupuxo un aumento do rigor no estudo das matemáticas, nacendo novas disciplinas abstractas coma ateoría de grupose axeometría proxectivanas que non quedaba clara a relación entre cantidade e medida. Como consecuencia, matemáticos e filósofos comezaron a propor novas definicións[22].Algunhas destas definicións resaltan o carácter dedutivo de moita da matemática, outras salientan a súa abstracción, e hainas que destacan certa temática da propia matemática. Hoxe en día, mesmo entre os matemáticos profesionais, non hai consenso sobre que definición debe prevalecer[8].Máis aínda, non hai consenso sobre se a matemática é unha arte ou unha ciencia[9].Un gran número de matemáticos non teñen interese nunha definición das matemáticas, ou considéranas indefiníbeis[8].Algúns din que "Matemáticas é o que fan os matemáticos"[8].

Os tres tipos principais de definición das matemáticas reciben o nome deloxicista,intuicionistaeformalista,cada unha reflectindo diferentes escolas filosóficas de pensamento[23].Ningunha ten unha ampla aceptación e non parece posíbel unha teoría única que as englobe[23].

Bertrand Russell,un dos fundadores doloxicismo,naUCLAen abril de1940.

Unha definición temperá en termos delóxica,"a ciencia que obtén conclusións necesarias", deunaBenjamin Peirceen1870[14],se ben foronBertrand RusselleAlfred North Whiteheadquen estableceron as bases do proxecto filosófico coñecido comaloxicismo,tentando probar que todos os conceptos, afirmacións e principios matemáticos poden ser definidos e probados en termos dalóxica simbólica.A definición de Bertrand Russell de1903,"toda a matemática é lóxica simbólica", é unha definición loxicista[24].

As definiciónsintuicionistas,desenvolvidas a partir do traballo dofilósofo das matemáticasLuitzen Egbertus Jan Brouwer,identifican as matemáticas con certos fenómenos mentais. Un exemplo de definición intuicionista é: "Matemática é a actividade mental que consiste en tirar conclusións sucesivas, unha tras outra"[23].Unha peculiaridade do intuicionismo é que rexeita algunhas ideas matemáticas consideradas válidas segundo outras definicións. En particular, mentres que outros filósofos das matemáticas permiten obxectos dos que se pode probar a súa existencia, mesmo se non poden ser construídos, os intuicionistas só aceptan obxectos matemáticos que realmente poden ser construídos.

As definiciónsformalistasidentifican as matemáticas cos seus símbolos e as regras operativas sobre eles.Haskell Currydefine as matemáticas simplemente como "a ciencia dos sistemas formais"[25].Unsistema formalé un conxunto desímboloseregrasque indican como se combinan os símbolos para formarfórmulas.A palabraaxiomaten un significado especial nos sistemas formais, diferente do seu significado ordinario de "verdade evidenteper se".Nos sistemas formais, un axioma é unha combinación de símbolos incluído nun sistema formal sen necesidade de deducilo usando as regras do sistema.

A inspiración, as matemáticas pura e aplicada, e a estética

[editar|editar a fonte]
Eugene Wigner(á esquerda conAlvin Weinberg) falaba dairrazoábel eficacia das matemáticas nas ciencias.
O matemático inglésGodfrey Harold Hardyxustificaba facer matemáticas simplemente pola súa estética.

É moi posíbel que a arte do cálculo fose desenvolvida antes mesmo ca escritura[26],relacionada fundamentalmente cocomercio,aagrimensura,aarquitecturae, posteriormente, aastronomía.Actualmente, todas as ciencias aportan problemas que estudanmatemáticos,ao mesmo tempo que aparecen novos problemas dentro das propias matemáticas. Por exemplo, ofísicoRichard Feynmaninventou aintegral de camiñosdamecánica cuántica,usando unha combinación do razoamento matemático e unha visión física; e a actualteoría de cordas,que aínda está a ser desenvolvida e que trata de unificar as catroforzas fundamentais,continúa inspirando novas matemáticas[27].Algunhas matemáticas só son relevantes na área na que estaban inspiradas e son aplicadas para outros problemas nese campo. Mais acotío as matemáticas inspiradas nunha área concreta resultan útiles en moitos ámbitos, e inclúense dentro docorpusxeral de conceptos matemáticos. Frecuentemente faise unha distinción entre amatemática purae amatemática aplicada.Así a todo, a matemática pura ten con frecuencia aplicacións prácticas coma, por exemplo, ateoría de númerosnacriptografía.Este notábel feito é o queEugene Wignerdefiniu como «a irrazoábel eficacia das Matemáticas nas Ciencias Naturais»[28].Como na maioría dos campos do saber, a explosión de coñecementos na era científica levou á especialización: hoxe en día hai centos de áreas especializadas en matemáticas, a últimaclasificación MSCten 46 páxinas[29].Varias áreas das matemáticas aplicadas fusionáronse con outros campos tradicionalmente fóra das matemáticas para se converter en disciplinas independentes, como poden ser aestatística,ainvestigación de operaciónsou ainformática.

Para aqueles que senten predilección polas matemáticas hai, con frecuencia, un aspecto estético que define á maioría das matemáticas. Moitos matemáticos falan daeleganciadas matemáticas, a súaestéticaintrínseca ebelezainterna. En xeral a simplicidade está moi valorada. Hai beleza nunhademostraciónsimple e elegante, como na demostración deEuclidesde que hai infinitosnúmeros primos,e nunha eleganteanálise numéricaque acelera o cálculo, así como natransformada rápida de Fourier.G. H. Hardyna súa obraApoloxía dun Matemático,expresa a crenza de que estas consideracións estéticas son, en si mesmas, suficientes para xustificar o estudo da matemática pura. Hardy sinala criterios como a relevancia, o inesperado, a inevitabilidade e a economía como factores que contribúen a unha estética matemática[30].Decotío os matemáticos esfórzanse por achar demostracións que sexan particularmente elegantes, probas que están no "Libro", segundo palabras do prolífico matemático húngaroPaul Erdős[31][32].A popularidade dasmatemáticas recreativasé outro signo do pracer que moita xente sente resolvendo problemas matemáticos.

Notación, linguaxe e rigor

[editar|editar a fonte]
Exemplo de notación matemática complexa nunha obra deRussell,no punto concreto onde deduce que 1+1=2.

A maioría da notación matemática que se usa hoxe en día non foi inventada ata oséculo XVI[33].Antes diso, as matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limitaba o avance matemático[34].Euler(1707–1783) foi o responsábel de moitas das notacións que se usan hoxe. A notación moderna fai a matemática moito máis fácil para o profesional, mais os principiantes a encontran complicada. A información está extremadamente comprimida: uns poucossímbolosconteñen unha gran cantidade de información. Ao igual cánotación musical,a moderna notación matemática ten unha sintaxe estrita (que polo seu limitado alcance, varía dun autor a outro e dunha a outra disciplina) e codifica información que sería difícil de escribir doutra maneira.

Kurt Gödel,autor dosteoremas de incompletitude,na súa época de estudante.

Alinguaxe matemáticapode ser difícil de entender para os principiantes. Palabras como "ou" e "só" teñen un significado máis restritivo ca na linguaxe coloquial. Máis aínda, palabras como "aberto"e"campo"adquiriron uns significados matemáticos especializados. Termos técnicos como"homeomorfismo"e"integrable"teñen significados precisos en matemáticas. Outras frases como" se e só se "son exclusivas da xerga matemática. Hai unha razón para a notación especial e o vocabulario técnico: as matemáticas requiren máis precisión cá linguaxe coloquial. Os matemáticos refírense a esta precisión da linguaxe e da lóxica coma" rigor ".

Unhademostración matemáticaé fundamentalmente unha cuestión de rigor. Partindo deaxiomas,os matemáticos demostran os seusteoremasusando un razoamento sistemático. Isto é así para evitar "teoremas" erróneos baseados en intuicións falíbeis, como ten ocorrido moitas veces na historia da materia. O nivel de rigor que se espera nas matemáticas foi variando ao longo do tempo: na Grecia clásica buscábanse argumentos detallados, pero no tempo deIsaac Newtonos métodos empregados eran menos rigorosos. Os problemas inherentes ás definicións usadas por Newton levaron a un rexurdimento no século XIX da análise coidadosa e da demostración formal. A febleza do rigor é a causa dalgúns dos máis comúns malentendidos das matemáticas. Hoxe, os matemáticos debaten acerca das demostracións asistidas por ordenador: como os longos resultados producidos son difíciles de verificar; tales probas poderían non ser suficientemente rigorosas.[35]

Os axiomas no pensamento tradicional eran "verdades autoevidentes", mais esa concepción é problemática. A un nivel formal, un axioma non é máis ca unha cadea de símbolos nunsistema axiomático,cun significado intrínseco só no contexto de tódalas fórmulas derivadas dentro dese sistema. Oprograma de Hilberttiña como obxectivo dotar as matemáticas dunha base axiomáticacompleta(toda sentenza pode ser probada ou refutada) e probar que dita axiomática eraconsistente(non ten axiomas contraditorios), peroGödeldemostrou a imposibilidade desta axiomatización cando estableceu o seu primeiroteorema de incompletitudeque afirma que un sistema axiomático que tente describir a aritmética, non pode ser consistente e completo á vez.[36]Con todo, nalgunha axiomatización as matemáticas redúcense (cando menos o seu contido formal) a non máis queteoría de conxuntos,no sentido de que toda proposición ou demostración pode ser formulada dentro da teoría de conxuntos[37].

As matemáticas como ciencia

[editar|editar a fonte]
Carl Friedrich Gauss,coñecido como o "príncipe dos matemáticos".[38].

Gauss referíase ás matemáticas como "A Raíña das Ciencias"[13].No latín orixinalRegina Scientiarum,e tamén noalemánKönigin der Wissenschaften,a palabra correspondente acienciaten o significado de "campo de coñecemento". Por suposto, as matemáticas son, neste sentido, un campo de coñecemento. A irrupción dométodo baconianotrae coma consecuencia a especialización, restrinxindo o significado de "ciencia" ásciencias naturais,contrapoñéndoa aoescolasticismo,o método aristotélico de investigación a partir doprimeiro principio.É indubidábel que o papel da experimentación empírica e a observación é insignificante en matemáticas, en contra do que ocorre nas ciencias naturais coma apsicoloxía,abioloxíaou afísica.Albert Einsteinafirmou que "canto máis se refiren á realidade, as leis das matemáticas máis lonxe están da exactitude; e canto máis se achegan á exactitude, máis se afastan da realidade"[16].Máis recentemente,Marcus du Sautoychamou ás matemáticas "a Raíña da Ciencia... a principal forza impulsora do descubrimento científico"[39].

Imre Lakatos,lóxico e filósofo das matemáticas que propuxo unha versión especial dofalsacionismopara as matemáticas.

Moitos filósofos cren que as matemáticas non sonfalsaciábeisexperimentalmente, e por tanto non son unha ciencia segundo a definición deKarl Popper. [40].Porén, nos anos trinta do século XX, os teoremas de incompletitude de Gödel convenceron a moitos matemáticos de que as matemáticas non poden reducirse só á lóxica, e Karl Popper concluíu que "a maioría das teorías matemáticas son, coma as da física e da bioloxía,hipotético-dedutivas:as matemáticas puras por tanto tornan a estar moito máis preto das ciencias naturais cuxas hipóteses son conxecturas, ca o que semellaba non hai moito "[41].Outros pensadores, especialmenteImre Lakatos,teñen aplicado unha versión específica dofalsacionismopara as matemáticas.

Unha visión alternativa é a de que certos campos científicos (coma afísica teórica) son matemáticas con axiomas que tentan corresponder á realidade. De feito, o físico teóricoJ. M. Zimanpropón que ciencia écoñecemento públicoe, por tanto, inclúe ás matemáticas[42].En calquera caso, as matemáticas teñen moito en común con moitos campos das ciencias físicas, principalmente aexploración das consecuencias lóxicasdas hipóteses asumidas. Aintuicióne aexperimentacióntamén xogan un papel na formulación deconxecturas,tanto nas matemáticas coma nas outras ciencias. Asmatemáticas experimentaiscontinúan gañando importancia dentro das matemáticas, e a computación e a simulación xogan un papel crecente nas ciencias e nas matemáticas, atenuando a obxección de que as matemáticas non usan ométodo científico. En2002Stephen Wolframsostén, no seu libroUn novo tipo de ciencia,que a matemática computacional merece ser explorada empiricamente coma un campo científico[43].

As opinións dos matemáticos sobre este asunto son variadas. Moitos cren que chamarlle ciencia ás matemáticas diminúe a importancia da súa faceta estética e o da súa historia coma unha das seteartes liberaistradicionais; outros pensan que ignorar as conexións coas ciencias é tornarse cego ao feito de que a interrelación entre as matemáticas e as súas aplicacións na ciencia eenxeñeríaten provocado moitos desenvolvementos nas matemáticas. As diferenzas destes dous puntos de vista reflíctense no debate filosófico sobre se as matemáticasse crean(é unha arte) ouse descobren(é unha ciencia). Ë habitual veruniversidadesonde existe unha división nomeadaCiencia e Matemáticas,indicando que os dous campos son afíns pero non coincidentes. Na práctica, os matemáticos agrúpanse tipicamente cos científicos nun sentido amplo, pero sepáranse deles a niveis máis finos. Este é un dos moitos temas tratados nafilosofía das matemáticas.

Historia

[editar|editar a fonte]
Artigo principal:Historia das matemáticas.
Papiro de RhinddoAntigo Exipto,c. 1.650 a.C.

Alén de recoñecer cantidades de obxectos, o homeprehistóricoaprendeu a contar cantidades abstractas coma o tempo: días, estacións, anos. Aaritméticaelemental (adición, subtracción, multiplicación e división) tamén foi conquistada naturalmente. Crese que ese coñecemento é anterior áescritae, por iso, non hai rexistros históricos.

O primeiro obxecto coñecido que atesta a habilidade de cálculo é oóso de Ishango,unhafíbuladebabuínocon riscos que indican unhacontabilidade,que data de hai 20.000 anos[44].

Na antigüidade ideáronse moitossistemas de numeración.Un exemplo áchase noPapiro de Rhind,un documento que resistiu ao tempo e no que se mostran os numeraisescritosnoAntigo Exipto.

O desenvolvemento da matemática impregnou as primeiras civilizacións e tornou posíbel a aparición de aplicacións concretas: ocomercio,as medicións de terras para a agricultura, a previsión de eventos astronómicos, e ás veces, a realización de rituais relixiosos. As tres primeiras aplicacións poden ser relacionadas en certa forma coa división ampla das matemáticas coma o estudo da estrutura, do espazo e do cambio. A partir do 3000 a.C., candobabiloniose exipcios comezaron a usar aritmética e xeometría en construcións, astronomía e algúns cálculos financeiros, a matemática comezou a se tornar un pouco máis sofisticada. O estudo de estruturas matemáticas iniciouse coa aritmética dosnúmeros naturais,seguiu coa extracción deraíces cadradase cúbicas, resolución dalgunhasecuacións polinómicasde segundo grao,trigonometríaefraccións,entre outras materias.

Representación deEuclidesen mármore, noMuseo dell'Opera del DuomodeFlorencia.

Tales desenvolvementos son atribuídos ás civilizaciónsacadia,babilónica, exipcia, chinesa, ou aínda ás doval do Indo.Arredor de 600 a.C., nacivilización grega,a matemática, influenciada por traballos anteriores e pola filosofía, tornouse máis abstracta. Distinguíronse dúas ramas: aaritméticae axeometría.Formalizáronse as xeneralizacións, por medio de definicións axiomáticas dos obxectos de estudo, e as demostracións. A obraOs elementosde Euclides é un rexistro importante do coñecemento matemático na Grecia doséculo III a.C.

Acivilización musulmápermitiu que a herdanza grega fose conservada e propiciou a súa confrontación cos descubrimentos chineses e hindús, en particular na cuestión da representación numérica. Os traballos matemáticos desenvolvéranse considerabelmente tanto natrigonometría,coma na introdución dasfuncións trigonométricase na aritmética. Desenvolveuse amais a análisecombinatoria,aanálise numéricae a álxebra depolinomios.

Na época doRenacemento,unha parte dos textos árabes foi estudada e traducida aolatín.A pescuda matemática concentrouse entón enEuropa.O cálculo alxébrico desenvolveuse rapidamente cos traballos dos francesesFrançois VièteeRené Descartes.Nesa época tamén foron creadas as táboas delogaritmos,extremadamente importantes para o avance científico dosséculos XVIaoXX,sendo substituídas apenas despois da invención dascalculadoras.A percepción de que osnúmeros reaisnon son suficientes para a resolución de certas ecuacións tamén data do século XVI. Xa nesa época comezou o desenvolvemento dos chamadosnúmeros complexos,apenas cunha definición e catro operacións. Unha comprensión máis profunda dos números complexos só foi acadada noséculo XVIIIconEuler.

No inicio doséculo XVII,Isaac NewtoneLeibnizdescubriran ocálculo infinitesimale introduciran a definición defluxor(vocábulo abandonado posteriormente). Ao longo dosséculos XVIIIeXIXa matemática desenvolveuse fortemente coa introdución de novas estruturas abstractas, coma osgrupos,grazas aos traballos deÉvariste Galoissobre a resolubilidade de ecuacións polinómicas, e osaneisdefinidos nos traballos deRichard Dedekind.

Oséculo XIXve conCantoreHilberto desenvolvemento dunha teoría axiomática sobre todos os obxectos estudados e a investigación dosfundamentos matemáticos[45].Este desenvolvemento da axiomática conducirá a varios matemáticos doséculo XXa buscar definir todas as matemáticas coa axuda dunha linguaxe, alóxica matemática.

O século XX coñeceu un forte desenvolvemento das matemáticas cunha especialización crecente dos seus dominios e o nacemento de numerosas ramas novas coma, por exemplo, ateoría da medida,ateoría espectral,atopoloxía alxébricae axeometría alxébrica.Ainformáticativo un grande impacto sobre a investigación: dunha banda, facilitou a comunicación e compartir os coñecementos, e doutra, forneceu dunha formidábel ferramenta para a confrontación con exemplos. Este movemento levou dun xeito natural ámodelizacióne ánumerización.

Dominios

[editar|editar a fonte]

O estudo da estrutura comeza cosnúmeros,inicialmente osnúmeros naturaise osnúmeros enteiros.As regras que dirixen as operacións aritméticas estúdanse naálxebra elementale as propiedades máis fondas dos números enteiros estúdanse nateoría de números.

A investigación de métodos para resolver ecuacións leva ao campo daálxebra abstracta.O importante concepto devector,xeneralizado aespazo vectorial,é estudado naálxebra lineale pertence ás dúas ramas da estrutura e o espazo. O estudo do espazo orixina axeometría,primeiro axeometría euclidianae logo atrigonometría.

A comprensión e descrición do cambio en variábeis mensurábeis é o tema central dasciencias naturaise ocálculo.Para resolver problemas que dirixen en forma natural cara ás relacións entre unha cantidade e a súa taxa de cambio, e das solucións a estas ecuacións, estúdanse asecuacións diferenciais.

Os números que se usan para representar as cantidades continuas son osnúmeros reais.Para estudar os procesos de cambio utilízase o concepto defunción matemática.Os conceptos dederivadaeintegral,introducidos porIsaac NewtoneLeibniz,xogan un papel clave neste estudo, que se denominaanálise.

Por razóns matemáticas, é conveniente para moitos fins introducir os números complexos, o que dá lugar áanálise complexa.

Aanálise funcionalconsiste en estudar problemas cuxa incógnita é unha función, pensándoa como un punto dun espazo funcional abstracto.

Campos importantes en matemáticas aplicadas son aprobabilidadee aestatística,que permiten a descrición, a análise e a predición de fenómenos que teñenvariábeis aleatoriase que se usan en todas as ciencias.

Aanálise numéricainvestiga os métodos para realizar os cálculos en ordenadores.

Divisións e ligazóns

[editar|editar a fonte]

As numerosas ramas da matemática están moi interrelacionadas, velaquí unha lista de seccións que podemos considerar no seu estudo:

Os números
Números--Número natural--Número enteiro--Número racional--Número real--Número complexo--Cuaternións--Octonións--Sedenións--Números hiperreais--Números infinitos--Díxito--Sistema de numeración--Teoría de números
Matemáticas do cambio
Cálculo infinitesimal--Cálculo vectorial--Análise matemática--Ecuación diferencial--Sistemas dinámicos--Teoría do caos--Lista de funcións--Logaritmo
Análise matemática
Sucesións-Series--Análise Real--Análise Complexa--Análise Funcional--Álxebra de operadores
Estruturas alxébricas
Álxebra abstracta--Teoría de grupos--Monoides--Aneis--Álxebra lineal--Teoría de grafos--Teoría de categorías
Espazos
Topoloxía--Xeometría--Xeometría alxébrica--Xeometría diferencial--Topoloxía diferencial--Topoloxía alxébrica--Espazo vectorial--Cuaternións e rotación no espazo
Matemática discreta
Combinatoria--Teoría de conxuntos--Teoría da Computación--Matemática discreta--Criptografía--Teoría de grafos--Teoría de xogos
Matemática aplicada
Mecánica--Cálculo numérico--Optimización--Matemática discreta--Estatística e probabilidade
Teoremas e conxecturas famosas
Último Teorema de Fermat--Hipótese de Riemann--Hipótese do continuo--Clases de complexidade P e NP--Conxectura de Goldbach--Conxectura dos números primos xemelgos--Teoremas de incompletitude de Gödel--Conxectura de Poincaré--Argumento da diagonal de Cantor--Teorema de Pitágoras--Teorema Fundamental do Cálculo--Teorema Fundamental da Álxebra--Teorema das catro cores--Lema de Zorn--Identidade de Euler.
Fundamentos e métodos
Filosofía da matemática--Intuicionismo matemático--Construtivismo matemático--Fundamentos das matemáticas--Teoría de conxuntos--Subconxuntos difusos--Lóxica simbólica--Lóxica difusa--Teoría de modelos--Teoría de categorías--Proba dos teoremas--Axiomática--Indución
Historia das matemáticas. O mundo dos matemáticos
Historia das matemáticas--Matemáticos--Medallas Fields--Millennium Prize Problems (Clay Math Prize)--International Mathematical Union--Competicións matemáticas
Matemática recreativa
Cadrado máxico--Papiroflexia

Así pois, unha división básica das matemáticas establecería as seguintes categorías:

  1. Aritmética,estuda as operacións con números.
  2. Xeometría,estuda o espazo, os seus subconxuntos e as súas relacións.
  3. Topoloxía,estuda a noción de proximidade nos distintos espazos.
  4. Análise matemática,estuda as funcións reais e complexas baseándose nocálculo infinitesimal.
  5. Análise numérica,busca a resolución aproximada de problemas complexos mediantealgoritmoschamadosmétodos numéricos.
  6. Álxebra,ou estudo das estruturas, conxuntos, ecuacións, linguaxes simbólicas etc.
  7. Cálculo de probabilidadeseEstatística,dedicadas ao estudo teórico do azar e á descrición de datos experimentais ou poblacionais.

No tocante á metodoloxía, outra división simple da matemática establece que esta pode ser pura, cando se consideran as magnitudes ou cantidades abstractamente, sen relación á materia; ou aplicada, cando se tratan as magnitudes coma substancia de corpos materiais, e por consecuencia relaciónase con consideraciónsfísicas.

Notas

[editar|editar a fonte]
  1. ↑Definicións noDicionario da Real Academia Galegae noPortal das PalabrasparaMatemática.
  2. ↑Real Academia Galega(ed.)."matemático -a".Dicionario da RAG.Arquivado dendeo orixinalo 18 de novembro de 2013.Consultado o 5 de maio de 2013.Ciencia que se ocupa das propiedades dos números, das figuras xeométricas etc., das súas relacións e da súa aplicación a outras ciencias e no que se engloban a aritmética, a xeometría, a álxebra, a trigonometría etc.
  3. ↑3,03,1Oxford University Press, ed. (2012)."mathematics,n.".Oxford English Dictionary(en inglés).Consultado o 16 xuño 2012.A ciencia do espazo, o número, a cantidade e o axuste, cuxos métodos implican o uso de razoamento lóxico e de notación simbólica, e que inclúe xeometría, aritmética, álxebra e análise.
  4. ↑Kneebone, G.T. (1963). Dover, ed.Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey(en inglés).pp.4.ISBN0-486-41712-3.Matemáticas... é simplemente o estudo das estruturas abstractas, ou patróns formais de conectividade.
  5. ↑LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris (2011). Cengage Learning, ed.Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change(en inglés).pp.2.ISBN1-4390-4957-2.Calculus é o estudo do cambio—como cambian as cousas, e como de rápido o fan.
  6. ↑Ramana (2007). Tata McGraw–Hill Education, ed.Applied Mathematics(en inglés).p.2.10.ISBN0-07-066753-5.O estudo matemático do cambio, o movemento, o crecemento e o decrecemento é calculus.
  7. ↑Ziegler, Günter M.(2011). "What Is Mathematics?". En Springer.An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research(en inglés).pp.7.ISBN3-642-19532-6.
  8. ↑8,08,18,28,3Mura, Robert (decembro 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences".Educational Studies in Mathematics(en inglés)25(4):375–385.
  9. ↑9,09,1Tobies, Renate and Helmut Neunzert (2012). Springer, ed.Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry(en inglés).pp.9.ISBN3-0348-0229-3.É necesario, primeiramente, preguntar cal é o significado de "matemáticas" en xeral. Ilustres expertos debateron este asunto ata a saciedade e aínda non se ten acadado consenso sobre se a matemática é unha ciencia natural, unha rama das humanidades, ou unha forma de arte.
  10. ↑Steen, Lynn(1988)."The Science of Patterns".Science(en inglés)240(29 abril): 611–616. Arquivado dendeo orixinalo 28 de outubro de 2010.Consultado o 5 de maio de 2013.Resumo do artigo na web da Association for Supervision and Curriculum Development
  11. ↑Devlin, Keith(1996)."Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe".Scientific AmericanPaperback Library(en inglés).ISBN978-0-7167-5047-5.
  12. ↑Galilei, Galileo(1623). "Capitolo VI". EnAccademia dei Lincei.Il Saggiatore(en italiano).Roma.La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.
  13. ↑13,013,1Waltershausen, Wolfgang Sartorius von(1856, reimpr. 1965). Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend, ed.Gauss zum Gedächtniss(en alemán).ISBN3-253-01702-8.
  14. ↑14,014,1*Peirce, Benjamin(1881).Peirce, Charles Sanders,ed."Linear associative algebra".American Journal of Mathematics(en inglés)(Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed.) (Johns Hopkins University)4(1–4): 97–229.doi:10.2307/2369153.Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed.GoogleEprintand as an extract, D. Van Nostrand, 1882,GoogleEprint.
  15. ↑Hilbert, David(reimpr. 1992). Birkhäuser, ed.Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (cunha introdución en inglés por David E. Rowe)(en alemán).Basel.
  16. ↑16,016,1Einstein, Albert(1923). E.P. Dutton & Co., New York, ed.Sidelights on Relativity: I. Ether and relativity. II. Geometry and experience (tradución: G.B. Jeffery, D.Sc., e W. Perrett, Ph.D).(en inglés).p. 28.A cita é a resposta de Einstein á pregunta: como é posíbel que as matemáticas, sendo un produto do pensamento humano que é independente da experiencia, se adapten tan admirablemente aos obxectos reais?
  17. ↑Charline Zeitoun. CNRS internantional magazine, ed."Claire Voisin, Artist of the Abstract"(en inglés).Consultado o 8 de maio de 2013.
  18. ↑Peterson, Ivars (2001). Owl Books, ed.Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics(en inglés).ISBN0-8050-7159-8.
  19. ↑epsilones.com (ed.)."Etimoloxía dematemática"(en español).Arquivado dendeo orixinalo 07 de maio de 2013.Consultado o 16 de maio de 2013.
  20. ↑CátedraMiguel de Guzmán.Facultade de Matemáticas daUniversidade Complutense,ed."La comunidad pitagórica. Generaciones de matemáticos".Lecciones pitagóricas(en español).Arquivado dendeo orixinalo 03 de setembro de 2014.Consultado o 16 de maio de 2013.
  21. ↑Franklin, James (2009). "Aristotelian Realism". En Elsevier, Andrew D. Irvine.Philosophy of Mathematics(en inglés).Oxford. p. 104.ISBN978-0-444-51555-1.Consultado o 16 de maio de 2013.
  22. ↑Cajori, Florian(1893). American Mathematical Society (reedición de 1991), ed.A History of Mathematics(en inglés).pp. 285–6.ISBN0-8218-2102-4.
  23. ↑23,023,123,2Snapper, Ernst (1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism".Mathematics Magazine(en inglés)52(4): 207–16.doi:10.2307/2689412.
  24. ↑Russell, Bertrand(1903). University Press, ed.The Principles of Mathematics(en inglés).Cambridge. p. 5.Consultado o 16 de maio de 2013.
  25. ↑Curry, Haskell(1951). Elsevier, ed.Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics(en inglés).p. 56.ISBN0-444-53368-0.
  26. ↑Hazewinkel, Michiel, ed. (2001). "Arithmetic".Encyclopaedia of Mathematics(en inglés).Springer.ISBN978-1556080104.Consultado o 16 de maio de 2013.
  27. ↑Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). Oxford University Press, ed.The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus(en inglés).
  28. ↑Wigner, Eugene (1960)."The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences".Communications on Pure and Applied Mathematics(en inglés)13(1): 1–14.doi:10.1002/cpa.3160130102.Arquivado dendeo orixinalo 28 de febreiro de 2011.Consultado o 18 de maio de 2013.
  29. ↑"Mathematics Subject Classification 2010"(PDF)(en inglés).Consultado o19 maio2013.
  30. ↑Hardy, G.H. (1940). Cambridge University Press, ed.A Mathematician's Apology(en inglés).ISBN0-521-42706-1.
  31. ↑Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). MAA, ed.Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy(en inglés).
  32. ↑Aigner, Martin;Ziegler, Günter M.(2001). Springer, ed.Proofs fromThe Book(en inglés).ISBN3-540-40460-0.
  33. ↑Jeff Miller (coord.) (ed.)."Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (Contains many further references)"(en inglés).Consultado o 21 de maio de 2013.
  34. ↑Kline, Morris(1990). Oxford University Press, ed.Mathematical Thought from Ancient to Modern Times(en inglés).USA. pp. 140, 261.ISBN0-19-506135-7.
  35. ↑Peterson, Ivars (1988). Freeman, ed.The Mathematical Tourist(en inglés).p.4.ISBN0-7167-1953-3.Uns poucos lamentan que o programa informático non pode ser verificado axeitadamente (en referencia á demostración de Haken-Apple doTeorema das Catro Cores)
  36. ↑"Teorema de Incompletitud".www.ecured.cu(encastelán).Consultado o2020-04-02.
  37. ↑Suppes, Patrick (1972). Dover, ed.Axiomatic Set Theory(en inglés).p.1.ISBN0-486-61630-4.Entre as moitas ramas das matemáticas modernas, a teoría de conxuntos ocupa un lugar único: con moi poucas raras excepcións, os entes estudados e analizados en matemáticas poden ser contemplados como certos conxuntos particulares de clases de obxectos
  38. ↑Zeidler, Eberhard (2004). Oxford University Press, ed.Oxford User's Guide to Mathematics(en inglés).Oxford, RU. p.1188.ISBN0-19-850763-1.
  39. ↑Marcus du Sautoy,A Brief History of Mathematics: 10. Nicolas Bourbaki,BBCRadio 4, 1 outubro 2010.(eninglés)
  40. ↑Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Springer, ed.Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists(en inglés).p. 228.
  41. ↑Popper, Karl R.(1995). Routledge, ed."On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years.(en inglés).p. 56.ISBN0-415-13548-6.
  42. ↑Ziman, J.M.(1968). Cambridge University Press, ed.Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science(en inglés).Cambridge.Consultado o 25 de maio de 2013.
  43. ↑Wolfram, Stephen(2002). Wolfram Media, Inc., ed.A New Kind of Science(en inglés).ISBN1-57955-008-8.Consultado o 25 de maio de 2013.
  44. ↑The Mathematics Department of The State University of New York at Buffalo (ed.)."An Old Mathematical Object"(en inglés).Consultado o 26 de maio de 2013.
  45. ↑Jean-Yves Girard (17 xuño 2002). Université de tous les savoirs, ed."Conférence sur les fondements des mathématiques"(en francés).Arquivado dendeo orixinalo 21 de maio de 2016.Consultado o 26 de maio de 2013.

Véxase tamén

[editar|editar a fonte]

Outros artigos

[editar|editar a fonte]
Traído desde «https://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Matemáticas&oldid=6791595»