Curva

Unhacurvaé unha liña continua, que cambia paulatinamente de dirección. Exemplos de curvas pechadas son aelipseou acircunferencia,e de curvas abertas aparábola,ahipérboleou acatenaria.Arectasería o caso límite dun círculo deraio de curvaturainfinito. Todas as curvas teñendimensiónigual a 1.

Definicións

Curva elemental

Un conxunto$\gamma$de puntos do espazo chámasecurva elementalse é a imaxe obtida no espazo por unha aplicacióncontinuadun segmento aberto de recta.

Sendo$\gamma$unha curva elemental e sendo$a<t<b$o segmento aberto no que está definida a aplicación$f=(f_{1},f_{2},f_{3})$que determina a curva, ao sistema de igualdades

$x=f_{1}(t),y=f_{2}(t),z=f_{3}(t)$

chámanselleecuacións paramétricasda curva$\gamma$.

Curva plana

Nunsistema de coordenadas cartesianasrepreséntanse as curvas dalgunhas raíces, así coma das súaspotencias,nointervalo [0,1].A diagonal, de ecuacióny=x,é uneixo de simetríaentre cada curva e a curva da súa inversa.

Unhacurva planaé aquela que reside nun sóplanoe pode ser aberta ou pechada. Arepresentación gráfica dunha funciónrealdunha variable real é unha curva plana.

Curva diferenciable

Unha curva édiferenzablecando a función$\mathbf {x} \colon [a,b]\subset \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}$édiferenciable.Se ademais a función anterior éinxectivano intervalo$(a,b)\,$entón a curva admite un vector tanxente único en cada punto i érectificable,o que significa que a súalonxitude de arcoestá ben definida i é posible calcular a súa lonxitude. A curva$\mathbf {x} \colon [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}$:

$\mathbf {x} (t)={\begin{cases}(t,t\sin \left({\frac {1}{t}}\right))&t>0\\(0,0)&t=0\end{cases}}$

é continua pero non diferenciable, polo que a súa lonxitude entre o punto (0,0) e calquera outro punto da mesma non pode calcularse.

Curva pechada

Unha curva diferenciable espechadacando$\mathbf {x} \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$cando$\mathbf {x} (a)=\mathbf {x} (b)$.Se ademais, a función$\mathbf {x}$éinxectivano intervalo$(a,b)\,$entón dise que a curva é unha curva pechada simple. Unha curva pechada simple éhomeomorfaao círculo$S^{1}$,é dicir, ten a mesma topoloxía dun anel. A curva$\mathbf {x} \colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$dada por:

$\mathbf {x} (t)=(a\cos(2\pi t),b\sin(2\pi t))$

é unha curva diferenciable pechada, que resulta ser unha elipse de semieixosaeb.

Curva suave

Chámasecurva suaveá curva que non posúe puntos angulosos, coma por exemplo ocírculo,aelipseou aparábola.

Formalmente, dada unha curvaCrepresentada polaecuación paramétrica:

${\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}$

nunintervaloIcalquera, ésuavese as súasderivadasson continuas no intervaloIe non son simultaneamente nulas, excepto posiblemente nos puntos terminais do intervalo.

Véxase tamén

---

Este artigo sobrematemáticasé, polo de agora, só un bosquexo.Traballa nelpara axudar a contribuír a que a Galipediamellore e medre. Existen igualmente outrosartigos relacionados con este temanos que tamén podes contribuír.

---