Par ordenado

Exemplos de oitopuntossituados noplano cartesianomediante pares ordenados.

Enmatemáticas,unpar ordenadoé unha colección de dous elementos tal que un dos elementos pode ser distinguido como oprimeiroe o outro como osegundo,aínda que o primeiro e o segundo elemento sexan o mesmo. Un par ordenado con primeiro elementoae segundobé usualmente escrito como (a,b). Dous pares ordenados cumpren:

$(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d$

Oconxuntode todos os pares ordenados nos cales o primeiro elemento vén dun conxuntoXdeterminado e o segundo dun conxuntoYé chamadoproduto cartesianodeXeY,escrito$X\times Y$.

Listas ordenadas

Tríos ordenados e listas ordenadas son definidos recursivamente a partir da definición de par ordenado: un trío ordenado (a,b,c) pode ser definido como (a, (b,c)) ou como ((a, b), c); ou sexa, un par ordenado que contén outro par ordenado como elemento.

Esta abordaxe é espellada en linguaxes de programación: É posíbel representar unha lista de elementos como unha construción de pares ordenados aniñados. Por exemplo, a lista (1 2 3 4 5) tórnase (1, (2, (3, (4, (5, {})))) ). Alinguaxe de programaciónLispusa estas listas como a súa estrutura de datos primaria.

Pares ordenados na teoría dos conxuntos

Nateoría dos conxuntospura, onde existen soamente conxuntos, pares ordenados (a,b) poden ser definidos como o conxunto

$~(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$

Esa definición ten o nome depar deKuratowski,e é ben básica, porque require apenas poucos axiomas para poder ser formulada (oaxioma da extensión,oaxioma da separacióne oaxioma do par). A afirmación de quexsexa o primeiro elemento dun par ordenadoppode entón ser formulada como

∀Y∈p:x∈Y

e quexsexa o segundo elemento depcomo

(∃Y∈p:x∈Y) ∧ (∀Y₁∈p,∀Y₂∈p:Y₁≠Y₂→ (x∉Y₁∨x∉Y₂)).

Note que esa definición aínda é válida para o par ordenadop= (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }; neste caso a declaración (∀Y₁∈p,∀Y₂∈p:Y₁≠Y₂→ (x∉Y₁∨x∉Y₂)) é trivialmente verdadeira, dado que nunca acontece queY₁≠Y₂.

Na formulación usualZFda teoría dos conxuntos incluíndo oaxioma da regularidade,un par ordenado (a,b) pode tamén ser definido como o conxunto {a,{a,b}}. De todas as formas, axioma da regularidade é necesario, dado que sen el, é posíbel considerar conxuntosxeztales quex= {z},z= {x}, ex≠z.Entón temos que

(x,x) = {x,{x,x}} = {x,{x}} = {x,z} = {z,x} = {z,{z}} = {z,{z,z}} = (z,z)

malia querermos (x,x) ≠ (z,z).