Par ordenado
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/FuncionLineal00.svg/220px-FuncionLineal00.svg.png)
Enmatemáticas,unpar ordenadoé unha colección de dous elementos tal que un dos elementos pode ser distinguido como oprimeiroe o outro como osegundo,aínda que o primeiro e o segundo elemento sexan o mesmo. Un par ordenado con primeiro elementoae segundobé usualmente escrito como (a,b). Dous pares ordenados cumpren:
Oconxuntode todos os pares ordenados nos cales o primeiro elemento vén dun conxuntoXdeterminado e o segundo dun conxuntoYé chamadoproduto cartesianodeXeY,escrito.
Listas ordenadas
[editar|editar a fonte]Tríos ordenados e listas ordenadas son definidos recursivamente a partir da definición de par ordenado: un trío ordenado (a,b,c) pode ser definido como (a, (b,c)) ou como ((a, b), c); ou sexa, un par ordenado que contén outro par ordenado como elemento.
Esta abordaxe é espellada en linguaxes de programación: É posíbel representar unha lista de elementos como unha construción de pares ordenados aniñados. Por exemplo, a lista (1 2 3 4 5) tórnase (1, (2, (3, (4, (5, {})))) ). Alinguaxe de programaciónLispusa estas listas como a súa estrutura de datos primaria.
Pares ordenados na teoría dos conxuntos
[editar|editar a fonte]Nateoría dos conxuntospura, onde existen soamente conxuntos, pares ordenados (a,b) poden ser definidos como o conxunto
Esa definición ten o nome depar deKuratowski,e é ben básica, porque require apenas poucos axiomas para poder ser formulada (oaxioma da extensión,oaxioma da separacióne oaxioma do par). A afirmación de quexsexa o primeiro elemento dun par ordenadoppode entón ser formulada como
- ∀Y∈p:x∈Y
e quexsexa o segundo elemento depcomo
- (∃Y∈p:x∈Y) ∧ (∀Y1∈p,∀Y2∈p:Y1≠Y2→ (x∉Y1∨x∉Y2)).
Note que esa definición aínda é válida para o par ordenadop= (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }; neste caso a declaración (∀Y1∈p,∀Y2∈p:Y1≠Y2→ (x∉Y1∨x∉Y2)) é trivialmente verdadeira, dado que nunca acontece queY1≠Y2.
Na formulación usualZFda teoría dos conxuntos incluíndo oaxioma da regularidade,un par ordenado (a,b) pode tamén ser definido como o conxunto {a,{a,b}}. De todas as formas, axioma da regularidade é necesario, dado que sen el, é posíbel considerar conxuntosxeztales quex= {z},z= {x}, ex≠z.Entón temos que
- (x,x) = {x,{x,x}} = {x,{x}} = {x,z} = {z,x} = {z,{z}} = {z,{z,z}} = (z,z)
malia querermos (x,x) ≠ (z,z).